核心素養(yǎng)視角下“一元二次不等式”的教學(xué)思考與設(shè)計

鄒信武 (廣西南寧市第三中學(xué) 530021)

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的． 在舊教材中，“一元二次不等式”安排在必修五第三章“不等式”里，而在《標(biāo)準(zhǔn)》中，該內(nèi)容屬于高中預(yù)備知識，在2019年人教版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊》(以下簡稱《必修第一冊》)中安排在“集合”“簡易邏輯”“不等式性質(zhì)和基本不等式”之后． 隨著編排位置的改變，該教學(xué)內(nèi)容所承載的涵義有何不同？它是如何反映數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？教師又該如何在教學(xué)中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？這都是我們亟待解決的問題．

2 《標(biāo)準(zhǔn)》中的“一元二次不等式”

2.1 承上啟下，初高中知識、方法和情感的過渡

在《標(biāo)準(zhǔn)》中，該節(jié)內(nèi)容標(biāo)題是“從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式”． 學(xué)生在初中經(jīng)歷了從一次函數(shù)角度看一元一次方程和一元一次不等式(以下簡稱“三個一次”)的學(xué)習(xí)過程，形成了對函數(shù)、方程與不等式的初步認(rèn)識． 因此，“一元二次不等式”是初中一次不等式相關(guān)知識的延續(xù)和類比遷移，對該部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，利于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣與信心，完成在知識、方法和情感上的初高中過渡． 另外，解一元二次不等式是高中重要的代數(shù)運(yùn)算之一，它為后續(xù)知識的展開與深入提供了運(yùn)算基礎(chǔ)．

2.2 培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的優(yōu)良載體

(1)有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象兩大核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象是一個對象在另一個對象屬性基礎(chǔ)上的抽象過程，只有知識之間的聯(lián)系才能體現(xiàn)抽象過程． 直觀想象主要包括幾何直觀與空間想象兩個方面． 直觀想象是認(rèn)識抽象對象的另一條途徑，它是符號化語言的直觀解釋． 《標(biāo)準(zhǔn)》把“一元二次不等式”作為高中預(yù)備知識，一方面是因為其應(yīng)用的廣泛性，另一方面是因其可以體現(xiàn)函數(shù)、方程與不等式之間的聯(lián)系． 在本課時中，通過用二次函數(shù)的觀點看待一元二次方程和一元二次不等式(以下簡稱“三個二次”)，使學(xué)生不斷地在自然語言、符號語言與圖象間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使學(xué)生認(rèn)知中“函數(shù)、方程與不等式”的關(guān)系得以再次鞏固和深化，進(jìn)而掌握用函數(shù)理解方程和不等式這一數(shù)學(xué)基本思想方法． 因此，本課的主旨是使學(xué)生理解和建立起“函數(shù)、方程與不等式”之間幾何與代數(shù)的聯(lián)系，并在此過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與直觀想象兩大核心素養(yǎng)．

如圖1，通過“三個一次”關(guān)系的回顧和對“三個二次”之間關(guān)系的探討，達(dá)成函數(shù)、方程與不等式分別在語言、符號和圖象的聯(lián)系意義建構(gòu)．

圖1 函數(shù)、方程與不等式的關(guān)系

(2)有利于提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算兩大核心素養(yǎng). 邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過程． 解一元二次不等式，實質(zhì)是一種“程序化”運(yùn)算，是一個特殊的演繹推理過程，本節(jié)內(nèi)容對發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)有著重要作用． 根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗，學(xué)生在解決含參數(shù)一元二次不等式的過程中，常常不會對參數(shù)進(jìn)行討論，究其原因，是不理解一元二次不等式解答的“程序”，不清楚“程序”中分步的依據(jù)． 為此，教師在開展“一元二次不等式”的教學(xué)時，應(yīng)強(qiáng)調(diào)解決過程中的“程序化”，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，形成嚴(yán)謹(jǐn)思考問題的習(xí)慣． 因此，本節(jié)課的另一個重點和難點是如何通過解一元二次不等式，幫助學(xué)生構(gòu)建解決一元二次不等式的“程序”．

以ax2+bx+c>0(a≠0)為例，如圖2，通過探尋一元二次不等式的解法、例題的講解和練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算對象和運(yùn)算順序，并以流程圖的形式呈現(xiàn)，理解幾個分支節(jié)點(二次項系數(shù)、判別式及根的大小)分支的原因，以及由此產(chǎn)生必要的分類思想．

圖2 解一元二次不等式流程圖

3 教學(xué)實施設(shè)想

基于前面對本節(jié)內(nèi)容的分析與理解，本節(jié)課應(yīng)考慮兩條線索：知識發(fā)展線索和學(xué)生思維活動線索． 以知識的發(fā)展脈絡(luò)為線索，如圖3，可以分成兩個階段：第一階段，是函數(shù)、方程和不等式內(nèi)在關(guān)系回顧及深化階段，即從“三個一次”向“三個二次”的類比遷移，并以此為基礎(chǔ)初步形成解決一元二次不等式的“程序”，這是本節(jié)課的重點． 第二階段，“程序”應(yīng)用及完善階段，即在具體應(yīng)用中深化對“程序”的理解，并不斷完善它． 以學(xué)生思維活動為線索，學(xué)生在第一階段經(jīng)歷了大量的數(shù)學(xué)思維活動(歸納推理、類比推理和演繹推理)，通過分析、比較、綜合、歸納、抽象、判斷和推理等一系列思維行為逐漸認(rèn)識和理解函數(shù)、方程和不等式的本質(zhì)和內(nèi)部聯(lián)系，并在第二個階段中以演繹的方式加以應(yīng)用．

圖3 教學(xué)實施框圖

4 教學(xué)流程設(shè)計

4.1 復(fù)習(xí)與引入

問題1在初中，我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和解一元一次不等式，請大家完成下面兩個問題：(1)在直角坐標(biāo)系中畫出f(x)=4x+3的圖象；(2)寫出4x+3>0的解集．

評析本課的目標(biāo)之一是使學(xué)生建立起函數(shù)、方程和不等式之間的關(guān)系，而這個關(guān)系的獲得，不能通過教師講授，而應(yīng)該是學(xué)生內(nèi)省構(gòu)建的過程． 學(xué)生在解一次不等式時，不一定與一次函數(shù)聯(lián)系起來，更多時候會使用不等式性質(zhì)得到結(jié)果． 因此，教學(xué)中不宜直接給出一元一次方程，而是在描點法繪制圖象和解一元一次不等式的過程中，使學(xué)生非常自然地發(fā)現(xiàn)：一元一次不等式解集的端點恰是一次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)，同時，“4x+3>0”中的“>”與一次函數(shù)在x軸上方的圖象有關(guān)系，進(jìn)而產(chǎn)生一元一次不等式與對應(yīng)一次方程和一次函數(shù)關(guān)系的聯(lián)想．

追問根據(jù)剛才的發(fā)現(xiàn)，你能給出一次不等式ax+b>0和ax+b<0的幾何解釋嗎？

學(xué)生回答后，教師與學(xué)生共同完成表1并指出：一次方程的根是對應(yīng)函數(shù)與x軸交點橫坐標(biāo)，不等式ax+b>0(<0)的解集是對應(yīng)函數(shù)圖象在x軸上方部分(下方部分)所對應(yīng)的x的取值范圍．

表1 一次函數(shù)、一次方程與一元一次不等式的關(guān)系

評析這一環(huán)節(jié)進(jìn)一步固化學(xué)生認(rèn)知中“三個一次”的關(guān)系，形成清晰而穩(wěn)定的聯(lián)系，為下面解一元二次不等式提供類比對象和邏輯基礎(chǔ)．

4.2 類比與遷移

問題2學(xué)校計劃在綠地上用欄桿圍成一個矩形區(qū)域種植花卉，若柵欄的長度是24 m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于20 m2，則這個矩形的邊長為多少米？

評析通過設(shè)置與生活密切相關(guān)的實際問題，引出本課主題——“一元二次不等式”，使學(xué)生感受一元二次不等式不是無源之水，它既是數(shù)學(xué)知識發(fā)展的需要，也有解決現(xiàn)實世界客觀問題的需求，進(jìn)而激發(fā)進(jìn)一步解決問題的興趣．

追問觀察不等式x2-12x+20<0，請通過以前解決不等式問題的經(jīng)驗，思考如何求出它的解集？

評析這是從“三個一次”到“三個二次”的類比遷移過程． 通過“三個一次”的鋪墊，學(xué)生完成這個問題并不困難． 通過觀察特征、比較聯(lián)想，分析共性特征，概括共性特征，最后得到解決問題的途徑． 在這個環(huán)節(jié)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生解決以下問題：第一，解決這個一元二次不等式的步驟是什么？為什么先求方程的根？(同時給出函數(shù)零點的概念，明確它與函數(shù)圖象、方程的聯(lián)系)；第二，畫出圖象的目的是什么？第三，寫出解集的依據(jù)是什么？通過對解決過程中關(guān)鍵步驟的分析，使學(xué)生加深數(shù)與形的聯(lián)系，明晰它們之間的關(guān)系，并厘清解決問題的“算法”思路，感受用函數(shù)解決不等式問題的思維方法．

4.3 歸納與鞏固

問題3(1)根據(jù)剛才解決x2-12x+20<0的方法，我們也可以解決其他一元二次不等式． 請思考：對于一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0(a>0)，其解決步驟是什么？

(2)請根據(jù)你的設(shè)想，分析二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的解的關(guān)系，并把它表示出來．

表2 二次函數(shù)、二次方程與一元二次不等式的關(guān)系

評析引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計步驟是讓學(xué)生在理解運(yùn)算的基礎(chǔ)上，再次強(qiáng)化運(yùn)算程序，在認(rèn)識上形成明晰的解題順序關(guān)系． 另外，表2在《必修第一冊》已給出，因此表格的形成過程的意義要大于表格結(jié)果本身，這是學(xué)生在認(rèn)知中完善“函數(shù)、方程與不等式”(圖1)三者聯(lián)系的關(guān)鍵活動． 教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注與幫助學(xué)生厘清以下幾個問題：第一，為什么要制表？第二，如果需要制表，那么表格分列、分欄的依據(jù)是什么？第三，表格從上至下的順序是怎樣的？為什么是這樣？第四，函數(shù)的圖象、方程的根與不等式解集之間的聯(lián)系是什么？

4.4 應(yīng)用與強(qiáng)化

例1求出下列不等式的解集：

(1)x2+5x+6>0；(2)9x2-6x+1>0；(3)-x2+2x-3>0．

評析這三個不等式的作用是強(qiáng)化“解法程序”，包含了判別式的三種不同情形． 其中第(3)題補(bǔ)充了二次項系數(shù)為負(fù)值時的情況，可以先將二次項系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再計算，這也體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想方法．

練習(xí)當(dāng)自變量x在什么范圍取值時，下列函數(shù)的值等于0？大于0？小于0？

(1)y=3x2-6x+2；(2)y=x2+6x+10；(3)y=-3x2+12x-12．

評析函數(shù)與不等式之間是相互對應(yīng)關(guān)系，通過練習(xí)強(qiáng)化這兩者的轉(zhuǎn)換． 學(xué)生經(jīng)歷了使用幾何圖象解決代數(shù)問題，再從代數(shù)逆向解決幾何問題，會更深刻地體會它們之間的聯(lián)系，從中感悟數(shù)形結(jié)合的思想，提升數(shù)學(xué)抽象與直觀想象素養(yǎng)．

4.5 變式與提升

例2求出下列不等式的解集：

(1)x2+ax-2>0；(2)x2-(a+1)x+a>0．

評析通過解決含參數(shù)的一元二次不等式，使學(xué)生認(rèn)識判斷判別式符號的重要性，以及在有根的前提下根的大小對結(jié)果的影響，進(jìn)而加深學(xué)生對“運(yùn)算程序”的關(guān)鍵步驟的認(rèn)識，完善學(xué)生認(rèn)知中的“運(yùn)算程序”． 如在第(2)題中，通過Δ得到方程必有解，求出它的根分別是：x1=a和x2=1.在嘗試畫圖象時，就發(fā)現(xiàn)根的大小會影響不等式的結(jié)果，進(jìn)而需要進(jìn)行分類討論，從而在學(xué)生原有的認(rèn)知“運(yùn)算程序”中再加入一個判斷選項，得到更完善的解決“運(yùn)算程序”(圖2)．

4.6 總結(jié)與升華

問題4本節(jié)課我們研究了什么問題？又怎樣解決了這些問題？在其中，同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)？

評析通過小結(jié)，回顧整個學(xué)習(xí)過程，從“三個一次”關(guān)系到“三個二次”關(guān)系的類比遷移，升華至 “函數(shù)、方程與不等式”之間的關(guān)系，進(jìn)而理解用函數(shù)研究方程和不等式的數(shù)學(xué)基本思想方法． 同時歸納解一元二次不等式的一般“運(yùn)算程序”(圖2)，使之在學(xué)生認(rèn)知中獲得再次認(rèn)同．

5 教學(xué)設(shè)計反思

素養(yǎng)是諸多方面的綜合，它的形成過程是學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中嘗試、摸索、積淀和感悟，是自身認(rèn)知與元認(rèn)知構(gòu)建的過程． 因此，在核心素養(yǎng)的理念下，教學(xué)設(shè)計應(yīng)關(guān)注以下幾個方面．

5.1 把握數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生長點，促使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地

素養(yǎng)是人的內(nèi)在品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是中學(xué)教學(xué)實踐中較高的要求與目標(biāo)，而實現(xiàn)它需要更具操作性的過程性、具體性目標(biāo)，即指向更實際且能觸及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)活動． “四基”(基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法和基本活動經(jīng)驗)“四能”(發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生長點． 《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“四基”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的沃土． 而“四能”是基于“問題解決”產(chǎn)生的數(shù)學(xué)性思考，是學(xué)生形成理性思維、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑． 在教學(xué)實踐中，以數(shù)學(xué)知識為載體，圍繞著課堂中如何落實“四基”和提升“四能”，是觸及學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，也只有在課堂上達(dá)成了“四基”和“四能”的要求，才能使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“落地”．

5.2 把握數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展點，促使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生長

核心素養(yǎng)的形成具有階段性和延續(xù)性． 在核心素養(yǎng)視角下，學(xué)生通過之前各學(xué)段的學(xué)習(xí)，已經(jīng)具備一定的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，因而高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是前面學(xué)段的延續(xù)，是依據(jù)高中生的心理特點，進(jìn)一步地完善和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)． 教學(xué)中，除了需要厘清本課知識本質(zhì)、上下位關(guān)系、蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想之外，還應(yīng)該把握學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的各階段目標(biāo)及其關(guān)系，分析本節(jié)內(nèi)容承載的主要數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，通過設(shè)計恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，設(shè)置有價值的問題，促進(jìn)學(xué)生在此過程中數(shù)學(xué)性地思考、表達(dá)和交流，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

5.3 把握課堂學(xué)生思維活動，維護(hù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)陣地

核心素養(yǎng)的提出，真正使教學(xué)的關(guān)注點從學(xué)科轉(zhuǎn)向了人的內(nèi)在． 數(shù)學(xué)是思維的體操，在數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生是否進(jìn)行有價值的數(shù)學(xué)性思考，是衡量教師的教學(xué)活動是否有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要指標(biāo)． 因此，數(shù)學(xué)教師的教學(xué)設(shè)計中，除了把數(shù)學(xué)知識的發(fā)展作為線索之外，還應(yīng)該增加一條學(xué)生思維活動的線索． 教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)學(xué)生思維的發(fā)展規(guī)律，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計教學(xué)活動，注重教學(xué)活動中學(xué)生的思維過程，衡量活動中學(xué)生的思維深度和廣度，促進(jìn)教學(xué)中學(xué)生理性思維的生成與發(fā)展． 這樣的教學(xué)活動，往往發(fā)生在知識點的理解和運(yùn)用、知識點間的聯(lián)結(jié)和應(yīng)用上面，教師應(yīng)盡可能給予足夠的時間，讓學(xué)生獨立思考、質(zhì)疑、交流和反思．