2-UPR&2-RPU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與功耗分析

林光春，廖勛寶，趙榮寬，陳世超

(四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川成都610065)

自HUNT 1983年提出3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)以來(lái)，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)已經(jīng)應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，其中具有兩轉(zhuǎn)一移（2R1T）的3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)極具應(yīng)用價(jià)值[1-2]。冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)是輸入構(gòu)件數(shù)目多于輸出構(gòu)件自由度數(shù)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，相對(duì)于一般的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其具有更高的剛度、更優(yōu)的力傳遞性能和更大的承載能力等優(yōu)點(diǎn)。因此，具有2R1T 3自由度的冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)也是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)[3-7]。

運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析是并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的基礎(chǔ)。周結(jié)華等[8]對(duì)空間3自由度的4-SPS/S冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析；陳修龍等[9]提出一種4-UPSRPU空間4自由度冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，利用矢量法建立該機(jī)構(gòu)位置反解、速度求解和加速度求解的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型可以通過(guò)Lagrange法、牛頓-歐拉法、虛功原理等方法進(jìn)行構(gòu)建[10-12]。牛雪梅等[13]運(yùn)用最小二范數(shù)法對(duì)一種新型機(jī)構(gòu)工作空間的非約束等效廣義力到軸向驅(qū)動(dòng)力進(jìn)行優(yōu)化。Lee等[14]采用驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)對(duì)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了能耗分析，結(jié)果表明冗余驅(qū)動(dòng)能夠明顯地降低并聯(lián)機(jī)構(gòu)的功耗。周鑫等[15]基于全雅可比矩陣和偽逆法求解了5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的內(nèi)力。董成林等[16]對(duì)含冗余驅(qū)動(dòng)支鏈4-UPS&UP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能進(jìn)行分析，并在相同條件下與3-UPS&UP并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，得到前者運(yùn)動(dòng)學(xué)性能優(yōu)于后者的結(jié)論。胡小亮等[17]分別利用驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)與最小驅(qū)動(dòng)總功率對(duì)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力和能耗進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果表明，冗余驅(qū)動(dòng)能夠明顯地降低驅(qū)動(dòng)器的瞬時(shí)驅(qū)動(dòng)力以及機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的功耗。

作者提出了一種含有冗余支鏈的具有兩轉(zhuǎn)一移3自由度2-UPR&2-RPU新型冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，結(jié)合機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性，運(yùn)用螺旋理論進(jìn)行機(jī)構(gòu)的自由度分析，然后分別構(gòu)建了該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)的優(yōu)化方法推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力和驅(qū)動(dòng)功率模型。最后，通過(guò)數(shù)值算例仿真得到2-UPR&2-RPU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的驅(qū)動(dòng)力及功耗。

1 機(jī)構(gòu)模型描述與自由度分析

1.1 機(jī)構(gòu)描述

如圖1所示，2-UPR&2-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)通過(guò)兩個(gè)完全相同的UPR（虎克鉸-移動(dòng)副-轉(zhuǎn)動(dòng)副）支鏈以及兩個(gè)RPU（轉(zhuǎn)動(dòng)副-移動(dòng)副-虎克鉸）支鏈與動(dòng)平臺(tái)相連接。在兩條UPR支鏈中，U副的第1個(gè)轉(zhuǎn)軸共線，P副移動(dòng)方向通過(guò)U副中心點(diǎn)并始終與U副的第2個(gè)轉(zhuǎn)軸垂直，與動(dòng)平臺(tái)相連接的兩個(gè)R副軸線方向平行。兩條RPU支鏈中的R副轉(zhuǎn)軸平行且與UPR支鏈中U副第1轉(zhuǎn)軸共面，P副移動(dòng)方向經(jīng)過(guò)U副中心并始終與R副的轉(zhuǎn)軸垂直，與動(dòng)平臺(tái)連接的U副第1轉(zhuǎn)軸向方向與R副軸線平行，第2轉(zhuǎn)軸通過(guò)動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心。

圖1 2-UPR&2-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 2-UPR&2-RPU parallel mechanism

2-UPR&2-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的定/動(dòng)坐標(biāo)系如圖2所示，對(duì)圖2中的參數(shù)做如下說(shuō)明：

圖2 機(jī)構(gòu)參數(shù)Fig.2 Parametersof mechanism

A1、A3分別為兩條UPR支鏈中的U副轉(zhuǎn)動(dòng)中心點(diǎn)，B1、B3為其R副質(zhì)心點(diǎn)，A2、A4分別為兩條RPU支鏈中R副的質(zhì)心點(diǎn)，B2、B4為其U副的轉(zhuǎn)動(dòng)中心點(diǎn)。

定坐標(biāo)系O-xy z的原點(diǎn)O為A1A3的中心點(diǎn)，x軸與OA2共線，y軸沿著OA1方向，則z軸由右手法則確定為垂直向下；動(dòng)坐標(biāo)系o-uvw的原點(diǎn)o為動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心，u指向點(diǎn)B2，v沿著oB1方向，可確定w軸垂直動(dòng)平臺(tái)向下。其中，|OAi|=a，|OBi|=b，i=1,2,3,4。

1.2 自由度分析

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

2.1 位置逆解

2-UPR&2-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解問(wèn)題為已知機(jī)構(gòu)的具體尺寸參數(shù)和動(dòng)平臺(tái)中心o相對(duì)于定坐標(biāo)系的位姿(x,y,z,ψ,θ,φ)，借助旋轉(zhuǎn)矩陣確定機(jī)構(gòu)各支鏈中驅(qū)動(dòng)桿的桿長(zhǎng)矢量l i。

對(duì)于2-UPR&2-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為：

分支坐標(biāo)系按照下面步驟建立：以各支鏈的Bi為原點(diǎn)，z i沿著B(niǎo)iAi方向。對(duì)于UPR支鏈，xi軸沿著定坐標(biāo)系的x軸的正方向，yi軸 通過(guò)z i軸與xi軸的矢量積得到；對(duì)于RPU支鏈，yi軸沿著定坐標(biāo)系的y軸的正方向，xi軸 則通過(guò)yi軸 與z i軸的矢量積求得。

2.2 速度分析

微分變換法和矢量積法是并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣求解的常用方法。采用基于符號(hào)運(yùn)算的微分變換法，求出機(jī)構(gòu)1階影響系數(shù)矩陣，然后通過(guò)1階運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)對(duì)2-UPR&2-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)速度雅可比矩陣進(jìn)行求解。

2.3 加速度分析

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)反映了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)本質(zhì)。下面利用2階影響系數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)的加速度進(jìn)行求解。

2.4 支鏈雅克比求解

設(shè)動(dòng)平臺(tái)的速度和角速度分別為v o及 ωo，根據(jù)速度合成定理，動(dòng)平臺(tái)上各鉸點(diǎn)Bi的速度矢量與動(dòng)平臺(tái)，

3 動(dòng)力學(xué)及驅(qū)動(dòng)功率分析

對(duì)2-UPR&2-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，并利用驅(qū)動(dòng)力的二范數(shù)解，對(duì)該機(jī)構(gòu)及的輸入功率進(jìn)行分析。

3.1 動(dòng)力學(xué)分析

其中，E為單位矩陣。

式（32）即可作為該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。對(duì)于2-UPR&2-RPU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，式（32）為3個(gè)線性方程，但有4個(gè)未知數(shù)，故方程的解不唯一。

3.2 驅(qū)動(dòng)功率分析

4 數(shù)值模擬與仿真分析

通過(guò)具體的實(shí)例對(duì)所建立的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行仿真。該機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)和慣性參數(shù)分別如表1和2所示。

表1 機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)Tab.1 Geometric parameters of mechanism

表2 機(jī)構(gòu)慣性參數(shù)Tab.2 Inertia parametersof mechanism

動(dòng)平臺(tái)和驅(qū)動(dòng)桿的慣性矩陣分別為：

在動(dòng)坐標(biāo)系中，作用于動(dòng)平臺(tái)的外力和外力矩分別為：

基于理論推導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)模型在MATLAB里進(jìn)行仿真解算，步長(zhǎng)為0.1 s，時(shí)間為20 s。由式（13）得到驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)變化如圖3所示，根據(jù)式（16）和（18）得到驅(qū)動(dòng)桿速度與加速度曲線如圖4和5所示。

圖3 桿長(zhǎng)變化曲線Fig.3 Length curves of rods

圖4 驅(qū)動(dòng)桿速度曲線Fig.4 Velocity curvesof driving rods

圖5 驅(qū)動(dòng)桿加速度曲線Fig.5 Acceleration curves of driving rods

由圖3可知，桿長(zhǎng)變化最大的是驅(qū)動(dòng)桿2，變化范圍為0.25～0.375 m。根據(jù)圖4和5可得：機(jī)構(gòu)最大速度和加速度都出現(xiàn)在驅(qū)動(dòng)桿2，分別為0.040 m/s和-0.027 m/s2；在運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，4個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的速度沒(méi)有突變，因此機(jī)構(gòu)沒(méi)有剛性沖擊，但是加速度在運(yùn)動(dòng)的開(kāi)始和結(jié)束都存在一定的突變，因?yàn)橛邢拗档膽T性力，會(huì)產(chǎn)生一定的柔性沖擊。驅(qū)動(dòng)桿速度、加速度變化規(guī)律和變化范圍與動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和桿件結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。

由式（33）得到驅(qū)動(dòng)力仿真結(jié)果如圖6所示。根據(jù)式（34）求解出的驅(qū)動(dòng)功率仿真結(jié)果如圖7所示。對(duì)于2-UPR&2-RPU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其總功為4個(gè)驅(qū)動(dòng)桿做功之和。由式（35）可得冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解在仿真周期內(nèi)的驅(qū)動(dòng)器總功率，如圖8所示。

圖6 驅(qū)動(dòng)力仿真曲線Fig.6 Simulation curvesof driving forces

圖7 驅(qū)動(dòng)功率仿真曲線Fig.7 Simulation curves of driving power

圖8 總功率仿真曲線Fig.8 Simulation curvesof sum of driving power

由圖6可知，2-UPR&2-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解最大驅(qū)動(dòng)力出現(xiàn)在驅(qū)動(dòng)桿1，其最大驅(qū)動(dòng)力為-1202.3 N。2-UPR&2-RPU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，驅(qū)動(dòng)桿1和驅(qū)動(dòng)桿3起主導(dǎo)作用，兩者的驅(qū)動(dòng)力都明顯大于驅(qū)動(dòng)桿2和驅(qū)動(dòng)桿4；整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程驅(qū)動(dòng)力的變化比較平緩，表明機(jī)構(gòu)各支鏈在關(guān)節(jié)處的碰撞較輕，產(chǎn)生的沖擊動(dòng)載荷較小，不僅有利于降低零件的磨損速率，提高桿件的壽命，保持機(jī)構(gòu)的精度及穩(wěn)定性，還有利于機(jī)構(gòu)的實(shí)際控制。

由圖7可知，在仿真周期內(nèi)，2-UPR&2-RPU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解驅(qū)動(dòng)功率較小，最大驅(qū)動(dòng)功率出現(xiàn)在驅(qū)動(dòng)桿1的2.6 s處，為-30.68 W，即驅(qū)動(dòng)桿做負(fù)功。機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)桿1、驅(qū)動(dòng)桿2以及驅(qū)動(dòng)桿3的驅(qū)動(dòng)功率都明顯大于驅(qū)動(dòng)桿4的驅(qū)動(dòng)功率。

由圖8可以看出，2-UPR&2-RPU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)總功率絕對(duì)值最大分別出現(xiàn)在2.7 s和12.7 s處，通過(guò)計(jì)算可得其驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解的總功為1143.2 J。

為了更加直觀地反映機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的狀態(tài)并與MATLAB的仿真結(jié)果做對(duì)比以驗(yàn)證所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型的正確性，在ADAMS中建立虛擬樣機(jī)，如圖9所示，并進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，結(jié)果如圖10所示。

圖9 虛擬樣機(jī)模型Fig.9 Virtual prototypemodel

對(duì)比ADAMS和MATLAB的仿真結(jié)果可知，在仿真周期內(nèi)，兩者得到的各支鏈桿長(zhǎng)、速度、加速度結(jié)果在量值上相等，曲線變化趨勢(shì)完全吻合，驗(yàn)證了該運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。MATLAB求解動(dòng)力學(xué)結(jié)果與ADAMS虛擬仿真的結(jié)果相近，仿真曲線的變化趨勢(shì)基本一致，但有較小誤差。其中，驅(qū)動(dòng)桿2的驅(qū)動(dòng)力最大誤差為1.83%，約9.17 N，驅(qū)動(dòng)桿1的驅(qū)動(dòng)力最大誤差相對(duì)較小，為0.091%，驅(qū)動(dòng)桿3、驅(qū)動(dòng)桿4的最大誤差分別為：1.04%、1.40%。造成誤差的主要原因是ADAMS模型中沒(méi)有考慮機(jī)構(gòu)重力的影響，另外，質(zhì)量參數(shù)的估算誤差以及慣性參數(shù)的設(shè)置誤差也是其原因之一。綜合上述分析可知，所構(gòu)建的動(dòng)力學(xué)模型也是合理的。

圖10 ADAMS仿真結(jié)果Fig.10 Simulation results in ADAMS

5 結(jié) 論

1）提出一種新型的2-UPR&2-RPU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，運(yùn)用螺旋理論計(jì)算出該機(jī)構(gòu)具有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和1個(gè)移動(dòng)自由度，并利用修正的G-K公式驗(yàn)證計(jì)算的準(zhǔn)確性，基于機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性建立閉環(huán)矢量方程，進(jìn)而得到運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解以及機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間和操作空間的映射關(guān)系，利用2階影響系數(shù)矩陣建立機(jī)構(gòu)加速度模型，為動(dòng)力學(xué)分析奠定了基礎(chǔ)。

2）利用虛功原理構(gòu)建出機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，采用驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解的優(yōu)化方法，求解2-UPR&2-RPU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力和驅(qū)動(dòng)功率。

3）通過(guò)具體的算例，應(yīng)用MATLAB對(duì)所構(gòu)建的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行編程計(jì)算，然后在ADAMS建立2-UPR&2-RPU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)并進(jìn)行仿真。MATLAB和ADAMS對(duì)比仿真的結(jié)果驗(yàn)證了所構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的正確性。結(jié)果表明，在給定動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的條件下，該冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)沒(méi)有剛性沖擊，但在運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，會(huì)產(chǎn)生較弱的柔性沖擊，各個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的驅(qū)動(dòng)力變化平緩，機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解所做總功為1143.2 J。仿真結(jié)果為該機(jī)構(gòu)冗余驅(qū)動(dòng)方式的選擇以及驅(qū)動(dòng)力的控制提供了參考依據(jù)。