二次函數(shù)最值試題的新趨向*

江蘇省揚(yáng)州中學(xué) (225000) 戚有建

二次函數(shù)是最基本的初等函數(shù)，也是最重要的初等函數(shù)，所以在高考中備受青睞，幾乎是每年高考的必考內(nèi)容，而二次函數(shù)的最值問(wèn)題更是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，經(jīng)久不衰、?？汲Ｐ拢鼛啄陙?lái)這方面的試題也不斷推陳出新，越來(lái)越豐富多彩，主要表現(xiàn)為以下四個(gè)新趨向：含參、復(fù)合、隱性、離散．

一、含參

引入?yún)?shù)后，二次函數(shù)最值問(wèn)題就從靜態(tài)變成了動(dòng)態(tài)，增加了思維量，可以很好的考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.根據(jù)參數(shù)的位置可以將含參問(wèn)題分為解析式含參、定義域含參、解析式定義域同時(shí)含參.

例1 (2020年高考模擬題)求函數(shù)f(x)=x2-2ax+2,x∈[0,2]的最小值.

分析：本題中解析式含參，對(duì)稱軸不定.

解析：對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系不定，可進(jìn)行如下的分類討論：當(dāng)a<0時(shí)，f(x)min=f(0)=2；當(dāng)0≤a≤2時(shí)，f(x)min=f(a)=2-a2； 當(dāng)a>2時(shí)，f(x)min=f(2)=6-4a

點(diǎn)評(píng)：本題中，區(qū)間“定”，但對(duì)稱軸“動(dòng)”，由于對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系不定(故函數(shù)的單調(diào)性不定)，所以需要分類討論處理．類似的，還可以編出對(duì)稱軸“定”，但區(qū)間“動(dòng)”的問(wèn)題.

例2 (2014年江蘇高考題)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1，若對(duì)任意x∈[m,m+1]都有f(x)<0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

分析：本題中解析式和定義域同時(shí)含參，對(duì)稱軸不定、區(qū)間也不定，通常需要討論處理，但本題也可以不討論，用等價(jià)條件來(lái)處理即可.

點(diǎn)評(píng)：本題中解析式和定義域同時(shí)含參，看起來(lái)很復(fù)雜需要討論處理，實(shí)際上又可以不討論處理，對(duì)學(xué)生思維的靈活性要求較高.

二、復(fù)合

二次函數(shù)有很大的“交匯”性，它可以和很多函數(shù)復(fù)合起來(lái)，于是近幾年來(lái)出現(xiàn)了很多新穎別致、多姿多彩的復(fù)合函數(shù)最值試題，這些試題從表面上看，是以考查其它函數(shù)為目的，而實(shí)際上通過(guò)化簡(jiǎn)變形、換元后就能轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題，這也體現(xiàn)了高考在知識(shí)交匯處命題的原則．

分析：通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來(lái)處理.

分析：通過(guò)換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來(lái)處理，難點(diǎn)是如何換元.

三、隱性

高考對(duì)二次函數(shù)的考查多數(shù)是顯性考查，即題目中直接能發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)，但近年來(lái)也出現(xiàn)了很多隱性考查，即題目中沒(méi)有出現(xiàn)二次函數(shù)，這就需要我們自己去挖掘二次函數(shù)、去構(gòu)建二次函數(shù).

分析：先將單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)：本題呈現(xiàn)形式是三次函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，實(shí)際上是二次不等式恒成立問(wèn)題，也就是二次函數(shù)最值問(wèn)題.

四、離散

數(shù)列是離散的函數(shù)，所以數(shù)列具有函數(shù)特性，近年來(lái)出現(xiàn)了很多以數(shù)列為載體的最值問(wèn)題，其中很多問(wèn)題與二次函數(shù)最值有關(guān).

例9 (2018年全國(guó)高考題改編)在等差數(shù)列{an}中，a1=-12，S3=-30，求Sn的最小值．

點(diǎn)評(píng)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，所以與其有關(guān)的最值問(wèn)題本質(zhì)上就是二次函數(shù)最值問(wèn)題，只不過(guò)是離散的二次函數(shù)最值.

例10 (2020年高考模擬題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若d<0，S12>0，S13<0，則n為何值時(shí)，Sn取得最大值？

圖1

點(diǎn)評(píng)：本題常規(guī)的處理思路是先構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)Sn然后化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù)求最值，但是目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)a1,d不易化簡(jiǎn)，實(shí)際上只要抓住目標(biāo)函數(shù)是二次函數(shù)這一結(jié)構(gòu)特征(最高點(diǎn)一定靠近對(duì)稱軸)就能順利解決.

由于二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最經(jīng)典的函數(shù)之一，它具有豐富的內(nèi)涵和外延，可以溝通函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、圓錐曲線等內(nèi)容，可以從知識(shí)、能力、思想方法等不同層面對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效考查，所以我們可以預(yù)見(jiàn)在未來(lái)的高考中二次函數(shù)仍將是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，而且其考查方式也會(huì)更靈活、更新穎．