基于“三個(gè)理解” 促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué) (200434) 方長(zhǎng)林

發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)已成為我國(guó)基礎(chǔ)教育改革的風(fēng)向標(biāo)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》提出了發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大學(xué)科核心素養(yǎng).培育數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是要促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程[1].深度學(xué)習(xí)是以對(duì)學(xué)科本質(zhì)和知識(shí)意義的滲透理解為基礎(chǔ)的探究型學(xué)習(xí)活動(dòng)，需要學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容有深切的體驗(yàn)和深入的思考，而不是學(xué)科知識(shí)的淺層化和學(xué)科思維的表層化.當(dāng)然，有效促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的前提是要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用.理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的水平是教師專(zhuān)業(yè)水平和育人能力的集中表現(xiàn)，是構(gòu)建深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課堂、促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的必要條件.理解數(shù)學(xué)，就是要高屋建瓴地把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，站在系統(tǒng)的高度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，特別是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法要有深入理解；理解學(xué)生，就是要全面了解學(xué)生的思維規(guī)律，把握學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)；理解教學(xué)，就是要把握教學(xué)的基本規(guī)律，按教學(xué)規(guī)律辦事[2].

1 理解數(shù)學(xué)，設(shè)計(jì)整體性的單元學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)的“深”體現(xiàn)在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中.“單元”是知識(shí)結(jié)構(gòu)化的重要表現(xiàn)，所以深度學(xué)習(xí)倡導(dǎo)單元學(xué)習(xí).以往的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師的著力點(diǎn)往往是單課教學(xué)，缺乏對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)化思考；對(duì)數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的意義、作用關(guān)注不夠.單元學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)，就是在單元整體內(nèi)容中去把握相關(guān)的具體數(shù)學(xué)內(nèi)容，更加重視數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容本質(zhì)的學(xué)習(xí)，更加關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成、核心能力的提升.開(kāi)展單元學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)，教師必須建立好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與學(xué)科核心內(nèi)容之間的關(guān)系，依據(jù)課標(biāo)和教材，選擇單元學(xué)習(xí)主題、確定單元學(xué)習(xí)目標(biāo)、設(shè)計(jì)單元學(xué)習(xí)問(wèn)題、落實(shí)單元學(xué)習(xí)評(píng)價(jià).

案例1 “三角函數(shù)”單元學(xué)習(xí)

第一環(huán)節(jié)：深度理解課程標(biāo)準(zhǔn)，確定單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)理解任意角、象限角、弧度等概念，會(huì)進(jìn)行弧度制與角度制的互化.

(2)理解任意角三角函數(shù)的定義.

(3)掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式.

(4)掌握三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，體會(huì)三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.

(5)掌握和差角公式、二倍角公式.通過(guò)公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，提高邏輯推理能力，并利用這些公式進(jìn)行恒等變形和解決有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)三角式變換的思想方法.

(6)掌握三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

第二環(huán)節(jié)：搭建明晰思維導(dǎo)圖，統(tǒng)觀單元學(xué)習(xí)全局

(1)縱向結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖

圖1

(2)橫向聯(lián)系思維導(dǎo)圖

圖2

第三環(huán)節(jié)：設(shè)計(jì)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí) 構(gòu)建單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

(1) 為什么要學(xué)習(xí)三角函數(shù)？“任意角”的概念是怎樣獲得的？

(2) 弧度制的引入為三角函數(shù)的研究奠定了基礎(chǔ)，你能理解引入弧度制的必要性嗎？

(3) 三角函數(shù)是怎樣定義的？它與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義相同點(diǎn)與不同點(diǎn)是什么？(數(shù)學(xué)抽象)

(4) 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式由來(lái)你清楚嗎？公式的應(yīng)用價(jià)值是什么?

(5) 三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究過(guò)程與方法你清楚嗎？(直觀想象)

(6) 兩角差的余弦公式不僅是和(差)角公式的基礎(chǔ)，也是誘導(dǎo)公式的一般化，你能畫(huà)一張三角公式的“邏輯結(jié)構(gòu)圖”嗎？你能領(lǐng)悟這些公式的推導(dǎo)過(guò)程中用到了那些數(shù)學(xué)思想方法嗎？(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

(7) 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象一個(gè)非常重要的函數(shù)模型，你能借助圖形計(jì)算器作出它的圖形嗎？知道參數(shù)A,ω,φ的物理意義嗎？知道參數(shù)A,ω,φ對(duì)函數(shù)圖像的影響嗎？

(8) 你能針對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的某種周期現(xiàn)象，用適當(dāng)?shù)姆椒ㄋ鸭瘮?shù)據(jù)，處理數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)為這種周期現(xiàn)象建立一個(gè)函數(shù)模型嗎[3]？(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模)

單元學(xué)習(xí)，如果沒(méi)有問(wèn)題意識(shí)，整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程就變成了知識(shí)的記憶，也就成了一種淺層學(xué)習(xí).利用有思維含量的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)，問(wèn)題引導(dǎo)、自主探究、解決問(wèn)題，可以將零散的知識(shí)系統(tǒng)化，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成知識(shí)體系，凸顯學(xué)科大概念知識(shí).同時(shí)在解決問(wèn)題中，也有效地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

第四環(huán)節(jié)：設(shè)計(jì)多樣評(píng)價(jià)方式 聚焦單元目標(biāo)達(dá)成

“三角函數(shù)”單元學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)表[4]

公正客觀的數(shù)學(xué)單元學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)，不僅成為促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)改進(jìn)的有效手段，而且能夠幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣，很好地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.

2 理解學(xué)生，設(shè)計(jì)梯度性的變式問(wèn)題

深度學(xué)習(xí)的“深”體現(xiàn)在學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律中.深度學(xué)習(xí)是建立在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上的概念改變，由易到難，由淺入深，循序漸進(jìn)，它是一種理解性的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)的是深層次的思考.

數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，數(shù)學(xué)概念是思維的細(xì)胞，數(shù)學(xué)從根本上說(shuō)是“玩概念的”.促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，要重視對(duì)“問(wèn)題串”的設(shè)計(jì).設(shè)計(jì)一系列相互“關(guān)聯(lián)”的“問(wèn)題串”可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的、連續(xù)的思維活動(dòng)[5].

在使用提升小波分解數(shù)控機(jī)床熱誤差數(shù)據(jù)后，采用最小二乘支持向量機(jī)(LSSVM)解決對(duì)每一層分解信號(hào)的訓(xùn)練和預(yù)測(cè)問(wèn)題。最小二乘支持向量機(jī)方法是采用最小二乘線性系統(tǒng)作為損失函數(shù)，代替?zhèn)鹘y(tǒng)的支持向量機(jī)采用的二次規(guī)劃方法，簡(jiǎn)化了計(jì)算復(fù)雜性的同時(shí)也可以保證預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性[8]。而使用提升小波處理后的功率數(shù)據(jù)也更有規(guī)律，使用最小二乘支持向量機(jī)可以進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)精度。

案例2 “函數(shù)的概念”學(xué)習(xí)片斷

(1) 初、高中函數(shù)兩個(gè)定義的比較分析

初中的定義是“變量說(shuō)”，易于理解；高中的定義是“集合-對(duì)應(yīng)說(shuō)”，比較抽象，學(xué)生難以理解.尤其定義中的函數(shù)定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型時(shí)應(yīng)關(guān)注的三個(gè)要素學(xué)生普遍感到理解起來(lái)有困難.

(2)構(gòu)建函數(shù)的概念學(xué)習(xí)過(guò)程

圖3

從認(rèn)知角度分析，函數(shù)概念的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了由具體熟悉的函數(shù)到抽象的定義，再到具體實(shí)例，歸納，數(shù)學(xué)抽象，最后形成函數(shù)的概念.從學(xué)科育人的角度分析，函數(shù)概念的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了從數(shù)學(xué)知識(shí)(函數(shù)的定義、定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域)到數(shù)學(xué)思想方法(思想：函數(shù)；方法：比較、歸納、概括)，再到核心素養(yǎng)(數(shù)學(xué)抽象)不斷升華的過(guò)程.

(3)設(shè)計(jì)符合學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題串

圖4

問(wèn)題①集合A，B與對(duì)應(yīng)關(guān)系f如圖4所示：f:A→B是否為從集合A到集合B的函數(shù)？如果是，那么定義域、值域與對(duì)應(yīng)關(guān)系各是什么?

問(wèn)題③設(shè)M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}，給出下列四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是.(填序號(hào)).

問(wèn)題④已知定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x)=x2,如果值域?yàn)锳={4 ，9}，這樣的函數(shù)有多少個(gè)？

問(wèn)題⑤已知函數(shù)f(x)的定義域D={1 ，2 ，3}，值域A?D且滿(mǎn)足f(f(x))=f(x)，這樣的函數(shù)f(x)有多少個(gè)？

問(wèn)題⑥設(shè)D是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，f(x)是定義在D上的函數(shù)，若f(x)的圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后與原圖像重合，則在以下各項(xiàng)中，f(1)的可能取值只能是( ).

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}①至⑥由易到難，層層遞進(jìn).問(wèn)題①、②檢測(cè)用函數(shù)定義刻畫(huà)函數(shù)和函數(shù)三要素的基本認(rèn)識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，是水平一問(wèn)題[6].問(wèn)題③運(yùn)用函數(shù)定義作判斷，同時(shí)需要數(shù)形結(jié)合，問(wèn)題④給出對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域，對(duì)定義域的可能性進(jìn)行分析，檢測(cè)對(duì)函數(shù)概念的深入理解，屬于中檔題，是水平二問(wèn)題[6].問(wèn)題⑤、⑥檢測(cè)對(duì)函數(shù)概念的深度理解，屬于難題，是水平三問(wèn)題[6].伴隨著一系列問(wèn)題的解決，學(xué)生的思維活動(dòng)也必將由淺入深，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念理解性的深度學(xué)習(xí).

3 理解教學(xué)，設(shè)計(jì)探究性的課堂活動(dòng)

深度學(xué)習(xí)的“深”體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律中.數(shù)學(xué)教學(xué)的重心在于“學(xué)”，而非“教”.所以在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師的角色是引導(dǎo)者、合作者，教師要把教學(xué)活動(dòng)的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)上，充分地發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體作用.數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}情境-自主探究-合作交流-提煉結(jié)果.深度學(xué)習(xí)，需要設(shè)計(jì)探究性的課堂活動(dòng)環(huán)節(jié).

3.1 創(chuàng)設(shè)深度的問(wèn)題情境，引發(fā)探究

案例3 “二分法”教學(xué)情境的設(shè)計(jì)

“二分法”比較常見(jiàn)的情境設(shè)計(jì)是“猜價(jià)格游戲”.的確“猜價(jià)格游戲”活動(dòng)，學(xué)生很感興趣，能夠活躍課堂氣氛.但是這樣的情境與“二分法”的本質(zhì)沒(méi)有關(guān)聯(lián).情境活動(dòng)中看不見(jiàn)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)、端點(diǎn)值異號(hào)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根等等.情境與數(shù)學(xué)內(nèi)容是兩張皮，僅僅是“一半一半又一半”與“二分法”在操作層面上有點(diǎn)相似.我們知道，“二分法”的教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“近似逼近”、“一般與特殊”、“程序化的算法”等等.所以“二分法”教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)必須以數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)為依據(jù)，以引發(fā)學(xué)生思考為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題.

通過(guò)把“猜價(jià)格游戲”活動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)化提煉，學(xué)生在這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，不僅學(xué)會(huì)了“二分法”，而且滲透了函數(shù)與方程、近似逼近、程序化算法等數(shù)學(xué)思想，更重要的是發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3.2 進(jìn)行深度的課堂對(duì)話(huà)，引導(dǎo)探究

深度學(xué)習(xí)需要通過(guò)課堂上師生深度的互動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，沒(méi)有有效互動(dòng)性的數(shù)學(xué)課堂注定是傳授式的滿(mǎn)堂灌.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂，教師是主體，教學(xué)的評(píng)價(jià)主要看授課內(nèi)容的科學(xué)性、課堂組織的流暢性、教學(xué)語(yǔ)言的清晰性、板書(shū)設(shè)計(jì)的藝術(shù)性等.新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生是課堂的主人，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的同伴.課堂上的師生互動(dòng)、生生互動(dòng)、合作交流、自主探究構(gòu)成了一道道亮麗的風(fēng)景線.

圖5

生1：研究的路徑是：圖像性質(zhì)，即畫(huà)出函數(shù)圖像，觀察圖像，直觀描述圖像變化規(guī)律(圖形語(yǔ)言)；用自然語(yǔ)言描述函數(shù)性質(zhì)(文字語(yǔ)言)；再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)的性質(zhì)(符號(hào)語(yǔ)言).

生2：主要研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、最值、奇偶性等.

生3：描點(diǎn)作圖、圖像變換作圖(平移、對(duì)稱(chēng)、翻折、伸縮)、圖形計(jì)算器作圖、幾何畫(huà)板軟件作圖等.

生5：描述性，如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等.

生7：運(yùn)用奇偶性定義f(-x)=-f(x)證明其為奇函數(shù).

生8：運(yùn)用單調(diào)性定義，結(jié)合奇偶性判斷其單調(diào)性.

4 結(jié)語(yǔ)

深度學(xué)習(xí)改變了傳統(tǒng)的傾聽(tīng)、記憶、模仿和練習(xí)為主的復(fù)制型學(xué)習(xí)方式，轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫?shí)踐、體驗(yàn)、理解和遷移為典型特征的學(xué)習(xí)[1].促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，對(duì)教師的素養(yǎng)提出了新的要求.需要教師勤于學(xué)習(xí)、勇于研究、敢于實(shí)踐，不斷提高“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”的能力，改進(jìn)教育教學(xué)方法，方可引領(lǐng)學(xué)生突破知識(shí)淺層化、思維表層化的學(xué)習(xí)，走進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的深處，有效進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，孕育數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).