著力一題多解 引領(lǐng)學(xué)生思考
——以一道高三質(zhì)檢題為例

蔡海濤 (福建省莆田第二中學(xué) 351131)

本文以一道高三質(zhì)檢題為例，提供了多種解題思路，兼顧了解題的通性通法和特殊解答技巧，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行解題反思，歸納并提煉解題思想和方法，同時(shí)在解題教學(xué)層面進(jìn)行了深入思考，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

1 試題呈現(xiàn)

(2020年莆田市高三第三次質(zhì)檢·理21)設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx，g(x)=aex(a∈R)．

(1)若曲線(xiàn)y=f(x)在x=1處的切線(xiàn)也與曲線(xiàn)y=g(x)相切，求a的值．

(2)設(shè)函數(shù)G(x)=f(x)-g(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)． ①求a的取值范圍；②當(dāng)ae2≥2時(shí)，證明：G(x)<0．

2 解法探究

因?yàn)镠(m)·H(2)≤0，所以H(x)存在唯一零點(diǎn)x0∈(1,2)， 故F(x)有唯一的極大值點(diǎn)x0∈(1,2)．

又u′(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減，故u′(x)≤u′(1)=0，即u(x)在[1,+∞)上為減函數(shù)．

又u(2)=1-ln 2>0，u(3)=1-2 ln 3<0，故存在x0∈(2,3)，使得h′(x0)=0，即lnx0+1-x0lnx0=0 (*)．

于是當(dāng)10，h(x)為增函數(shù)；當(dāng)x>x0時(shí)，h′(x0)<0，h(x)為減函數(shù)．

3 變式拓展

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

解(1)函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減. (過(guò)程略)

令g(x)=1-x-xlnx，則g′(x)=-1-(lnx+1)=-2-lnx．

評(píng)注對(duì)于含有l(wèi)nx與ex型的超越函數(shù)，具體解決時(shí)須根據(jù)這兩類(lèi)函數(shù)的特點(diǎn)，挖掘結(jié)構(gòu)特征，靈活變形，腦中有“形”，特別注意重要不等式lnx≤x-1?ex≥x+1的合理代換．

4 教學(xué)啟示

(1)對(duì)解題教學(xué)的思考

在解題教學(xué)中，教師常常采用一題多解，讓學(xué)生從多種思維角度來(lái)思考問(wèn)題，既要重視通性通法又要關(guān)注特法巧解，解后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題方法進(jìn)行歸納，在數(shù)學(xué)思想上進(jìn)行引領(lǐng)． 指數(shù)、對(duì)數(shù)組合型的函數(shù)不等式問(wèn)題，常用的解題方法有三種：一是指數(shù)、對(duì)數(shù)分離并向易于求最值的常用函數(shù)轉(zhuǎn)化；二是利用放縮消掉指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)之一，再進(jìn)行處理；三是隱零點(diǎn)法． 對(duì)于具體問(wèn)題，可根據(jù)函數(shù)特征具體分析，選擇合適的方法求解．

解題教學(xué)中還可常常對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式，讓學(xué)生通過(guò) “變中發(fā)現(xiàn)不變”來(lái)學(xué)習(xí)抽象化并通過(guò)“以不變應(yīng)萬(wàn)變”來(lái)學(xué)習(xí)公理化，以此來(lái)解決數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題——“抽象化”和“公理化”． 基于突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的解題教學(xué)，不應(yīng)局限在解題方法的展示，更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在課內(nèi)、課外注重知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想、方法的貫通，注重形、數(shù)之間的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)內(nèi)容邏輯線(xiàn)索的梳理，強(qiáng)化在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，從不同角度思考問(wèn)題，由此建立起知識(shí)體系，從而能以“一覽眾山小”的姿態(tài)來(lái)看待數(shù)學(xué)問(wèn)題．

(2)精選例題，聚焦高考

教師講解模擬卷的典型試題，應(yīng)聚焦高考試題，進(jìn)行高考試題對(duì)點(diǎn)鏈接，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)歸納試題的共性，學(xué)會(huì)應(yīng)對(duì)試題的創(chuàng)新變化，看破迷霧，提升抓住問(wèn)題本質(zhì)的能力． 高考?jí)狠S題都具有一定的創(chuàng)新性，解題教學(xué)中教師應(yīng)努力培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，拓寬學(xué)生的視角. 只有這樣才能讓學(xué)生做到“以不變應(yīng)萬(wàn)變”，笑傲考場(chǎng)．

(3)引領(lǐng)學(xué)生深度思考

解題教學(xué)中教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度思考，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角、不同方向進(jìn)行觀(guān)察、類(lèi)比、聯(lián)想，引領(lǐng)學(xué)生思考一題多解、一題多變、多題一解、多解歸一；思考答題難點(diǎn)是什么，為什么不會(huì)，這種解法能否推廣；思考這道題還可以得到哪些結(jié)論，條件結(jié)論能否互換. 通過(guò)思考，獲取問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，關(guān)注學(xué)習(xí)內(nèi)容的有機(jī)整合. 注重知識(shí)學(xué)習(xí)的批判理解,著意學(xué)習(xí)過(guò)程的建構(gòu)反思,重視學(xué)習(xí)的遷移運(yùn)用和問(wèn)題解決，從而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之美，提升核心素養(yǎng)．