以微專題為突破口，有效攻破難題教學(xué)
——以“函數(shù)不等式中參數(shù)范圍問題教學(xué)”為例

廣東省汕頭市澄海華僑中學(xué) (515800) 潘敬貞 山東省濱州市鄒平縣黃山中學(xué) (256200) 韓景崗 廣東省佛山市實驗學(xué)校高中部 (528000) 袁錦前

函數(shù)不等式問題一直是高考考查的熱點與難點問題，常以壓軸題形式出現(xiàn).已知不等式求參數(shù)范圍問題是函數(shù)不等式問題中的典型問題之一，該類問題的求解對分析問題能力、轉(zhuǎn)化與劃歸能力、代數(shù)變形能力、分類討論能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)綜合能力的要求比較高，主要考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此，該類題一直是多年高考得分率比較低的題目，也是教學(xué)中的難點問題.

以微專題的形式，對函數(shù)不等式問題中的“已知不等式求參數(shù)范圍問題”進(jìn)行深入研究，并將其合理分類.對每一類問題都要做到明晰問題對象，理清求解思路，掌握解答程序等，可有效攻破這類難題的教學(xué)，提升學(xué)生解答這類問題的能力，提高他們的提高得分率，最終達(dá)到提高備考效益.本文主要針對近幾年高考

考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題中有關(guān)“已知不等式求參數(shù)范圍問題”進(jìn)行分類，并且對每一類問題結(jié)合實例給出一般求法.

1 求與函數(shù)最值有關(guān)的不等式解得參數(shù)范圍

該類問題的求解，首先要討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的最值，最后直接解與函數(shù)最值有關(guān)的不等式即可求出參數(shù)的取值范圍.該類問題主要考查分類討論能力、代數(shù)變形能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，主要考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例1 (2017全國Ⅰ卷文21)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范圍．

2 用函數(shù)“卡點”求得參數(shù)范圍

該類問題的求解是通過討論函數(shù)單調(diào)性并得出函數(shù)的最值之后，在解與函數(shù)最值有關(guān)的不等式時，由于所得超越不等式無法直接求出參數(shù)的取值范圍，因此需要進(jìn)一步構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的“卡點”，最后得出參數(shù)的取值范圍.該類問題較上一類問題，試題難度有進(jìn)一步提高，解題長度進(jìn)一步拉長，對解題能力提出了更高的要求.

例2 (2015全國Ⅱ卷文21)已知函數(shù)f(x)=lnx+a(1-x)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a-2時，求a的取值范圍．

評注：本題的第(2)問先通過討論函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)f(x)的最大值為-lna+a-1，進(jìn)而根據(jù)題意得不等式lna+a-1<0，由于該不等式無法直接求出解，于是構(gòu)造新函數(shù)即令g(a)=lna+a-1，并確定函數(shù)g(a)的單調(diào)性以及函數(shù)g(a)的“卡點”即g(1)=0，最后得出參數(shù)a的取值范圍.

3 結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)端點求得參數(shù)范圍

該類問題綜合性更強(qiáng)，問題的求解主要通過討論函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的極值、端點值，綜合分析判斷函數(shù)符號，最后得出參數(shù)的取值范圍.該類問題的求解不僅要有較強(qiáng)的分類討論能力、代數(shù)變形能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，還要有敏銳的洞察力和較高的分析問題能力、轉(zhuǎn)化與劃歸能力等.

例3(2010新課標(biāo)卷文理21)設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2.(1)略；(2)若當(dāng)x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍．

解：(2)因為f(x)=x(ex-1-ax)．令g(x)=ex-1-ax，則g′(x)=ex-a．若a≤1，則當(dāng)x∈(0,+∞)時，g′(x)>0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)=0，從而當(dāng)x≥0時g(x)≥0，即f(x)≥0．若a>1，則當(dāng)x∈(0,lna)時，g′(x)<0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)=0，從而當(dāng)x∈(0,lna)時g(x)<0，即f(x)<0，不滿足當(dāng)x≥0時f(x)≥0．

綜上所述，a的取值范圍為(-∞,1]．

評注：本題的第(2)問，先通提公因式得f(x)=x(ex-1-ax)，又由于x≥0，所以令g(x)=ex-1-ax，此時將問題轉(zhuǎn)化為研究：“當(dāng)x≥0時g(x)≥0，求a的取值范圍”的問題(這一步對降低解答難度、簡化求解過程起到十分重要的作用)．通過對函數(shù)g(x)得出，當(dāng)a≤1時函數(shù)g(x)在(1,+∞)上為增函數(shù)，又g(1)=0，所以當(dāng)x≥0時g(x)≥0，即f(x)≥0．當(dāng)a>1時得出函數(shù)g(x)在(0,lna)上為減函數(shù)，而g(0)=0，從而當(dāng)x∈(0,lna)時g(x)<0，即f(x)<0，不滿足當(dāng)x≥0時f(x)≥0．最后即可得出參數(shù)a的取值范圍．

例4(2016年全國II卷文21)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)略；(2)若當(dāng)x∈(1,+∞)時，f(x)>0，求a的取值范圍.

評注：本題的第(2)問解答思路與例3的解答思路基本相同，關(guān)鍵是討論函數(shù)單調(diào)性以及考慮函數(shù)端點值，結(jié)合不等式即可得出參數(shù)a的取值范圍．

例5(2019全國Ⅰ文20)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)．(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點；(2)若x∈[0,π]時，f(x)≥ax，求a的取值范圍．

(2)由題設(shè)知f(π)≥aπ，f(π)=0可得a≤0.由(1)知，f′(x)在(0,π)上只有一個零點，設(shè)為x0，且當(dāng)x∈(0,x0)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(x0,π)時，f′(x)<0，所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,π)上單調(diào)遞減.又f(0)=0，f(π)=0，所以當(dāng)時，f(x)≥0.又當(dāng)a≤0，x∈[0,π]時，ax≤0，故f(x)≥ax.因此，a的取值范圍是(-∞,0].

評注：本題的第(2)問，由題設(shè)知f(π)≥aπ，f(π)=0可得a≤0(這一步是降低本小題解答難度的關(guān)鍵)，再結(jié)合第(1)問得函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上存在唯一極大值，又f(0)=0，f(π)=0，因此可得出參數(shù)a的取值范圍．

4 分離參數(shù)并新函數(shù)的最值得參數(shù)范圍

解：(2)①當(dāng)x=0時，不等式為1≥1，顯然成立，符合題意；②當(dāng)x>0時，分離參數(shù)得a≥

評注：本題的求解首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)g(x)并求其最小值即可求出參數(shù)范圍，思路清晰，考生也容易想到，但在求g(x)最小值的過程中遇到幾點挑戰(zhàn)：挑戰(zhàn)之一是對g(x)求導(dǎo)后對函數(shù)g′(x)的分子進(jìn)行因式分解；挑戰(zhàn)之二是對函數(shù)g′(x)的分子中的因子符號進(jìn)行判斷并說明理由，在此過程中還用到了二次求導(dǎo)等，這兩點問題對學(xué)生的運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力提出了極高的要求，也是眾多學(xué)生的極大挑戰(zhàn)，明知如何解而又不敢解或無法成功求解，這是無數(shù)學(xué)生心中的痛.

5 考題鏈接

1.已知函數(shù)f(x)=ax2+(a-2)x-lnx，(a∈R)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)≥0，求實數(shù)a的取值范圍．(答案：(1,+∞))

4.(2017全國卷Ⅱ文21)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍．(答案：[1,+∞))

5.(2015山東理21)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R．(1)討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù)，并說明理由；(2)若?x>0，f(x)≥0成立，求a的取值范圍．(答案：[0,1])

6.(2015全國卷Ⅱ理21)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx．(1)證明：f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增；(2)若對于任意x1，x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍．(答案：[-1,1])

7.(2017全國卷Ⅲ理21)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx．(1)若f(x)≥0，求a的值；(答案：1)(2)略．

對于函數(shù)不等式問題，由于命題專家在命題時就已經(jīng)將該類問題定位為壓軸題，因此試題難度可想而知.但也不是考生不可解或教師不可教的試題.只要通過將考題合理分類，以微專題的形式，通過教師引導(dǎo)讓學(xué)生明晰問題對象，理清求解思路，掌握解答程序，選編優(yōu)秀的考題供學(xué)生訓(xùn)練后，加強(qiáng)對學(xué)生運(yùn)算求解能力、邏輯推理等能力的培育，學(xué)生也能夠攻克該類難題，從而提高學(xué)生的得分率.

壓軸題、難題的教學(xué)對教師的專業(yè)水平提出了更高的要求，教師要有較高的解題能力，對考題要做到心中有數(shù)，熟悉命題規(guī)律，掌握命題技術(shù)，具有較高的命題能力，熟悉學(xué)生的成長規(guī)律和心理特征等.因此，只有多學(xué)習(xí)、多研究、多實踐，尤其是解題實踐、命題實踐，多研究方可達(dá)到壓軸題、難題教學(xué)的核心要求，方可真正達(dá)到高效備考的目標(biāo).