有界區(qū)域內(nèi)相互作用的Forchheimer-Darcy流體方程組解的結構穩(wěn)定性

石金誠，李遠飛

（廣州華商學院數(shù)據(jù)科學學院，廣東廣州511300）

0 引 言

近年來，偏微分方程解的結構穩(wěn)定性引起廣泛關注。傳統(tǒng)穩(wěn)定性主要研究解對初始數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，而結構穩(wěn)定性主要研究模型本身的穩(wěn)定性。有關結構穩(wěn)定性的本質(zhì)，可參考文獻［1-2］中介紹的連續(xù)流體力學模型的結構穩(wěn)定性。在模型建立過程中，誤差時刻存在，因此，探究方程本身結構系數(shù)的細微變化是否會導致解的急劇變化意義重大。

關于結構穩(wěn)定性的研究主要集中在多孔介質(zhì)中的 Brinkman，Darcy，F(xiàn)orchheimer方程組，文獻［3-13］考慮了區(qū)域中只有以上3個方程組中一個方程組的情況。文獻［14-16］研究了其他方程的結構穩(wěn)定性。

文獻［17］給出了Brinkman方程組和Darcy方程組在同一界面相互作用的結構穩(wěn)定性結果，研究了方程組的解對界面邊界系數(shù)α1的連續(xù)依賴性。在此基礎上，LIU等［18-19］獲得一些新結果。如果將文獻［17］中的Brinkman方程組改為Forchheimer方程組，由于Forchheimer方程組中不包含Δu項，所以獲得梯度的界的難度將增加，因此，如何處理非線性項|u|ui是本研究的難點。

本文的目的是研究在多孔介質(zhì)流中相互作用的Forchheimer-Darcy方程組的解對Forchheimer系數(shù)的收斂性。平面Z=x3=0的適當部分L是Ω1和Ω2中的共同邊界，其中，Ω1是x3＞ 0的區(qū)域，而Ω2是x3＜0的區(qū)域，即邊界 L 是 ?Ω1和 ?Ω2的共同接觸面。一方面，假設黏性流體在Ω1中是緩慢流動的，所以對應Forchheimer方程組。另一方面，假設黏性流體在Ω2中在多孔介質(zhì)中滿足Darcy方程組。Ω1和Ω2的共同邊界用L表示，其余邊界部分用Γ1和Γ2表示，因此，?Ω1=Γ1∪L和?Ω2=Γ2∪L。

首先，在 Ω1×[0，τ]中，討論 Forchheimer流體方程組：

其中，ui，p，T分別為速度、壓強和溫度，gi(x)為重力向量函數(shù)，假設 gi滿足|g|≤ G1，|?g|≤ G2，Δ 為拉普拉斯算子，k為熱擴散系數(shù)，Ω1為R3中有界單連通的星形區(qū)域，τ為給定的且0≤τ＜∞的數(shù)?！?，”表示求偏導，“，i” 表示對 xi求偏導，如，重復指標表示求和，如

在 Ω2×[0，τ]中，討論 Darcy流體方程組：

其中，vi，q，S分別為速度、壓強和溫度，kS為熱擴散系數(shù)，Ω2為R3中有界單連通的星形區(qū)域，邊界條件為

最后，在界面上假設L×{t＞0}滿足

1 先驗界

首先，估計關于T和S的界。方程組(1)第3式兩邊同乘 2rT2r-1(r＞ 1)，且在 Ω1×[0，t]上積分，可得

2 收斂性