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    自行車系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬

    2021-01-25 03:59:54姜星宇
    大學(xué)物理 2021年2期
    關(guān)鍵詞:歐拉角角動(dòng)量后輪

    姜星宇

    (同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,上海 200092)

    從自行車發(fā)明以來(lái),其穩(wěn)定的原理一直是人們關(guān)注的內(nèi)容.R.S.Hand在其著作中對(duì)自行車穩(wěn)定性做出了定義:若自行車能夠經(jīng)過(guò)垂直其運(yùn)動(dòng)方向的擾動(dòng)后,傾斜角θ與操縱轉(zhuǎn)角β漸進(jìn)地趨于豎直平衡運(yùn)動(dòng),就是穩(wěn)定的[1,2].David E. H. Jones在1970年發(fā)表的The Stability of the Bicycle[3]中通過(guò)制作無(wú)法騎行的自行車過(guò)程中指出,在自行車的穩(wěn)定性上,陀螺的穩(wěn)定效應(yīng)并不是影響自行車平衡的主要因素,至少不是全部因素. 而前輪的幾何因素對(duì)中心高低的影響對(duì)于穩(wěn)定性也是十分重要的. 由于兩個(gè)非完整約束使自由度從無(wú)窮小時(shí)間內(nèi)的三個(gè)變成有限時(shí)間內(nèi)的七個(gè),加之前輪與車架之間具有十分復(fù)雜的的非線性幾何關(guān)系,因此解出嚴(yán)格的解幾乎是不可能的. 許多研究便對(duì)于模型進(jìn)行了線性的簡(jiǎn)化或者是只考慮其中某些廣義坐標(biāo),或者半定量地討論. 例如通過(guò)只考慮平衡位置附近的微小擾動(dòng)將約束方程與拉格朗日函數(shù)簡(jiǎn)化,最后得到線性微分方程[2]. 亦有將前叉設(shè)置為與輪心連線垂直的簡(jiǎn)化方法[4].

    對(duì)于自行車穩(wěn)定性的分析也具有一定的實(shí)際意義. 關(guān)于自行車的自動(dòng)化也就是無(wú)人操控保持平衡有不少研究[4,5],這也是未來(lái)將交通工具智能化的趨勢(shì). 而要做到這一點(diǎn),首先就要分析其平衡的條件與原理.

    在不能將其力學(xué)原理完全精確地計(jì)算出,直接實(shí)驗(yàn)又限于成本與時(shí)間時(shí),近似求解數(shù)值解對(duì)于研究自行車的穩(wěn)定性顯得十分重要.本文以拉格朗日方程為基本原理,從分析力學(xué)的角度對(duì)自行車系統(tǒng)近似計(jì)算與分析.

    1 基本原理

    (1)

    將第一項(xiàng)展開(kāi)也就是

    (2)

    其中cαi為坐標(biāo)的函數(shù),λα為約束力變量. 為使約束方程中出現(xiàn)二階導(dǎo),將約束方程求導(dǎo):

    (3)

    要注意的是,初始條件一定要滿足約束,如果不滿足,那么約束方程右端就會(huì)是一個(gè)由初始條件決定的非零常數(shù),而這往往不是我們所需要的.

    2 方法驗(yàn)證

    根據(jù)上述討論,我們將近似計(jì)算方法運(yùn)用到任意存在約束的力學(xué)系統(tǒng)當(dāng)中,求解拉格朗日方程. 對(duì)于不同的系統(tǒng),計(jì)算過(guò)程唯一的區(qū)別就是函數(shù)的形式,因此很方便利用計(jì)算機(jī)求解. 而對(duì)于參數(shù),根據(jù)力學(xué)相似性可以進(jìn)行歸一化,因此下面的討論均不考慮系數(shù)與單位的問(wèn)題. 先以傅科擺驗(yàn)證方法的可行性.

    在旋轉(zhuǎn)非慣性系下的球面擺是一個(gè)完整約束. 以x軸為東,y軸為北,慣性系中速度vabs=v+Ω×R0+Ω×r,那么拉格朗日函數(shù)為

    圖1 北極處傅科擺x-y圖及周期(Δt=0.01 s)

    表1 傅科擺周期隨緯度的變化

    3 自行車系統(tǒng)的分析

    3.1 輪的約束與動(dòng)能

    為了研究自行車系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng),我們先來(lái)分析一下輪的純滾動(dòng). 輪的純滾動(dòng)通常是一個(gè)非完整約束,它滿足接觸點(diǎn)速度為零,即drC+dφ×r=0. 其中rC為圓心位矢,φ為輪的角速度,r為輪上一點(diǎn)相對(duì)于圓心的位矢.

    現(xiàn)將輪簡(jiǎn)化為厚度遠(yuǎn)小于半徑,對(duì)稱的平面剛體. 它可以用質(zhì)心坐標(biāo)(x,y,z)與輪主軸歐拉角(θ,φ,ψ)來(lái)描述.
    圖2顯示,θ對(duì)應(yīng)的是輪與水平面的夾角,φ對(duì)應(yīng)的是輪平面與水平面交線與x軸的夾角,而ψ為自轉(zhuǎn)角. 根據(jù)垂直軸定理,I3=2I1=I. 對(duì)應(yīng)的動(dòng)能為

    (4)

    輪的約束為vC+Ω×r0=0 (vC為質(zhì)心速度,r0為接觸點(diǎn)相對(duì)圓心的位矢) ,3個(gè)分量為:

    也就是說(shuō)無(wú)窮小運(yùn)動(dòng)自由度共有3個(gè).

    圖2 輪的位置

    3.2 自行車模型

    對(duì)于自行車的研究主要是基于用最少的廣義坐標(biāo)描述系統(tǒng)的狀態(tài),將完整約束盡可能體現(xiàn)在計(jì)算時(shí)自由度的減少上. 這樣最少需要7個(gè)廣義坐標(biāo)(這里模擬時(shí)為簡(jiǎn)單起見(jiàn)并沒(méi)有將z=Rsinθ兩個(gè)完整約束直接代換因此使用了9個(gè)廣義坐標(biāo)). 而對(duì)于動(dòng)能與勢(shì)能的表示,需要用這些坐標(biāo)表示出前后輪的坐標(biāo)與歐拉角,也就是R.S.Hand在研究自行車系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)提到的“auxiliary variables”輔助坐標(biāo)[2].

    圖3是一個(gè)簡(jiǎn)化過(guò)后的自行車的模型. 后輪的輪心為C1,前輪的輪心為C2. 前輪的轉(zhuǎn)軸在圖中以虛線表示,前后輪在同一平面上時(shí)(即前輪未轉(zhuǎn)向)轉(zhuǎn)軸與C1C2的交點(diǎn)為C3,夾角為α. 于是C1C3作為X軸與后輪法向量作為Z軸構(gòu)成車架參考系.

    圖3 自行車的位形

    一個(gè)自行車系統(tǒng)具有兩個(gè)純滾動(dòng)的輪,也就是說(shuō)兩個(gè)輪在接觸處共有6個(gè)約束. 而在兩輪之間仍有約束,它們都是完整約束. 為了確定自行車的位形,在不考慮純滾約束的情況下可以使用后輪質(zhì)心位置C1(x1,y1,z1),車架的歐拉角θ、φ、ψ,前后輪的自轉(zhuǎn)角ψ1,ψ2,前輪相對(duì)于軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度β共9個(gè)廣義坐標(biāo)描述. 參數(shù)為輪的半徑R,質(zhì)量m,繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I,前輪轉(zhuǎn)軸角度α,車架的長(zhǎng)度C1C3=d與C3C2=δ.

    為求出系統(tǒng)的力學(xué)函數(shù)與約束,還需要用這9個(gè)坐標(biāo)和完整約束對(duì)應(yīng)的幾何關(guān)系表示出前后輪坐標(biāo)與歐拉角共12個(gè)坐標(biāo). 后輪在笛卡爾坐標(biāo)系下的位置為

    r1=(x1,y1,z1);θ1=θ;φ1=φ;ψ1=ψ1

    (5)

    而前輪的位置要通過(guò)車架參考系變換來(lái)求解. 現(xiàn)需要將OXYZ車架參考系繞Z旋轉(zhuǎn)-ψ,再繞X旋轉(zhuǎn)-θ,最后繞Z軸旋轉(zhuǎn)-φ得到Oxyz地面系. 定義旋轉(zhuǎn)矩陣:

    (6)

    對(duì)應(yīng)上述旋轉(zhuǎn),3個(gè)矩陣自右向左變換就可以通過(guò)乘上矩陣D將OXYZ系中的坐標(biāo)變換為Oxyz系中的坐標(biāo). 而在車架參考系中的前輪中心C2坐標(biāo)為

    (7)

    那么前輪在地面參考系中的位矢便為r2=r1+DR2. 前輪法向量n=D(-sinαsinβ,-cosαsinβ,cosβ),那么歐拉角:

    于是我們可以得到兩組坐標(biāo)的變換:

    Q=(x1,y1,z1,θ1,φ1,ψ1,x2,y2,z2,θ2,φ2,ψ2)T,

    q=(x1,y1,z1,θ,φ,ψ,ψ1,ψ2,β)T

    4 模擬結(jié)果

    在這里我們可以使用第3節(jié)中提供的約束矩陣C=C′J與拉格朗日函數(shù):

    直接利用非完整約束下的拉格朗日方程近似求解.函數(shù)中T1與T2對(duì)應(yīng)前輪與后輪的動(dòng)能,可用3.1中的動(dòng)能表達(dá)式得到.U為勢(shì)能函數(shù),即mgz1+mgz2.

    而參數(shù)我們可以用國(guó)際單位制表示現(xiàn)實(shí)生活中較為接近的自行車參數(shù). 如下表.

    表2 模擬參數(shù)(國(guó)際單位制)

    4.1 速度對(duì)穩(wěn)定性的影響

    圖4是不同初始速度下在滿足能量守恒的時(shí)間范圍內(nèi)θ與φ隨時(shí)間的變化. Δt代表近似計(jì)算所取的間隔,T為模擬的總時(shí)間.θ反映車身的傾角,而φ反映車的轉(zhuǎn)角. 可以看見(jiàn),速度太小時(shí)系統(tǒng)會(huì)迅速失去穩(wěn)定性.

    對(duì)于可以穩(wěn)定運(yùn)行的運(yùn)動(dòng),考慮其坐標(biāo)變化的總體趨勢(shì). 速度大意味著輪的角動(dòng)量大,也就是說(shuō)提供同樣的力矩情況下,速度大的φ轉(zhuǎn)角變化越慢. 從圖中也可以很明顯地看出. 定性地來(lái)講,就是角動(dòng)量越大,越難以改變其運(yùn)動(dòng)狀態(tài),同時(shí)也更加穩(wěn)定. 考慮一種極限情況,就是速度足夠大,相當(dāng)于重力足夠小. 這樣的話自行車可以保持其初始狀態(tài)不變,φ與θ都是恒定值. 這樣就可以合理地推測(cè)速度越大,θ與φ狀態(tài)改變地越慢.

    圖4 θ、φ與t關(guān)系圖(Δt=0.01 s,T=10 s,δ=0)

    4.2 “前輪尾跡”對(duì)穩(wěn)定性的影響

    Jones在著作中提及“前輪尾跡”對(duì)自行車平衡的重要性. “前輪尾跡”描述轉(zhuǎn)軸-地面交點(diǎn)與前輪接觸點(diǎn)的相對(duì)位置. 如果轉(zhuǎn)軸交點(diǎn)在車輪交點(diǎn)之前,那么當(dāng)前輪偏離中央的位置時(shí),地面的摩擦力與車架對(duì)前輪的力形成的力矩將與偏轉(zhuǎn)方向相反,反之則相同. 這與腳輪(比如超市中的購(gòu)物車)的運(yùn)動(dòng)具有相似的特征[6]. 現(xiàn)設(shè)置不同的δ=C3C2來(lái)驗(yàn)證一下“前輪尾跡”對(duì)平衡的影響.

    由圖5可得,轉(zhuǎn)軸與地面的交點(diǎn)位于前輪接觸點(diǎn)前的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)δ=0,-0.4 m還是相當(dāng)穩(wěn)定的,并且距離越大振蕩平緩得越快. 而另一個(gè)就不是那么穩(wěn)定了. 不過(guò)也并非前輪設(shè)置的越靠后越好,由于那樣的車過(guò)于穩(wěn)定從而轉(zhuǎn)彎等操作顯得并不靈活. 可以看出,模擬結(jié)果和Jones在其著作中的論斷是一致的,前輪過(guò)于靠前是無(wú)法騎行的.

    圖5 θ與t關(guān)系圖(Δt=0.01 s,T=10 s,v=4 m/s)

    4.3 陀螺效應(yīng)以及前輪的自由度對(duì)穩(wěn)定性的影響

    模擬如圖6,這兩種情況下輪都向一個(gè)方向倒下,并且θ的變化情況相同. 這是由于在這兩種情況下,都不會(huì)由于輪的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生x方向的力矩,θ坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力只由重力產(chǎn)生,最后只能向一個(gè)方向傾斜.

    再來(lái)重點(diǎn)討論一下陀螺效應(yīng)的影響. Jones認(rèn)為陀螺效應(yīng)的影響是十分小的,但是此處的仿真和簡(jiǎn)單的推理卻顯示沒(méi)有角動(dòng)量的自行車是無(wú)法運(yùn)行的. 再次回顧Jones的實(shí)驗(yàn),可以發(fā)現(xiàn)他是將前輪的角動(dòng)量抵消,而后輪的角動(dòng)量仍然是存在的. 于是經(jīng)過(guò)模擬只改變前輪或者后輪某一個(gè)輪的動(dòng)能函數(shù),我們得到如圖7的結(jié)果.

    圖6 θ與t關(guān)系圖(Δt=0.01 s,T=0.87 s,v=4 m/s)

    圖7 θ與t關(guān)系圖(Δt=0.01 s,T=0.87 s,v=16 m/s)

    Jones制作的自行車“URB I”[3]即圖中虛線所代表的只抵消前輪角動(dòng)量的情況,也并不是完全不穩(wěn)定的. 加之其實(shí)驗(yàn)中并沒(méi)有完全使軸對(duì)齊且平面重合,并不能說(shuō)是完全抵消,人還是可以操控這樣的自行車的. 不過(guò)顯然這樣會(huì)比普通的車更加地難以操控,Jones也提到這樣的自行車無(wú)法在沒(méi)有人的操控下穩(wěn)定運(yùn)行. 從圖中也可以清晰地看見(jiàn),當(dāng)后輪的陀螺效應(yīng)被消除后,自行車仍能在前輪角動(dòng)量的調(diào)節(jié)下保持相當(dāng)穩(wěn)定. 也就是說(shuō)前輪對(duì)于穩(wěn)定性的貢獻(xiàn)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于后輪的.

    以上模擬了自行車自由運(yùn)動(dòng)下的一個(gè)簡(jiǎn)單模型,而在實(shí)際情況下,由于騎行者操控反饋的存在,這個(gè)系統(tǒng)成為一個(gè)非封閉的系統(tǒng),情況變得更加復(fù)雜. 不過(guò)自行車自由和被操控時(shí)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性一定是緊密聯(lián)系的. 因此分析力學(xué)的方法可以在近似計(jì)算自行車這樣自由度較高的系統(tǒng)上有著比較簡(jiǎn)潔的應(yīng)用.

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