Stephenson-Ⅲ型平面六桿機構(gòu)軌跡綜合的代數(shù)求解

李學剛，張麗娟，魏世民，李河清

(1.北京郵電大學自動化學院，北京100876；2.華北理工大學機械工程學院，河北唐山063210)

平面六桿機構(gòu)可以實現(xiàn)豐富的連桿軌跡，與四桿機構(gòu)相比，其具有運動所占空間小、便于實現(xiàn)停歇運動、易于取得有利傳動角、可實現(xiàn)多重運動等優(yōu)勢[1]，但其尺寸參數(shù)較多，運動要求多樣而復雜，尺度綜合設計較為困難。目前，求解該問題的方法主要有圖譜法[2-3]、優(yōu)化法[4-7]、精確點法[8-11]等。其中：圖譜法、優(yōu)化法雖然能夠完成平面六桿機構(gòu)軌跡綜合問題，但由于平面六桿機構(gòu)尺寸參數(shù)較多，解域空間大，建立完備的數(shù)值圖譜庫和給定合理優(yōu)化初值難度較大，使用這些方法進行機構(gòu)綜合有時難以得到精確的最優(yōu)結(jié)果；精確點法通過建立約束方程，求解得到機構(gòu)尺度參數(shù)，雖然可以得到較為精確的綜合結(jié)果，但受機構(gòu)未知參數(shù)個數(shù)的限制，無法實現(xiàn)多點位連續(xù)軌跡綜合。

作者針對Stephenson-Ⅲ型平面六桿機構(gòu)，提出一種基于傅氏級數(shù)的連續(xù)軌跡綜合的代數(shù)求解方法。與原有方法相比，該方法通過方程求解得到機構(gòu)設計參數(shù)，其解的精度高，完備性強，且不需要提供優(yōu)化的初值，也無需事先建立圖譜庫。有效擴大了代數(shù)法的適用范圍，提高了連桿機構(gòu)近似運動綜合的求解精度和速度。

1 連桿曲線的傅氏級數(shù)表示

圖1為Stephenson-Ⅲ型平面六桿機構(gòu)示意圖。機構(gòu)各桿長尺寸分別為l1、l2、l3、l4、l5、l6，機架AD與x軸的夾角為 β，A點到原點o的距離為r，旋轉(zhuǎn)角度為 μ，α1為機架上的角∠GAD， α2、 α3分別為浮動桿Ⅰ、Ⅱ上的角∠EBC、∠PEF， θ1為連桿BC與機架AD之間的夾角，θ2為連桿EF的輻角，φ、φ0分別為機構(gòu)的輸入桿轉(zhuǎn)角、初始位置轉(zhuǎn)角，浮動桿Ⅰ、Ⅱ上E點、P點分別為連桿軌跡生成點。

Stephenson-Ⅲ平面六桿機構(gòu)為多環(huán)組合機構(gòu)，其可以看作在四桿機構(gòu)ABCD上串聯(lián)了一個二桿組EFG。其浮動桿Ⅰ上的E點產(chǎn)生軌跡曲線即為四桿機構(gòu)ABCD的連桿曲線，浮動桿Ⅱ上的P點可以產(chǎn)生更為復雜的連桿曲線。

由文獻[3]可知：當曲柄AB以 ω勻速轉(zhuǎn)動時，角度φ、 θ1、 θ2、 ρ均為以時間t為變量的周期性函數(shù)，且有φ=ωt；E點和P點產(chǎn)生的連桿曲線為周期性封閉曲線，可以表示為以φ為變量的傅氏級數(shù)之和：

圖1 Stephenson-Ⅲ六桿機構(gòu)軌跡生成圖Fig.1 Illustration of a planner Stephenson-Ⅲsix-bar linkage

2 平面六桿機構(gòu)綜合設計方程建立

由圖1可以發(fā)現(xiàn)，完成Stephenson-Ⅲ型平面六桿機構(gòu)的軌跡綜合，需要確定包括初始相位角在內(nèi)的15個獨立設計變量：r、l1、l2、l21、l3、l4、l5、l6、l61、φ0、β、α1、α2、α3、μ，為使所建立的綜合設計方程求解方便，能夠獲取方程解析解，將該機構(gòu)拆分成1個四桿機構(gòu)和1個二桿組，分兩部分求解機構(gòu)的設計變量。

2.1 左側(cè)四桿機構(gòu)設計變量求解

如果以E點軌跡為綜合目標，機構(gòu)左側(cè)四桿機構(gòu)ABCD的綜合過程可以完全等效為1個平面四桿機構(gòu)軌跡綜合問題。作者在文獻[12-14]中已建立了基于傅氏級數(shù)的平面四桿機構(gòu)軌跡綜合的代數(shù)方法，提出了該機構(gòu)軌跡綜合設計變量計算的通用公式。應用該通式可以計算得到左側(cè)四桿機構(gòu)的10個設計變量，r、μ、l1、l2、l21、l4、l61、φ0、α2、β變量的計算公式如下：

2.2 右側(cè)二桿組設計變量求解

由文獻[14]可知，左側(cè)四桿機構(gòu)的設計參數(shù)可以得到12組解，將其與右側(cè)二桿組的設計參數(shù)得到的4組解進行組合，最終可以得到48組Stephenson-Ⅲ型平面六桿機構(gòu)軌跡綜合設計參數(shù)。將綜合所得機構(gòu)代入仿真程序，進行運動分析，檢驗是否存在曲柄，有無分支、順序問題，并依據(jù)綜合誤差，最終可得到最優(yōu)綜合結(jié)果。

3 綜合步驟

依據(jù)前面分析，可以建立Stephenson-Ⅲ型平面六桿機構(gòu)軌跡綜合的代數(shù)求解方法，具體步驟如下：

1）將Stephenson-Ⅲ型平面六桿機構(gòu)拆分為四桿機構(gòu)和二級桿組，根據(jù)E點的軌跡生成任務，利用式（5）得到連桿曲線的諧波參數(shù)cn，將其代入平面四桿機構(gòu)軌跡綜合的設計參數(shù)計算通用公式，得到左側(cè)四桿機構(gòu)的設計參數(shù)r、μ、l1、l2、l21、l4、l61、φ0、α2、β。

3）對所得48組綜合結(jié)果進行運動仿真，檢驗其是否存在曲柄，有無分支問題、順序問題，并依據(jù)綜合誤差，最終得到滿足設計要求的Stephenson-Ⅲ型平面六桿機構(gòu)。

4 綜合實例

實例：綜合Stephenson-Ⅲ型平面六桿機構(gòu)，使其E點和P點實現(xiàn)的兩條面包形軌跡，目標軌跡的具體坐標值列于表1中。

表1 E、P點軌跡采樣點的坐標值Tab.1 Coordinatesof prescribed pointsof E and P

圖2 生成軌跡與目標軌跡點的比較Fig.2 Comparison between prescribed points and the corresponding generated path

表2 目標軌跡點的傅式級數(shù)展開的諧波參數(shù)Tab.2 Fourier coefficients of coordinates of prescribed points

圖2(a)、(b)分別為E、P兩點目標軌跡與機構(gòu)生成軌跡的比較。從圖2中可以發(fā)現(xiàn)，該方法綜合的機構(gòu)能夠較好地再現(xiàn)目標軌跡。

5 結(jié) 論

建立了一種基于傅氏級數(shù)的Stephenson-Ⅲ型平面六桿機構(gòu)軌跡綜合的代數(shù)求解新方法。與已有的綜合方法相比，該方法克服了精確點數(shù)目的限制，無需給定初值和建立數(shù)值圖譜庫，不需要進行查找和迭代運算，具有計算速度快、求解精度高、可重復性強的優(yōu)點；該方法可以同時提供多種綜合結(jié)果，為設計者提供更多的選擇。如果該方法所得結(jié)果的精度不能滿足設計要求，可將其作為初值進行優(yōu)化綜合，進一步得到滿足設計要求的結(jié)果。