介質(zhì)存在時(shí)利用鏡像法求解電勢的討論

付春娥

(西安交通大學(xué) 物理學(xué)院 應(yīng)用物理系，陜西 西安 710049)

若假設(shè)在下半空間是充滿介電常數(shù)為ε的介質(zhì)，上半空間在(0,0,a)處有一點(diǎn)電荷q，那么在點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場的作用下，介質(zhì)將發(fā)生極化，在介質(zhì)的交界面處會(huì)出現(xiàn)極化電荷，進(jìn)而極化電荷產(chǎn)生附加電場，與點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的場疊加在一起形成總場.對于此電場的求解，一般采用鏡像法[1-5]先求解相應(yīng)的電勢，再得到電場.而鏡像法的關(guān)鍵在于，在求解的區(qū)域外引入適當(dāng)?shù)溺R像電荷，使鏡像電荷與點(diǎn)電荷q形成的場滿足邊值關(guān)系.本文將要討論的是，在這種情況下，可以引入不同的鏡像電荷，而得到同樣的電勢.

1 在(0,0,a)和(0,0,-a)處引入鏡像電荷q′

考慮極化電荷在上半空間的電場，可在下半空間的引入的鏡像電荷q′(假設(shè)在(0,0,-a)處)，如圖1中(a)所示.同時(shí)，考慮極化電荷在下半空間的電場，可在上半空間引入的鏡像電荷q′(假設(shè)在(0,0,a)處)，如圖1中(b)圖所示.假定這兩個(gè)鏡像電荷的電量相同，進(jìn)而考慮邊值關(guān)系來確定它們的帶電量.

圖1 鏡像電荷的選擇1

建立直角坐標(biāo)系，引入上述鏡像電荷后，在上半空間某一點(diǎn)P1(x1,y1,z1)處的總電勢可以表示為

(1)

而在下半空間任意一點(diǎn)P2(x2,y2,z2)的電勢為

(2)

(3)

所以疊加得上半空間任意一點(diǎn)(x1,y1,z1)及下半空間中任意一點(diǎn)(x2,y2,z2)的電勢為

(4)

(5)

注意：在求下半空間的電勢時(shí)，此處用了真空中的介電常數(shù)，而不是介質(zhì)中的介電常數(shù).而由表達(dá)式(2)可以進(jìn)一步理解為，在下半空間的場是由在(0,0,a)處的總電量為

(6)

其鏡像電荷在真空中產(chǎn)生的電場為式(5).因此也可以將這種鏡像電荷稱為真空中的鏡像電荷，它所代替的是自由電荷與界面上的束縛電荷在下半空間的作用.

2 在(0,0,a)和(0,0,-a)處引入鏡像電荷q′及q″

下面給出另一種鏡像電荷的引入方法，可以得到與式(4)、(5)相同的場分布.

首先，如果仍假設(shè)在上半空間的電場由自由電荷及下半空空間(0,0,-a)處引入的鏡像電荷q′產(chǎn)生的場疊加而成，如圖1中(a)圖所示.那么在上半空間某一點(diǎn)P1(x1,y1,z1)處的總電勢可以表示為

(7)

那么下半空間任意一點(diǎn)P2(x2,y2,z2)的電勢為

(8)

由邊值關(guān)系最后可得

(9)

而此時(shí)空間中的電勢與用第一種方法求得的完全一致.

圖2 鏡像電荷的選擇2

由此可見，在介質(zhì)存在時(shí)，鏡像電荷的選擇并不唯一，不同的鏡像電荷都可以得到相同的場.從數(shù)學(xué)上講，這并不難理解，因?yàn)樵诮橘|(zhì)存在時(shí)，決定鏡像電荷的電量的(位置一般由對稱性決定了)由兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，而不同的方程有不同的解，所以鏡像電荷的電量可以不同.而最后的結(jié)果與唯一性定理并不矛盾.因?yàn)殓R像電荷是在保證此空間中的源與邊值關(guān)系都沒有被改變的前提下引入的，那么該空間中的場肯定是唯一的.

不過如果再由電場進(jìn)一步求出界面的束縛電荷，又會(huì)發(fā)現(xiàn)，第一種鏡像電荷的選擇其總電量與整個(gè)界面上的總電量相同，但第二種鏡像電荷卻與之不同.

3 介質(zhì)交界面上的極化電荷

既然求出了總的電磁場，可根據(jù)邊值關(guān)系求出面上的極化電荷面密度

(10)

對整個(gè)無限大平面積分，換到球坐標(biāo)系

(11)

由此可見，第一種鏡像電荷的選擇，其總電量與束縛電荷的總電量相同.

但是在上半空間不是真空，而是另外一種介質(zhì)時(shí)，雖然同樣可以找到不同的鏡像電荷，并得到最終的場(仍然是唯一的).可是這時(shí)，由總場算出的束縛電荷的總電荷量并不與任何的一種鏡像電荷的電量相同[2].