新高考數(shù)學(xué)應(yīng)用能力考查研究*

趙 軒 任子朝 翟嘉祺

(教育部考試中心 100084)

《國務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》(下稱《實(shí)施意見》)中明確指出，要“著重考查學(xué)生獨(dú)立思考和運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力”[1]，為高考內(nèi)容改革指明了發(fā)展方向.為落實(shí)《實(shí)施意見》的要求，近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中，通過多種形式加強(qiáng)了對于應(yīng)用性的考查，并取得了積極的成效.2020年新高考全國卷(供山東、海南兩省使用的新高考試卷)中提高了應(yīng)用型試題的比例，2021年1月在八省新高考測試中更是在考查方式和試題呈現(xiàn)形式上有所創(chuàng)新.其變化創(chuàng)新之處主要體現(xiàn)為，一是突出對邏輯推理、信息獲取和加工、數(shù)學(xué)閱讀等方面的考查，強(qiáng)調(diào)對于思維能力和表達(dá)能力的培養(yǎng)；二是通過設(shè)置真實(shí)的問題情境，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析和解決實(shí)際問題的能力，促進(jìn)學(xué)生真懂會用；三是通過新穎的題目和設(shè)問方式的設(shè)計(jì)，增強(qiáng)試題的開放性和探究性，引導(dǎo)學(xué)生拓寬思維廣度，主動(dòng)分析思考，促進(jìn)創(chuàng)新應(yīng)用能力的提高.本文將基于高考評價(jià)體系的理論框架，進(jìn)一步梳理和總結(jié)這些舉措，并對新高考關(guān)于應(yīng)用能力的考查路徑及方法提出建議.

1 數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)中提出，要“強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力”[2].“數(shù)學(xué)應(yīng)用”是一個(gè)比較寬泛的概念，不應(yīng)簡單地將數(shù)學(xué)應(yīng)用等同于數(shù)學(xué)知識在日常生活中的應(yīng)用.除了生活實(shí)際中的應(yīng)用之外，數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，和其他學(xué)科有著緊密的聯(lián)系，在自然科學(xué)乃至人文社會科學(xué)中都有廣闊的交叉應(yīng)用領(lǐng)域，這種理論研究情境下的應(yīng)用也是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要組成部分.事實(shí)上，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中規(guī)定的高中課程內(nèi)容的每個(gè)模塊都能夠和其他學(xué)科建立起關(guān)聯(lián)，因此在中學(xué)階段打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就是在為未來學(xué)習(xí)和工作中的數(shù)學(xué)應(yīng)用筑牢根基.從更廣義的角度來說，數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識之間的關(guān)聯(lián)與交互可以看作數(shù)學(xué)應(yīng)用的一種延伸，這里我們談的數(shù)學(xué)學(xué)科不僅限于中學(xué)數(shù)學(xué)，更包括未來學(xué)習(xí)中高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支學(xué)科.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有很強(qiáng)的連續(xù)性，前階段學(xué)習(xí)所掌握的知識與能力是后階段學(xué)習(xí)必備的基礎(chǔ)，對于新知識學(xué)習(xí)的效果、新概念掌握的程度往往受到以前積累的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的密切影響，因此理解新信息、解決新問題等情境在這種廣義的視角下也可以視為數(shù)學(xué)知識、能力和思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)部應(yīng)用.

《課程標(biāo)準(zhǔn)》中“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的課程理念集中體現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的重要表現(xiàn).數(shù)學(xué)科高考落實(shí)應(yīng)用性的考查要求，就要引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在日常生活中以及學(xué)習(xí)過程中，能夠發(fā)現(xiàn)身邊事物或者新的課程學(xué)習(xí)情境與數(shù)學(xué)的關(guān)系，針對這些關(guān)聯(lián)提出問題，并能夠?qū)⑦@些問題抽象成為可以解釋的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述和表達(dá)，進(jìn)而體會和認(rèn)識數(shù)學(xué)廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域，真正做到學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)、會用數(shù)學(xué).

2 高考評價(jià)體系中應(yīng)用性考查要求的內(nèi)涵

按照國家新一輪高考內(nèi)容改革的要求，教育部考試中心研制完成了中國高考評價(jià)體系.高考評價(jià)體系遵循新時(shí)代黨的教育方針，基于高等教育人才選拔要求和國家高中課程標(biāo)準(zhǔn)，體現(xiàn)各類高校對人才的共性需求，銜接高中育人方式改革，確立了“一核”“四層”“四翼”的整體框架，是高考命題的理論基礎(chǔ)[3].其中，“四翼”是“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的考查要求.應(yīng)用性作為重要的考查要求，強(qiáng)調(diào)高考要突出學(xué)以致用的導(dǎo)向，在知識、能力以及學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)過程中，關(guān)注國家社會發(fā)展、生產(chǎn)生活實(shí)際與學(xué)科的聯(lián)系，避免考試內(nèi)容與生活實(shí)踐脫節(jié)，讓學(xué)生充分體會到所學(xué)知識的應(yīng)用價(jià)值.

高考評價(jià)體系中將問題情境作為高考的考查載體[4]，以此來承載考試內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)考查要求.高考數(shù)學(xué)科將試題的問題情境分為三類：課程學(xué)習(xí)情境，探索創(chuàng)新情境和社會實(shí)踐情境.課程學(xué)習(xí)情境主要關(guān)注學(xué)生通過學(xué)習(xí)掌握的知識基礎(chǔ)，包括數(shù)學(xué)概念、原理、運(yùn)算、邏輯推理等問題情境.探索創(chuàng)新情境主要關(guān)注學(xué)科知識的深入探索與思想方法的創(chuàng)新，包括數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)創(chuàng)新、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等問題情境.社會實(shí)踐情境主要關(guān)注數(shù)學(xué)與其他學(xué)科和社會生活實(shí)際的關(guān)聯(lián)，包括生活生產(chǎn)實(shí)際、科學(xué)研究等問題情境.高考數(shù)學(xué)科的應(yīng)用性主要指的是數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科知識、生活生產(chǎn)實(shí)際等方面的外部聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值.這三種情境都可以作為應(yīng)用性的有效考查載體，通過建立數(shù)學(xué)模型等方式，建立數(shù)學(xué)知識、思想方法等與理論問題或?qū)嶋H問題之間的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)作為解決問題的工具.

3 新高考數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查路徑與方法研究

數(shù)學(xué)在人類社會發(fā)展的過程中起到了極其重要的作用，我們身邊的各種社會經(jīng)濟(jì)、生產(chǎn)活動(dòng)都與數(shù)學(xué)有著密不可分的聯(lián)系.在當(dāng)今的信息化社會，數(shù)學(xué)實(shí)力已經(jīng)影響著一個(gè)國家的綜合實(shí)力[5]，勞動(dòng)者數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高會對經(jīng)濟(jì)發(fā)展起到重要的促進(jìn)作用.站在立德樹人的角度來看，數(shù)學(xué)素養(yǎng)對于個(gè)人的未來發(fā)展有很重要的影響，重視數(shù)學(xué)素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)造力方面起到獨(dú)特而關(guān)鍵的作用.高考數(shù)學(xué)科重視對于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)應(yīng)用作為重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.近年來，高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)一步加強(qiáng)對于數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查，取得了良好的效果.

3.1 強(qiáng)調(diào)對思維和表達(dá)能力的考查

3.1.1 綜合考查數(shù)學(xué)思維

思維能力在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到最本質(zhì)、最核心的作用，對于思維能力的考查是高考數(shù)學(xué)科考查目標(biāo)中的重中之重.思維能力包括觀察、猜想、類比、抽象、概括、證明等推理能力，還包括信息獲取、加工等認(rèn)知能力，創(chuàng)新意識、創(chuàng)新方法、創(chuàng)新能力也是思維能力的高層次表現(xiàn)，這些能力都是影響學(xué)生個(gè)人終身發(fā)展的關(guān)鍵能力.在理論聯(lián)系實(shí)際，結(jié)合具體實(shí)踐中的問題綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的過程中，這些關(guān)鍵能力起到至關(guān)重要的作用.為此，新高考數(shù)學(xué)將繼續(xù)貫徹“多考一些想的、少考一些算的”這一原則和理念，著重在數(shù)學(xué)應(yīng)用和探究等方面突出體現(xiàn)對思維能力的考查[6]，從根本上引導(dǎo)學(xué)生提升數(shù)學(xué)應(yīng)用的素養(yǎng).

例如2018年全國I卷理科數(shù)學(xué)第20題和2019年全國I卷理科數(shù)學(xué)第21題，兩題都是有實(shí)際背景的應(yīng)用型試題，將概率統(tǒng)計(jì)知識分別與函數(shù)導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的內(nèi)容相結(jié)合，綜合考查學(xué)生的思維能力，尤其是不同知識模塊交叉運(yùn)用的能力.這兩個(gè)題目都有一定難度，所涉及的數(shù)學(xué)模型比較復(fù)雜，思維量較大，考查的知識范圍較廣，涉及到數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部各知識模塊之間的綜合與應(yīng)用，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與數(shù)學(xué)思維能力起到了很好的促進(jìn)作用.再如2021年八省聯(lián)考第16題以物理測量誤差為背景，將物理問題與其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理相結(jié)合，綜合考查正態(tài)分布的相關(guān)知識與問題分析能力，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維跨學(xué)科的運(yùn)用，對學(xué)生拓寬思維廣度具有良好的導(dǎo)向作用.

3.1.2 注重考查數(shù)學(xué)表達(dá)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》中“用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的課程理念體現(xiàn)在數(shù)學(xué)應(yīng)用的各個(gè)方面，數(shù)學(xué)表達(dá)能力不僅包括能用口頭語言或書面語言溝通交流的基本能力，還包括能通過數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)思維與現(xiàn)實(shí)世界的重要能力.能夠準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赜脭?shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)思想，描述現(xiàn)實(shí)事物，是數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的重要組成部分.數(shù)學(xué)科高考落實(shí)應(yīng)用性的考查要求，就要引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在日常生活中以及學(xué)習(xí)過程中，能夠發(fā)現(xiàn)身邊事物或者新的課程學(xué)習(xí)情境與數(shù)學(xué)的關(guān)系，針對這些關(guān)聯(lián)提出問題，并能夠?qū)⑦@些問題抽象成為可以解釋的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述和表達(dá).

近年高考試題中，通過對數(shù)學(xué)模型的分析、解釋、描述等形式，不斷強(qiáng)化對于數(shù)學(xué)表達(dá)能力的考查.例如2018年全國II卷文、理科數(shù)學(xué)第18題，給出了關(guān)于同一組數(shù)據(jù)的兩種數(shù)學(xué)模型描述，要求通過計(jì)算和分析來比較哪一種模型更符合實(shí)際，預(yù)測更有效.2019年全國I卷理科數(shù)學(xué)第21題要求通過計(jì)算結(jié)果解釋題目中給出的試驗(yàn)方案的合理性.2020年全國II卷文、理科數(shù)學(xué)第18題要求根據(jù)實(shí)際情況判斷抽樣方式的合理性.這些題目的共同點(diǎn)在于要通過運(yùn)用數(shù)學(xué)知識能力對問題進(jìn)行分析，進(jìn)而利用分析結(jié)果來解釋和回答問題.不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)證明或計(jì)算問題，這類題目的考查重點(diǎn)在于運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)和說明，通過這種形式很好地體現(xiàn)了新課標(biāo)“用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的教學(xué)理念.

3.2 試題情境的真實(shí)化

高考評價(jià)體系在應(yīng)用性的考查要求中強(qiáng)調(diào)“真懂會用”，這就要求高考試題情境要更加貼近學(xué)生生活實(shí)際，讓學(xué)生體會到身邊的數(shù)學(xué)，認(rèn)識到所學(xué)知識是有用的.在試題中通過使用真實(shí)背景，真實(shí)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等方法，能夠有效提升學(xué)生對于題目真實(shí)性的感受度，進(jìn)而有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)工具在解決實(shí)際問題時(shí)的使用方法和適用范圍，對提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力有著積極的引導(dǎo)作用.

在高考數(shù)學(xué)科一些涉及實(shí)際生活背景的試題中，往往采用真實(shí)數(shù)據(jù)和真實(shí)情境，使題目更加真實(shí)可信.例如2018年全國II卷文、理科數(shù)學(xué)第18題中給出的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額數(shù)據(jù)來源于統(tǒng)計(jì)局公布的真實(shí)數(shù)據(jù)；2020年新高考II卷(供海南省使用的新高考全國卷)第9題中的復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)數(shù)據(jù)來源于地方政府公布的稅電復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù).2020年高考數(shù)學(xué)科關(guān)注時(shí)事，“戰(zhàn)疫”科學(xué)入題，全國III卷文、理科數(shù)學(xué)第4題和新高考I卷(供山東省使用的新高考全國卷)第6題都是有關(guān)新冠肺炎傳播的數(shù)學(xué)模型，試題素材取自于我國學(xué)者基于實(shí)際數(shù)據(jù)的研究成果，具有完全真實(shí)的情境，相關(guān)參數(shù)真實(shí)可靠.

3.3 試題形式的動(dòng)態(tài)調(diào)整

2020年10月，中共中央、國務(wù)院印發(fā)的《深化新時(shí)代教育評價(jià)改革總體方案》中明確指出，要“改變相對固化的試題形式，增強(qiáng)試題開放性，減少死記硬背和‘機(jī)械刷題’現(xiàn)象”.在近年的數(shù)學(xué)科高考中，采取多種形式對試題形式進(jìn)行了調(diào)整.在實(shí)際問題中，解決問題的方式方法經(jīng)常是多樣的，答案與結(jié)論也沒有一定之規(guī).因此在面臨實(shí)際問題時(shí)，思維的靈活性、多樣性往往起到重要的作用.為使應(yīng)用型問題更加貼合實(shí)際，高考數(shù)學(xué)近年在增強(qiáng)題目開放性與探究性上做出了一些探索，對中學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識、提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力等方面產(chǎn)生了積極的影響.同時(shí)，新高考中將進(jìn)一步加強(qiáng)對命題技術(shù)和評分量表的研究，在進(jìn)行試題形式創(chuàng)新、提高解答主觀性的同時(shí)，也要保證構(gòu)建的科學(xué)性和可操作性，以保障試題的區(qū)分和考查效果.

例如2018年全國III卷文、理科數(shù)學(xué)第18題要求根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表判斷哪種生產(chǎn)方式效率高，2020年全國II卷文、理科數(shù)學(xué)第18題要求根據(jù)實(shí)際情況給出一種合理的抽樣方法并說明理由，這類題目的答案往往沒有一定之規(guī)，學(xué)生需要根據(jù)自己對于知識的理解對問題進(jìn)行說明，這實(shí)際上考查了更為高階的知識理解、運(yùn)用與遷移的能力.2021年八省聯(lián)考第20題以大興機(jī)場為背景，將高等數(shù)學(xué)中的著名定理遷移到中學(xué)知識內(nèi)容的范圍，著重強(qiáng)調(diào)學(xué)生對新概念的理解能力，拓展了立體幾何問題的考查方式與形式，打破常規(guī)套路，引導(dǎo)學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)理解能力的培養(yǎng).

此外，2020年新高考全國卷在題型上進(jìn)行了新的探索，引入了結(jié)構(gòu)不良試題，這是新高考全國卷增強(qiáng)題目開放性與探究性的一個(gè)重要舉措.結(jié)構(gòu)不良試題的開放程度更高，要求學(xué)生在題目所給的多個(gè)條件中選取一個(gè)，或是補(bǔ)充條件，亦或去掉冗余條件進(jìn)行作答，不同的選擇可能會得出不同的結(jié)論.學(xué)生在解答這類問題時(shí)，能夠根據(jù)自身的知識儲備，選取適合自己的形式和方法作答.從功能上看，這類問題不僅能夠考查思維的多樣性和靈活性，而且有利于引導(dǎo)學(xué)生從多角度來思考問題.

4 結(jié)語

高考作為素質(zhì)教育的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生支撐未來學(xué)習(xí)、工作的關(guān)鍵能力.學(xué)科知識應(yīng)用能力是聯(lián)接高中所學(xué)知識和未來學(xué)習(xí)、工作的關(guān)鍵能力，在高考內(nèi)容中應(yīng)得到充分的體現(xiàn).高考評價(jià)體系中明確提出將應(yīng)用性作為重要的考查要求，數(shù)學(xué)科以高考評價(jià)體系為指導(dǎo)，越來越重視對于數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查和引導(dǎo).應(yīng)用型試題作為高考數(shù)學(xué)科應(yīng)用性考查的最主要方式，在近年的高考題，尤其是新高考全國卷中所占比重有所增加，其考查方式與呈現(xiàn)形式也愈加多樣，這些改革舉措取得了良好的成效，產(chǎn)生了積極的影響.今后，隨著新高考的逐步落地，數(shù)學(xué)科應(yīng)不斷研究探索，通過創(chuàng)新試題情境設(shè)置等手段更好實(shí)現(xiàn)應(yīng)用性的考查要求，為落實(shí)立德樹人的教育根本任務(wù)，實(shí)現(xiàn)高考考查的核心功能提供更加科學(xué)的評價(jià)手段.