初中數(shù)學(xué)評講課構(gòu)建與實例分析

邱小偉 曾昌濤

[摘要]在充分分析學(xué)生試卷的基礎(chǔ)上，高效的試卷評講課可以從五個方面進(jìn)行數(shù)學(xué)課型構(gòu)建，從而提高數(shù)學(xué)試卷評講課的教學(xué)效率，完成數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力

[關(guān)鍵詞]核心素養(yǎng);課型構(gòu)建;評講課;試卷

作者簡介：邱小偉（1991-），碩士研究生，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作;曾昌濤（1968-），本科學(xué)歷，中學(xué)數(shù)學(xué)研究員，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究

數(shù)學(xué)試卷評講是重要的數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)之一，它是數(shù)學(xué)考試的延續(xù)，也是學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行錯誤糾正、歸納總結(jié)和査漏補(bǔ)缺的最佳方式.在充分分析學(xué)生答題情況的基礎(chǔ)上，有針對性地備課，才能使試卷評講高效.但在實際教學(xué)中，教師評講數(shù)學(xué)試卷時仍然存在以下問題：一，在不批改試卷的情況下，憑借自己的工作經(jīng)驗直接評講試題;不統(tǒng)計學(xué)生各題的得分率及典型錯誤，不根據(jù)實際的學(xué)情進(jìn)行備課，而是按照自己理解的重點進(jìn)行評講;三，不分重難點全部講解一遍，僅僅就題論題，得到一個正確答案即可，沒有必要的反思和小結(jié);四，只重視解題思路，不注重解題過程和規(guī)范的板書過程;五，課后學(xué)生不總結(jié)、不整理錯題，沒有再測試進(jìn)行基礎(chǔ)的夯實.在筆者看來，在充分分析試卷的基礎(chǔ)上，高效的試卷評講課可以從以下五個方面來著手.

以點帶面，精選題材

新課改后的中考，基于教材，以考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握程度，命題則來源于多個知識的交匯處，以便學(xué)生更容易施展拳腳.因此，教師在評講數(shù)學(xué)試卷時，應(yīng)精選題材，將典型例題深度剖析、深人挖掘，實現(xiàn)題組串聯(lián)，以達(dá)到“切入一點，帶出一串，連成一片”的教學(xué)效果，即以點帶面的教學(xué)效果.例如，在“七年級下數(shù)學(xué)定時訓(xùn)練10”中出現(xiàn)了以下五道試題.

第3題：要使式子V2-x有意義，則x的取值范圍是（）

B.x-2

C.x≥2

D.x≤2

第7題：已知x-3+Vx+2y-7=0則（x+y）2的值為（）

A.4B.16C.25D.64

第13題：已知實數(shù)x，y滿足y=

Vx2-16-V16-x2+2，則x-y=

第20題：已知a，b，c滿足V8-a+a-8=c-17+b-30b+225.

（1）求a，b，c的值.

（2）以a，b，c為邊能否構(gòu)成三角形若能構(gòu)成三角形，求出三角形的周長和面積;若不能構(gòu)成三角形，請說明理由第23題：已知y=

分析上述5道題都涉及算術(shù)平方根的“雙重非負(fù)性”，其中第3題單純利用“V”的非負(fù)性求x的取值范國;第7、13、20、23題則添加了其他知識點，換著花樣結(jié)合“V”的“雙重非負(fù)性”求未知數(shù)的值.因此，這5道題的本質(zhì)就是考查學(xué)生對V”的理解.所以，試卷評講時，可以選取第20題進(jìn)行詳細(xì)講解，則其余4道題便可以迎刃而解了.第20題除了考查算術(shù)平方根的“雙重非負(fù)性”而外，還考查了以下知識點：絕對值的非負(fù)性，構(gòu)成三角形的三條線段應(yīng)滿足“較大兩邊之差小于最小邊”或“較小兩邊之和大于最大邊”，直角三角形的判定，三角形的周長、面積的求解.故將第20題講解清楚了，能幫助學(xué)生理清很多數(shù)學(xué)知識點對于第20題，求解第（1）問時，可以以V8-a+Va-8=c-17?+b2-30b+225為突破口，即由算術(shù)平方根的“雙重非

負(fù)性”V8-n≥0，。8-a≥0，

V-8=080農(nóng)且

a≤8且a≥8，所以a=8.所以c-17?+（b5）=0.所以c=17，b=15.

抓住本原，歸納題型

抓住題目考查的實質(zhì)，把握重點并進(jìn)行引申和推廣.幾乎每套試卷中都有一些具有研究價值的典型試題，這些試題往往隱藏著一般的規(guī)律和解法，對于這類題，應(yīng)將其歸納、提煉出來，成為典型題型.教師在評講典型題型時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行條件的分析、變式的練習(xí)，以及結(jié)論的延伸，探索從一般到特殊的結(jié)論，從特殊到一般的規(guī)律，通過評講和延伸做到解一題、帶一串、通一類.例如，在“七年級下數(shù)學(xué)定時訓(xùn)練10”中，有以下三道與行程有關(guān)的試題第10題：（多選）在20km賽跑中甲、乙兩名選手所行路程y（單位：km）隨時間x（單位：h）變化的圖像如圖1所示，根據(jù)圖中提供的信息，下列說法中正確的有（）

A.兩人相遇前，甲的速度小于乙

的速度

B.出發(fā)后1h，甲、乙的行程均為10km

C.出發(fā)后15h，甲的行程比乙多3km

D.甲比乙先到達(dá)終點

第25題：甲、乙兩人在一條平直的馬路上相向而行，乙開車從B地前往A地，甲騎摩托車從A地前往B地，他們分別以各自的速度勻速行駛.已知甲先出發(fā)6min后，乙オ出發(fā)，在整個過程中甲、乙兩人之間的距離y（單位：km）與甲出發(fā)的時間x（單位：min）之間的關(guān)系如圖2所示，則當(dāng)乙開車到達(dá)終點A時甲騎車還需min才能到達(dá)終點B.

第27題：甲老師從家開汽車勻速行駛回學(xué)校給學(xué)生們布置作業(yè)（布置作業(yè)的時間可忽略不計），又以相同的速度趕往離學(xué)校30km遠(yuǎn)的籃球場和乙老師打球.在甲老師出發(fā)的同時，乙老師也從學(xué)校開汽車勻速向籃球場行駛，乙老師途中在永輝超市買籃球停留了5min，接著繼續(xù)以相同的速度向籃球場行駛甲老師與乙老師兩車離學(xué)校的距離y（單位：km）與所用時間x（單位：min）之間的圖像如圖3所示，根據(jù)圖像回答下列問題

（1）乙老師的行駛速度為km/mina=

（2）當(dāng)甲老師與乙老師初次相遇時，他們倆距籃球場多少千米？

（3）出發(fā)多久后，兩車相距18km？

分析上述3道題均是一次函數(shù)圖像題，分析出圖像中各個拐點的意義是這類行程問題的突破口，接著理解每條線段上升或者下降的意義，其次畫出線段圖，建立方程求甲、乙的速度，得出甲、乙的速度后，基本上所有問題便可迎刃而解了.在評講試卷時，可以簡要分析第10題和第27題，重點評講第25題對于第25題，由函數(shù)圖像知甲先行駛1km用了6min，又甲是勻速行駛，所以可求得=-km/min.再由縱坐標(biāo)可看出A，B兩地相距16km，當(dāng)t=16min時，甲、乙相遇.設(shè)乙的速度為（單位km/min），由題意得（16-6）+16p=16，解得z=km/min.甲從A地到B地一共要用16÷=96（min），乙從B地到A地一共要用16÷こ=12（min），所以當(dāng)乙到達(dá)終點A時，甲還需要96-12-6=78（minl才能到達(dá)終點B

針對第25題，可以總結(jié)出此類題的般求解規(guī)律：①讀懂題意，弄清各拐點的意義;②畫出線段圖，分析圖像中各線段的意義;③根據(jù)圖中拐點、特殊點建立關(guān)于速度、時間、路程的等式;④求出甲、乙的速度

擊中要害，引導(dǎo)方法

初一學(xué)生的思維正處于形象思維到抽象思維的過渡期，他們分析問題的能力和空間想象能力都還處于較弱的階段，在一些相似的概念、公式、圖形的理解上顯得有些吃力，有時會出現(xiàn)概念混淆、圖形判斷不準(zhǔn)確的情況.在考試中，問題情境稍有變化，問題方式發(fā)生變化，學(xué)生就會由于思維定式而察覺不到，從而造成錯誤.基于此，教師可以發(fā)揮引導(dǎo)作用，將這些概念整理、歸類羅列，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度進(jìn)行觀察對比，感悟其中的差異，形成完善、系統(tǒng)的知識鏈，從而擊中學(xué)生對模糊知識的理解，在方法上進(jìn)行引導(dǎo)，進(jìn)而提升學(xué)生解題的正確率.另外，數(shù)學(xué)中的計算題，學(xué)生平時自認(rèn)為什么都能算對，思想隨意性很強(qiáng)，不在意計算題的計算步驟，因此這類計算題的得分率往往不高，故教師在評講這類錯題時，一定要借機(jī)將所涉及的知識點進(jìn)行歸納.

比如，在實數(shù)的運(yùn)算中，一般涉及倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值、算術(shù)平方根等知識，這些知識小而雜，教師應(yīng)耐心引導(dǎo)學(xué)生將它們系統(tǒng)化、條理化.比如“七年級下數(shù)學(xué)定時訓(xùn)練10”中的以下試題.

第21題：若167-（2m-1）xy+4y2是一個完全平方式，m為常數(shù)，則m=

第22題：已知x2+4x-1=0，則的值為

分析第17題屬于二次根式的運(yùn)算，計算時，學(xué)生需要具備以下知識基礎(chǔ)和能力：（1）充分理解最簡二次根式的定義，即①被開方數(shù)開不盡，2“V”里面不含分?jǐn)?shù)，③“V”不在分母，④最后的結(jié)果約分至最簡;（2）靈活應(yīng)用積和商的算術(shù)平方根，即Va=Va·Vb

（a≥0，b=0）

（a≥0，b>

0）;（3）知道去括號時什么情況下括號里的每一項都需要變號;（4）熟練運(yùn)用單項式乘多項式、多項式乘多項式的運(yùn)算法則，加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律等.第21題主要考查學(xué)生對完全平方式的理解很多同學(xué)看到“-（2m-1）xy”，就只想到“（x-y）2”這種完全平方差的展開形式，忘記了“（x+y）2”的形式也是可以的，從而導(dǎo)致錯誤.所以評講時，教師需要強(qiáng)調(diào)和總結(jié)出“-（2m-1）xy=±24x2y””，從而求出m=或m=-

第22題主要考查學(xué)生對“x2+4x-1=0”信息的分析與提取，以及對“x4+x2+1的變形處理.由x+4x-1=0可得到以下結(jié)論：①）x≠0;2x+2;④x2=1-4x.評講時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解這4個結(jié)論，從而得到x4+x2+1

旁征博引，突破難點對于難題的評講，首先可以尋找一個能引起學(xué)生共鳴和感興趣的話題作為切入點，然后采用階梯設(shè)疑法，即設(shè)計有梯度的問題，由淺入深，由易到難，步步推進(jìn)，從而解決問題.也可以用分解整合法，即，把一個問題從不同層次和不同角度分解成幾個小問題來講，然后加以概括、歸納，這樣就可以降低難度，達(dá)到突破難點的效果，使學(xué)生更易于接受和理解.

例如“七年級下數(shù)學(xué)定時訓(xùn)練10”中的第28題：如圖4，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P從點A出發(fā)，沿A-B→C→D路線運(yùn)動，運(yùn)動到點D停止;點Q從點D出發(fā)，沿D→C→BA4運(yùn)動，運(yùn)動到點A停止.若P，Q兩點同時出發(fā)，點P的速度為1cm/s，點Q的速度為2cm/s，as時P，Q兩點同時改變速度，點P的速度變?yōu)閙cm/s，點Q的速度變?yōu)閚cm/s.圖5是點P出發(fā)xs后△APD的面積S1（單位cm2）與x（單位：s）的函數(shù)圖像;圖6是點Q出發(fā)xs后△AQD的面積S2（單位：cm2）與x（單位：s）的函數(shù)圖像.1）求a，m，n，c的值;2）設(shè)P，Q兩點出發(fā)xs后離開點A的路程為y1，y24（單位：cm），請寫出y1，y2與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出點P與點Q相遇時的x的值

分析對于第（1）問，分析圖4可知點P，Q的運(yùn)動方向和大致的運(yùn)動情景由圖5可知，當(dāng)0≤x≤10時，S4P=PAAD，于是x（1xa）×6=24，解得a=8：又由點P在運(yùn)動8s變速后以mcm/s運(yùn)動2s后到達(dá)B點可得m12-1×8=2.再由圖610-8知點Q從點D開始，經(jīng)過C，B，最后運(yùn)動到點、A共用了22s，前8s以2cm/s的速度運(yùn)動，后14s以ncm/s的速度運(yùn)動，于是2x8+（22-8）n=DC+CB+AB，解得n=1.又由（c-8）x2+1Xx8=12+6+12可解得c=19.

第（2）問主要涉及分類討論和關(guān)系式的表示，初一的學(xué)生對分類討論的情況很難把握，他們遇到稍微復(fù)雜一點的問題，就不知道如何去分類或者不知道分成多少類，這些都需要教師耐心地引導(dǎo)，慢慢培養(yǎng)他們分類討論的能力.另外，學(xué)生對于用關(guān)系式來表示兩個變量之間的關(guān)系同樣困難.對于這兩個難點

教師可以抓住P，Q變速前和變速后來進(jìn)行分類討論.下面將問題拆分，以達(dá)到降低難度的目的，并讓學(xué)生逐一解決問題1：P，Q兩點在第幾秒開始變速？變速前P，Q兩點行駛的路程與時間的關(guān)系如何表示？變速后P，Q兩點行駛的路程與時間的關(guān)系又如何表示？問題2：當(dāng)P，Q兩點相遇時，P點的路程和Q點的路程有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

變式拓展，落實重點

進(jìn)行數(shù)學(xué)試卷評講時，教師不能就題論題，而應(yīng)在講清楚、講透徹原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行相應(yīng)的變式拓展，以起到舉反三的作用，讓學(xué)生真正掌握這個知識點.變式題的設(shè)計應(yīng)當(dāng)和原題具有密切性、針對性、有效性，而不是單純地變題，應(yīng)該從不同角度、不同層次對原題進(jìn)行挖掘，使變式題起到拓展延伸的作用，從而落實重點

例如“七年級下數(shù)學(xué)定時訓(xùn)練10”中的第25題（見前述內(nèi)容及圖2），可設(shè)置如下變式題：

變式1條件不變，當(dāng)甲到達(dá)終點B時，乙已經(jīng)到達(dá)A地m變式2條件不變，當(dāng)乙到達(dá)A地后返回追上甲時，乙還要行駛min才能到達(dá)B地.

總之，試卷評講課應(yīng)該充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，提高課堂教學(xué)效率，使課堂教學(xué)成為學(xué)生自主思考、自主評析、自主發(fā)展的愉快場所.教師可以從“以點帶面，精選題材”“抓住本原，歸納題型”“擊中要害，引導(dǎo)方法”“旁征博引，突破難點”“變式拓展，落實重點”這五個方面進(jìn)行課堂教學(xué)，從而提高數(shù)學(xué)試卷評講課的教學(xué)效率，完成數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力