層層剝筍 擘肌分理

郭秋妹

（福建省德化縣尚思小學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)指出：“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程?！薄敖桃婚T學(xué)科，不是使他們把一些結(jié)果記下來，而是教他們參與把知識(shí)建立起來的過程?！睘榇?，教學(xué)要如剝筍一般，由表及里，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生在“剝”的過程中充分參與、經(jīng)歷、體驗(yàn)，從而擘肌分理，建立概念，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建構(gòu)模型，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

一、層層剝筍，從“感覺”到“具體”

“認(rèn)知是一個(gè)過程，而不只是一個(gè)結(jié)果。”教師要順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，根據(jù)知識(shí)的形成過程，讓學(xué)生在層層剝筍中進(jìn)行猜想、驗(yàn)證、明理和應(yīng)用，使“感覺”的知識(shí)“具體”化，在頭腦中建立起具體可感的數(shù)學(xué)知識(shí)。如，教學(xué)“1克有多重”時(shí)，可按如下四個(gè)層次進(jìn)行“剝筍”：

第一個(gè)層次：學(xué)生憑借自己對(duì)一個(gè)扣子的“感覺”，猜想其質(zhì)量，朦朦朧朧中知道一個(gè)扣子大約重1克；教師借助天平稱一稱，驗(yàn)證學(xué)生的猜想，確認(rèn)一個(gè)扣子重“真的”是1克。

第二個(gè)層次：讓學(xué)生把一個(gè)扣子輕輕地放在手心上，默默地體驗(yàn)一下（在這里，不能讓學(xué)生掂，因?yàn)閷W(xué)生在掂的過程中，根本沒辦法得到其感受），說一說有什么感覺。學(xué)生暢所欲言，交流了各種各樣的感覺——輕輕的、放有東西、很輕、有點(diǎn)兒重、有點(diǎn)兒輕又有點(diǎn)兒重、手心癢癢的……教師順勢(shì)引導(dǎo)，達(dá)成共識(shí)，使全體學(xué)生真正體驗(yàn)1克物品“很輕很輕”的實(shí)際感受。

第三個(gè)層次：學(xué)生對(duì)“1克有多重”有了初步感知后，一方面讓學(xué)生試著從事先準(zhǔn)備好的1克泡沫（棱長(zhǎng)8厘米的正方體）、1克黃豆（6粒）、1元硬幣（10克）、一根棒棒糖（15克）找出質(zhì)量大約是1克的物品；另一方面讓學(xué)生用左手、右手同時(shí)感受1克扣子和1克泡沫、1克黃豆的質(zhì)量。體驗(yàn)泡沫體積大、黃豆數(shù)量多，但質(zhì)量仍然是1克。比較一個(gè)扣子和一個(gè)1元硬幣、一根棒棒糖的質(zhì)量，體驗(yàn)質(zhì)量不同，感覺也不一樣。

第四個(gè)層次：引導(dǎo)學(xué)生閉上眼睛，把“1克的質(zhì)量”想在心里，記在腦中，然后從生活中找出質(zhì)量大約是1克的物品。

整個(gè)“剝筍”過程，學(xué)生經(jīng)歷了 “猜一猜”“稱一稱”，初步感知質(zhì)量大約是1克的物品；經(jīng)歷了 “掂一掂”“說一說”，親自感受1克物品的實(shí)際質(zhì)量；經(jīng)歷了“試一試”“比一比”，強(qiáng)化對(duì)1克物品實(shí)際質(zhì)量的認(rèn)識(shí)；經(jīng)歷了“記一記”“找一找”，加深1克物品實(shí)際質(zhì)量的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用。

二、層層剝筍，從“模糊”到“清晰”

數(shù)學(xué)知識(shí)有很強(qiáng)的抽象性，對(duì)于以具體形象思維為主、缺乏生活經(jīng)驗(yàn)的小學(xué)生來說，要看得見、摸得著、學(xué)得透，具有一定的難度。教師要抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生在“剝筍”過程中去觀察、去思考、去比較、去概括，一步一步探究?jī)?nèi)在的規(guī)律，逼近解決問題的方法，從而建立清晰的問題解決的模型。如教學(xué)“找次品”時(shí)，這個(gè)知識(shí)學(xué)生缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，內(nèi)容抽象，認(rèn)知模糊，不易于理解和掌握。教學(xué)時(shí)，可作如下“剝筍”：

出示例題：有2瓶口香糖，其中1瓶吃了1粒，吃了1粒的這1瓶是次品。怎么找？學(xué)生各抒己見，有的認(rèn)為可以倒出來數(shù)一數(shù)有幾粒，有的認(rèn)為可以看一看瓶口有沒有被拆開過，有的認(rèn)為可以用手掂一掂……這是生活經(jīng)驗(yàn)“再現(xiàn)”的第一次“剝筍”。

運(yùn)用“數(shù)”“看”“掂”等方法找次品，有何不妥之處，是否有更為有效的方法？引導(dǎo)學(xué)生淘汰其“自以為是”的方法，打破認(rèn)知平衡，造成認(rèn)知沖突，從而引出用天平找次品的方法：天平平衡時(shí)，指針指向天平的紅刻度線；天平不平衡時(shí)，輕的那邊的那1瓶就是次品。學(xué)生借助天平，找到思維的切入點(diǎn)，屬于第二次“剝筍”。

從3瓶中找出1瓶次品，要怎么找？讓學(xué)生猜一猜，并用天平進(jìn)行操作、驗(yàn)證，體會(huì)天平平衡時(shí)，次品就是剩下的那1瓶；天平不平衡時(shí)，輕的那邊的那1瓶就是次品，稱一次就能保證找到次品。這個(gè)過程，學(xué)生進(jìn)行猜想、操作、驗(yàn)證，經(jīng)歷了找次品的過程，進(jìn)行了第三次“剝筍”。

從5瓶中找出1瓶次品，要怎么找？讓學(xué)生用1個(gè)圓圈表示1瓶口香糖，采用圖示法找次品。學(xué)生通過畫、找，明確三種方案：一是天平兩邊各放2瓶口香糖，天平平衡，剩下的那1瓶就是次品；天平兩邊不平衡，次品在輕的那邊。這時(shí)，需要把輕的那邊的2瓶口香糖再稱一次，才能找到次品，即至少要兩次才能保證找到次品。二是天平兩邊各放1瓶口香糖，天平平衡，次品在剩下的那3瓶口香糖當(dāng)中，還要從中再取2瓶口香糖來找次品，同樣至少要兩次才能保證找到次品。三是天平一邊固定放1瓶口香糖，另外4瓶口香糖依次放在天平的另一邊，至少要三次才能保證找到次品。學(xué)生數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行觀察、思考，逐步逼近找次品方法，這是第四次“剝筍”。

學(xué)生積累了一定經(jīng)驗(yàn)后，讓學(xué)生直接從9瓶口香糖中找出1瓶次品。學(xué)生從實(shí)物到圖示，再到脫離物象支撐的數(shù)學(xué)抽象，概括出“找次品”的最佳方法，即物品的總數(shù)如果能平均分成3份，要平均分成3份，再找次品；如果不能平均分成3份，要盡量平均分，且每份相差的數(shù)量要盡量小，再找次品。這是學(xué)生觀察、分析、比較、概括，從而建立數(shù)學(xué)模型的第五次“剝筍”。

學(xué)生通過2瓶、3瓶、5瓶、9瓶口香糖中找1瓶次品的多次“剝筍”，方法從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般，步步逼近；思維從“模糊”到“清晰”，從具體到抽象、從低級(jí)到高級(jí)，螺旋提升。

三、層層剝筍，從“單一”到“整體”

贊可夫指出：“教會(huì)學(xué)生思考，這對(duì)學(xué)生來說，是一生中最有價(jià)值的本錢?！苯處熞闇?zhǔn)知識(shí)的切入點(diǎn)，站在數(shù)學(xué)思想的高度來解讀和處理教材，引導(dǎo)學(xué)生在層層“剝筍”中進(jìn)行分析、概括、抽象、推理和引申，在知識(shí)探索中獲取方法、提高技能，最終達(dá)到潛移默化滲透數(shù)學(xué)思想的至高境界。如教學(xué)“12個(gè)女同學(xué)排成一橫（縱）隊(duì)，每相鄰的兩個(gè)女同學(xué)中間插進(jìn)一個(gè)男同學(xué)，一共插進(jìn)多少個(gè)男同學(xué)”時(shí)，有的教師這樣教學(xué)：畫12個(gè)“○”表示女同學(xué)，然后在每2個(gè)“○”中畫1個(gè)“●”表示男同學(xué)。這樣一畫，學(xué)生恍然大悟，一下子就明白一共有11個(gè)男同學(xué)。顯然，這樣教學(xué)是停留在表面上的，學(xué)生思維單一，仍然處在具體形象思維，還沒過渡到抽象思維，更談不上整體思維的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)方法、思想的滲透。我想，可以這樣“剝筍”：

第一次“剝筍”，讓學(xué)生用自己喜歡的符號(hào)表示女同學(xué)，分別畫出2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)符號(hào)表示女同學(xué)的個(gè)數(shù)，再依次在每相鄰的2個(gè)女同學(xué)中畫另一種符號(hào)，表示插進(jìn)的男同學(xué)（下文以“○”表示女同學(xué)、“●”表示男同學(xué)），具體如下圖所示：

然后引導(dǎo)學(xué)生觀察如上圖示，討論從中可以發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律。學(xué)生通過觀察、比較、分析，不難發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚€(gè)女同學(xué)中間插進(jìn)1個(gè)男同學(xué)，男同學(xué)的人數(shù)比女同學(xué)少1，所以求12個(gè)女同學(xué)中一共有多少個(gè)男同學(xué)，算式是12－1＝11（個(gè)）。

第二次“剝筍”，讓學(xué)生分組探究，12個(gè)女同學(xué)排隊(duì)，除了排成一橫（縱）隊(duì)，還可以怎么排？一石激起千層浪，學(xué)生通過討論、思考，發(fā)現(xiàn)了12個(gè)女同學(xué)排隊(duì)，不但可以排成一橫（縱）隊(duì)，也可以排成圓形隊(duì)伍、三角形隊(duì)伍，還可以排成正方形隊(duì)伍，如圖一至圖三所示。隊(duì)伍“變形”后，每相鄰的兩個(gè)女同學(xué)中間插進(jìn)1個(gè)男同學(xué)，一共可以插進(jìn)多少個(gè)男同學(xué)？學(xué)生討論，教師用課件動(dòng)態(tài)演示，12個(gè)女同學(xué)排成一橫（縱）隊(duì)，每相鄰的兩個(gè)女同學(xué)中間插進(jìn)1個(gè)男同學(xué)，一共插進(jìn)11個(gè)男同學(xué)，即一共有男、女同學(xué)23個(gè)。再把這23個(gè)同學(xué)的隊(duì)伍由兩端向上彎曲，逐漸圍成一個(gè)圓形（如圖四所示）。然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，23個(gè)同學(xué)圍成圓形隊(duì)伍后，原隊(duì)伍兩端兩個(gè)女同學(xué)中間還有一個(gè)間隔，可以插進(jìn)1個(gè)男同學(xué)，也就是說插進(jìn)男同學(xué)的個(gè)數(shù)等于女同學(xué)的個(gè)數(shù)，即男同學(xué)12個(gè)（如圖五所示）。同樣道理，12個(gè)女同學(xué)排成三角形隊(duì)伍、正方形隊(duì)伍，每2個(gè)女同學(xué)中間插進(jìn)1個(gè)男同學(xué)，男同學(xué)也是12個(gè)。

第三次“剝筍”，學(xué)生有了封閉線路的拓展、數(shù)形結(jié)合方法的滲透，還要有規(guī)律的引申，讓學(xué)生進(jìn)一步思考，100個(gè)、1000個(gè)女同學(xué)排成一列隊(duì)伍，每相鄰的2個(gè)女同學(xué)中間插進(jìn)1個(gè)男同學(xué)，一共插進(jìn)多少個(gè)男同學(xué)？運(yùn)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，從橫（縱）、圓形、三角形、正方形等不同隊(duì)形方案解決富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題。

第四次“剝筍”，引導(dǎo)學(xué)生張開想象的翅膀，探究生活中有哪些類似的數(shù)學(xué)問題，以達(dá)“本質(zhì)”的飛躍。學(xué)生經(jīng)歷如上發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，再加上教師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥、引導(dǎo)，聯(lián)想到植樹、上樓梯、鋸木材、方陣等數(shù)學(xué)問題也就不會(huì)成為低年級(jí)學(xué)生的“童話”了。

這樣“剝筍”，變枯燥的數(shù)學(xué)題為有趣、生動(dòng)、開放的數(shù)學(xué)鏈。學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)與方法的探究過程，流淌著具體思維與抽象思維的融合，感受到數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的奇妙，不但見到“樹木”，還見到“森林”，形成了“單一”到“整體”的比較完整的模型結(jié)構(gòu)。