返璞歸真 回歸基礎(chǔ)
——2020年揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)第28題的分析與思考

江蘇省儀征市新集初級(jí)中學(xué) (211403) 李愛民

1 原題呈現(xiàn)

圖1

(1)當(dāng)n=1時(shí)，①求線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；②你完全同意小明的說法嗎？若完全同意，請(qǐng)說明理由；若不完全同意，也請(qǐng)說明理由，并求出正確的k的最小值和最大值；

(2)若小明的說法完全正確，求n的取值范圍.

2 試題評(píng)析

本題敘述簡(jiǎn)約，函數(shù)圖像簡(jiǎn)潔，結(jié)構(gòu)合理，內(nèi)涵豐富，重點(diǎn)考查學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，是一道具備選拔功能的壓軸題.函數(shù)是初中代數(shù)的核心知識(shí)，是中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.本題最大的妙處是貫穿初中三個(gè)函數(shù)，題干是反比例函數(shù)，通過動(dòng)點(diǎn)探究反比例函數(shù)k變化的性質(zhì)；第(1)問中的第①問考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，這是基礎(chǔ)；第②問是命題判斷和推理說明，考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理能力，這是素養(yǎng).兩個(gè)大問題設(shè)計(jì)層次分明，第(1)問中包含的兩個(gè)問題，對(duì)解決第(2)問具備啟發(fā)作用，考查學(xué)生特殊到一般、分類討論等數(shù)學(xué)思想.該試題對(duì)教師的教學(xué)也具備一定的指導(dǎo)作用.

3 第②問典型解法呈現(xiàn)

評(píng)注：列舉法也能充分說明小明的說法不完全正確，因?yàn)檎f明一個(gè)命題錯(cuò)誤，可以舉一個(gè)反例，但對(duì)k最值問題的說理不充分，所以該解法不能得滿分.此種解法說明這類學(xué)生還是具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的，在列舉點(diǎn)P經(jīng)過的特殊點(diǎn)時(shí)，沒有雜亂無(wú)章的取，而是不斷取線段的中點(diǎn)，體現(xiàn)了逐步逼近的思想；在出現(xiàn)兩個(gè)k值相等時(shí)，聯(lián)想到二次函數(shù)的對(duì)稱性，所以取了BD的中點(diǎn)E，認(rèn)為點(diǎn)E就是二次函數(shù)頂點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)E處k值最大，這是幾何直觀.

圖2

評(píng)注：解法二和三都是構(gòu)造二次函數(shù)，考查了學(xué)生的建模思想.解法二是代入點(diǎn)坐標(biāo)表示k值，解法三是通過雙曲矩形(過雙曲線上一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形)的面積表示k值，兩種方法都是求反比例函數(shù)k值的通法.學(xué)生能想到構(gòu)造函數(shù)，正是本著對(duì)反比例函數(shù)性質(zhì)的充分理解，也提醒我們教者教學(xué)時(shí)要注重基本知識(shí)、基本思想的滲透，不能求難求偏.

評(píng)注：函數(shù)和方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，許多函數(shù)問題可以用方程的方法來解決，許多方程的問題也可以借助函數(shù)來解決，函數(shù)思想和方程思想是初中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想.解法四就是將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成方程問題來解決.

4 第(2)問典型的失誤及分析

失誤一：無(wú)法用待定系數(shù)法正確求解出含參的一次函數(shù)解析式.究其原因主要兩個(gè)，一是計(jì)算失誤；二是抽象能力不足，不能準(zhǔn)確分辨參數(shù)和待定系數(shù)之間的差別，出現(xiàn)亂花迷眼、不知所措的情形.

情形1：無(wú)從下手，直接放棄.

從學(xué)生的失誤中，我們不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題和學(xué)生的層次差別，試題的選拔性可見一斑.

5 教學(xué)思考

中考試題可謂千變?nèi)f化，但是萬(wàn)變不離其宗，這個(gè)“宗”就是數(shù)學(xué)的核心知識(shí)和基本數(shù)學(xué)思想.因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)不能再搞“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”，解題教學(xué)不能再專注“題型+技巧”，必須要返璞歸真，回歸基礎(chǔ).中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是那些為學(xué)生終身發(fā)展奠定的初等數(shù)學(xué)核心部分(章建躍).如何落實(shí)基礎(chǔ)呢？筆者認(rèn)為可以在如下幾個(gè)方面努力：

5.1 立足核心知識(shí)，關(guān)注聯(lián)系，培養(yǎng)系統(tǒng)思維

數(shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)需要系統(tǒng)思維.所謂系統(tǒng)思維簡(jiǎn)單來說就是對(duì)事情全面思考，不是就是論事.用系統(tǒng)思維來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也就是要有全局觀和整體觀，它可以將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，提升抽象能力.函數(shù)是初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)，也是中考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，更是壓軸題的壓點(diǎn).初中階段主要學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù).初學(xué)一次函數(shù)如果能概括研究函數(shù)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(定義—圖像性質(zhì)—應(yīng)用—與方程、不等式的關(guān)系)，那么在后續(xù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)和二次函數(shù)時(shí)，就能達(dá)到輕車熟路，輕松駕馭的效果.同樣，學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們通常從形狀、位置、增減性、最值、對(duì)稱性、平移、圖像與自變量的系數(shù)關(guān)系等視角研究，這些構(gòu)成了研究函數(shù)性質(zhì)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng).這些結(jié)構(gòu)系統(tǒng)也可以遷移到其它知識(shí)的學(xué)習(xí)中，形成更大的系統(tǒng).

系統(tǒng)思維方式通常具有整體性、結(jié)構(gòu)性、動(dòng)態(tài)性、綜合性.本題第(1)問與第(2)問是特殊到一般的關(guān)系，如果學(xué)生能從整體角度把握試題，體會(huì)兩個(gè)問題之間的邏輯關(guān)系，解決第(2)問的方法就會(huì)自然浮出水面，具體做法只需要在完成第(1)問后，概括出解決問題的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，再遷移到第(2)問即可.第(2)問的難點(diǎn)是如何分類討論，如果學(xué)生能調(diào)動(dòng)研究函數(shù)性質(zhì)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，抓住動(dòng)點(diǎn)問題要把握整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程，分類也不是很困難.因?yàn)辄c(diǎn)A的位置確定，點(diǎn)B的位置不確定，所以點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中有三種情形：上升、下降、水平，對(duì)應(yīng)n>2，n<2，n=2.其中n<2的情形與第(1)問相同，那只需要做同樣的探究即可.當(dāng)n>2和n=2時(shí)，可以畫出線段AB，再結(jié)合反比例函數(shù)圖像關(guān)于y=x對(duì)稱的性質(zhì)和k與圖像位置的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)這兩種情形小明的說法恒成立，問題解決.

5.2 強(qiáng)化知識(shí)理解，關(guān)注過程，提煉基本思想

章建躍博士認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法如根，它是發(fā)現(xiàn)和提出問題的源泉，是分析和解決問題的根本；數(shù)學(xué)思想方法如手，它是解決問題的直接工具；數(shù)學(xué)思想方法如船，在沒有解決問題的直接方法時(shí)，它可以幫助你“渡過難關(guān)”[1].數(shù)學(xué)思想從何而來，它就蘊(yùn)含在平時(shí)的教學(xué)過程中，只要我們用心挖掘，引導(dǎo)學(xué)生深度理解知識(shí)，關(guān)注知識(shí)形成的過程，重視總結(jié)概括，數(shù)學(xué)思想自然會(huì)在潛移默化中落地生根.

本題蘊(yùn)含函數(shù)和方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊到一般等諸多數(shù)學(xué)思想.例如在第②問中，正是學(xué)生具備函數(shù)思想，才能想到構(gòu)造二次函數(shù)解決問題(解法二)；因?yàn)閷W(xué)生能深刻認(rèn)識(shí)到反比例函數(shù)的幾何意義，才能想到將求k值問題轉(zhuǎn)化為面積問題(解法三)；因?yàn)槔斫夂瘮?shù)與方程之間的關(guān)系，才能想到將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，這其中還包含了學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)對(duì)稱性的深刻認(rèn)識(shí)，以及用平移運(yùn)動(dòng)的眼光、數(shù)形結(jié)合的方法，觀察反比例函數(shù)圖像變化，才分析得到△=0時(shí)，k值最大的結(jié)論(解法四).反之，沒有這些數(shù)學(xué)思想的支撐，問題都得不到完整的解決，甚至直接丟盔棄甲，繳械投降.

5.3 聚焦知識(shí)再生，關(guān)注通性通法，提升核心素養(yǎng)

所謂核心素養(yǎng)指學(xué)生應(yīng)具備適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所需要的必備品格和關(guān)鍵能力.根據(jù)數(shù)學(xué)教育的終極培養(yǎng)目標(biāo)可將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具體表述為：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析.當(dāng)前中考試題命制更注重考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)生思維能力，這就要求老師要把教學(xué)目標(biāo)定位為核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.指向核心素養(yǎng)的教學(xué)，要求教師抓住每個(gè)概念、定理的學(xué)習(xí)，每個(gè)問題的解決，啟發(fā)學(xué)生積極思考探索，自主構(gòu)建，歸納總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)，逐步提升素養(yǎng).因?yàn)槊總€(gè)結(jié)論的探索都是知識(shí)再生的過程，它能很好地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，當(dāng)學(xué)生能用舊知解決新的問題，說明學(xué)生的核心素養(yǎng)已經(jīng)生成.當(dāng)然，教師要引導(dǎo)學(xué)生采用通性通法解決問題，通性通法更接近問題的本質(zhì)，只有抓住本質(zhì)，才能實(shí)現(xiàn)創(chuàng)生.

本題第(1)問中第②問考查了邏輯推理素養(yǎng)；學(xué)生通過構(gòu)造函數(shù)解決問題，正是考查了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；整個(gè)推理、建模的過程需要大量的運(yùn)算，所以還考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).學(xué)生用構(gòu)造二次函數(shù)解決問題②，是基于“構(gòu)造函數(shù)”是用代數(shù)法求最值的通性通法.構(gòu)造函數(shù)采用了兩種方法：點(diǎn)坐標(biāo)法和面積法，這兩種方法是求反比例函數(shù)k值的通性通法.