生活中的問題發(fā)現(xiàn)對數(shù)學教學的啟迪*

葉新和 (江蘇省泰州市高港區(qū)教育局 225301)

1 期望與現(xiàn)實間的落差

培養(yǎng)學生數(shù)學學科發(fā)現(xiàn)問題的能力是《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(下稱《課標》)總目標中新增要求：通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力[1]8． 據(jù)此可以猜測，從2011年開始對數(shù)學學科發(fā)現(xiàn)問題能力的培養(yǎng)會成為數(shù)學教育界的研究熱點，會產(chǎn)生大量研究成果． 然而實際情況似乎并非如此．

中國人民大學書報資料中心編輯出版的《初中數(shù)學教與學》2020年第4期“問題提出專題研究”專題的“編者按”中指出：“修訂后的數(shù)學課程標準進一步明確了數(shù)學課程的‘四能’：從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力． 通過各類測評和調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力相對薄弱，而且很多教師對于引導學生從數(shù)學角度提出問題也缺乏有效的策略． 本期專題對國內(nèi)外的相關研究進行了梳理，并對學生問題提出能力的水平進行調(diào)查研究，進而分享了一些有益的教學探索，希望能對老師們有所啟發(fā)”[2]． 對此，筆者感到困惑的是：“編者按”中提到“發(fā)現(xiàn)問題”，然而為何不對“發(fā)現(xiàn)問題”進行研究，而是對“提出問題”進行研究？

2020年8月29日，筆者在“維普期刊”以“發(fā)現(xiàn)問題”為關鍵詞進行搜索，得到2 029條記錄，增加關鍵詞“核心期刊”再次搜索，得到207條記錄，再增加時間“2011—2020”進行搜索得到19條記錄，這19條記錄中沒有一條是涉及數(shù)學的． 再在中國知網(wǎng)以“發(fā)現(xiàn)問題”“核心期刊”為關鍵詞進行搜索，結果得到245條記錄，其中與數(shù)學有關的15條，增加“期刊時間‘從2011年至不限’”進行搜索，只剩下7條，其中只有1條與數(shù)學有關． 由此可見，2011年以后，相關研究不僅沒有得到加強，卻反而明顯有所弱化，在數(shù)學學科方面的成果更是很少． 從“問題提出”的研究來看，似乎也可以作為佐證：由文[3]中的數(shù)據(jù)得到表1，可以看出，以2011年為分界線，2011年以后研究成果低于2011年之前． 為何《課標》頒布之后研究成果反而變少了？

表1 2002—2017年有關問題提出研究統(tǒng)計

對于一線教師而言，《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)解讀》(以下簡稱《課標解讀》)權威性比較高． 然而其中關于“問題”的描述以及對“發(fā)現(xiàn)問題”的界定，細細推敲，讀來令人不解． 關于“問題”，書中如此描述：問題可以是自己的疑惑，可以是自己的困難，也可以是自己的發(fā)現(xiàn)，等等[4]116． 此處“發(fā)現(xiàn)”為名詞，因為沒有進行限定，如果改為動詞，需要自行補充內(nèi)容，是否可以任意補充內(nèi)容呢？比如說只要是“發(fā)現(xiàn)”便就是“問題”，那么自己發(fā)現(xiàn)的數(shù)量關系、空間關系等結論對自己來說也是“問題”？關于“發(fā)現(xiàn)問題”，書中如此界定[5]124：所謂“發(fā)現(xiàn)問題”，是經(jīng)過多方面、多角度的數(shù)學思維，從表面上看來沒有關系的一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或者空間方面的某些聯(lián)系，或者找到數(shù)量或者空間方面的某些矛盾，并把這些聯(lián)系或者矛盾提煉出來． 困惑之處在于“將找到的聯(lián)系提煉出來”被認為是“發(fā)現(xiàn)問題”． “找到聯(lián)系”一般認為是“發(fā)現(xiàn)結論”，如果“找到聯(lián)系”是“發(fā)現(xiàn)問題”，那么“發(fā)現(xiàn)結論”成了“發(fā)現(xiàn)問題”？此兩處的說法難以令人信服，用于指導實踐說服力不強．

在進行培養(yǎng)中學生數(shù)學學科發(fā)現(xiàn)問題能力的探索中，筆者和課題組成員感覺研究不易深入，注意到數(shù)學源于生活又服務于生活，擬通過對生活中問題發(fā)現(xiàn)的實例進行剖析，來為培養(yǎng)中學生發(fā)現(xiàn)問題能力提供啟迪．

2 生活中的問題發(fā)現(xiàn)

筆者生活自理能力比較差，在日常生活中經(jīng)常“發(fā)現(xiàn)”問題． 下面為筆者身上發(fā)生的真實案例．

案例一天上午上班前我偶然發(fā)現(xiàn)支付寶不能登錄，原因是以前設置的指紋登錄方式取消了. (后來回憶，幾天前進村走訪指導居民登錄手機APP時，需要用自己的手機來示范． 手機設置了指紋解鎖登錄． 由于當時戴的橡膠手套，如戴著手套便無法解鎖，而不戴手套，既不衛(wèi)生又不安全，便取消了手機指紋登錄的設置． 沒想到，支付寶指紋支付的方式不好用了． )

提示信息顯示可以通過短信驗證碼的方式來登錄，然而試驗幾次不得要領，還是無法登錄． 提示信息顯示還可用刷臉的方式登錄． 試著刷臉，彈出提醒要增加臉部的光亮，我便試著通過調(diào)整臉部跟手機攝像頭的位置來增加光亮，試驗幾次無效． 兒子看后，說是前置攝像頭模糊． 后來我便趕去上班． 當日午間在辦公室登錄電腦，搜索“OPPO手機的前置攝像頭在哪里”，沒有找到相關帖子． 根據(jù)感覺將正面上方的圓孔、小橢圓孔用棉簽擦了一下再試，問題好像沒有解決． 重新搜索“OPPO R9s”，在搜索結果中查找到有關OPPO R9s手機前置攝像頭的圖片，終于能夠確定手機正面上方的小圓孔處就是前置攝像頭的所在． 重新用棉簽仔細擦拭后再用刷臉方式登錄，終于成功了．

分析這個案例可以發(fā)現(xiàn)，登錄支付寶之所以出現(xiàn)問題，系期望情形(指紋能登陸)與實際情形(指紋登陸取消)之間出現(xiàn)了差距． 恢復指紋登錄、通過驗證碼登錄、利用刷臉登錄，都因為筆者欠缺相關知識經(jīng)驗，難以解決問題． 其中在用刷臉方式來解決時，不知是前置攝像頭模糊的原因，導致需要增加臉部光亮然而沒有辦法，問題便轉化為如何判斷前置攝像頭位置． 仍然因為欠缺相關知識經(jīng)驗，需要通過網(wǎng)絡搜索相關知識來解決．

據(jù)此，我們或許可以這樣來認識“問題”：當期望情形與實際情形之間出現(xiàn)差距，導致現(xiàn)有知識、經(jīng)驗不能解決時，便形成了問題． 相應地，發(fā)現(xiàn)問題是指意識到實際情形與期望情形之間存在差距，或者意識到現(xiàn)有知識、經(jīng)驗不能解決出現(xiàn)的情況．

對前置攝像頭模糊的問題，實際解決經(jīng)歷了“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的過程． 其解決過程體現(xiàn)了準確描述問題很重要，同時也說明了：要準確描述問題，必須要具有相關的背景知識． 如果百度搜索時問題描述不正確，那么問題便得不到解決，自然最初的支付寶登錄問題仍然無法解決． 撰寫本文時，筆者又以“OPPO R9s 前置攝像頭 位置”為關鍵詞進行搜索，其中有一條名稱為“OPPO R9s位置信息設置在哪里”的帖子，感覺問題的描述跟筆者當時的情形差不多，點開一看，帖子前段內(nèi)容為：“OPPO R9s位置信息設置就是OPPO R9s 的GPS開關，打開GPS 設置就能獲取定位信息. ”看來這是如何在OPPO R9s手機上進行定位設置的，與筆者期望解決的問題不是一回事． 這再次驗證與強化了相關認識．

3 改進數(shù)學教學的探索

來自生活中問題發(fā)現(xiàn)及解決的有關認識對數(shù)學教學中培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力是否具有啟迪價值？如果有，又如何應用于數(shù)學教學？

生活中不少問題往往由于條件或者情況發(fā)生了變化，期望情形與實際情形之間就產(chǎn)生了差距． 在初中數(shù)學教學中如何看待“期望情形與實際情形之間的差距”？數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學[1]1． 對于一個具體的情境，數(shù)學學科僅僅關注其中的數(shù)量關系或者空間形式． 如果將理解或者解決該數(shù)量關系或者空間形式最少所需要的數(shù)學“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗)視為期望情形或者理想情形，并將學生進行理解或者解決時已經(jīng)具備的數(shù)學“四基”視為實際情形，那么兩者之間存在差距時會產(chǎn)生問題． 然而，對于具體的實際情境，需要尋找指定的數(shù)量關系或者空間形式時，學生往往不知道需要新學何種內(nèi)容才能夠解決，因此“期望情形與實際情形之間的差距”是從教師角度來看待的．

從學生角度看，意識到現(xiàn)有“四基”不能解決，此時可能會產(chǎn)生困難、焦慮、挫敗等心理體驗． 從心理體驗的角度進行描述，可能正是《課標解讀》中將問題解讀為“可以是自己的疑惑，可以是自己的困難，也可以是自己的發(fā)現(xiàn)，等等”的原因． 不過，對于同一種情境不同的人會有不同的心理感受，并且心理感受的類型多種多樣，列舉難以窮盡．

我們注意到，學生在數(shù)學學科方面的知識、經(jīng)驗可以用數(shù)學“四基”來概括． “四基”是數(shù)學學科特有的提法，它充分體現(xiàn)了數(shù)學學科的特點． 這樣看來，數(shù)學學科“發(fā)現(xiàn)問題”可能用“對于某個情境，學生意識到自己的現(xiàn)有數(shù)學‘四基’難以解決，或者感覺與自己現(xiàn)有數(shù)學‘四基’不一致”來刻畫相對簡便一些．

數(shù)學教學中培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力應從哪個環(huán)節(jié)開始？這一點頗費思量． 針對具體情境，很多時候老師跟學生說“你能夠發(fā)現(xiàn)什么問題嗎？”會顯得牽強附會． 注意到案例中“提出問題”是在意識到問題的基礎上運用有關術語來進行表述，這表明提出問題往往也意味著已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了問題，不妨從“提出問題”環(huán)節(jié)來進行發(fā)現(xiàn)問題能力培養(yǎng)．

《課標解讀》中對“提出問題”的界定為：所謂“提出問題”，是指在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問題的基礎上，把找到的聯(lián)系或者矛盾用數(shù)學語言、數(shù)學符號集中地以“問題”的形態(tài)表述出來． ”[4]124分析該界定，可以得到兩點結論：一是“提出問題”是建立在發(fā)現(xiàn)問題的基礎上的． 能夠提出問題，說明已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了問題；二是提出問題往往需要相應的背景知識． 在數(shù)學學科中提出問題，需要應用數(shù)學學科知識(數(shù)學語言、數(shù)學符號)來進行表述． 這兩點與剖析案例得到的認識完全一致． 數(shù)學教學中從“提出問題”環(huán)節(jié)開始來培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題能力容易設計與實施．

案例中問題比較復雜，仔細分析，發(fā)現(xiàn)在問題解決的過程中問題是在不斷變化的，原有的復雜問題不斷轉化為相對容易解決的問題． 可見，數(shù)學教學中不必糾纏于從“發(fā)現(xiàn)問題”開始還是從“提出問題”開始，只要在問題解決中不斷生成新的問題，總能有效培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力．

基于這樣認識，筆者結合“平方根”內(nèi)容在培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題能力方面進行了一些探索：[5]

問題1 有的計算器顯示為“Error”． “Error”表示什么意思？選擇的整數(shù)具備什么共同點？你有何猜想？換幾個整數(shù)試試，驗證你的猜想．

問題2 觀察選擇的數(shù)字以及顯示的結果，你有何想法或者會提出什么問題？

問題4 對于算術平方根及其符號表示，你能提出什么問題來考考同學嗎？

學生如果知道“Error”的含義，也會因為疑惑從而“生長出”一系列問題(或者由不知道含義到知道含義后會再次產(chǎn)生疑惑)：為什么有的顯示為“Error”，而有的顯示為數(shù)字？進而會猜想：出現(xiàn)這樣的情況，或許是跟所選數(shù)字有關;如果有關，那么這些數(shù)字具備什么共同點？換幾個具備這樣特征的數(shù)來試一試，是不是還有這樣的結論？

觀察結果顯示為具體數(shù)字的，感覺雜亂無章、眼花繚亂，有的學生可能會有一些想法：這里面是否具有一定規(guī)律？選擇結果比較簡單的情形進行觀察、分析，試一試，能否有所發(fā)現(xiàn)？如果有所發(fā)現(xiàn)，對于結果比較復雜的情形(小數(shù)位數(shù)比較多的)，是否還有這樣的結論(特征)？“你有何想法或者會提出什么問題？”這一問句能有效地鼓勵學生說出自己的疑惑、困難，或者以問題形式來考考同伴在數(shù)量關系方面的認識(數(shù)量關系既可能是提出問題者已經(jīng)有所發(fā)現(xiàn)而期望了解同伴是否也發(fā)現(xiàn)了，也可能是提出問題者沒有意識到期望同伴能夠發(fā)現(xiàn)并且告知自己的)．

問題1至問題5這些來自學生的系列問題不斷驅(qū)動著他們的思維向縱深展開，不斷引領著他們主動探索與發(fā)現(xiàn)，有助于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力，而這也是《課程標準》中新增“發(fā)現(xiàn)和提出問題能力”的初衷[4]123． 也因此在設計問題時筆者考慮較多的是如何設問更加自然、簡潔并且直指數(shù)學學科本質(zhì)．

從上面的分析與探索可以得到兩點結論：一是培養(yǎng)學生數(shù)學學科發(fā)現(xiàn)問題能力雖然有難度，但是值得去做，也是能有所作為的；二是剖析生活中發(fā)現(xiàn)的問題及其解決的實例，以指導在數(shù)學學科中培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力，不失為一種新的研究視角，是一種行之有效的方法，值得繼續(xù)探索與研究． 同時，也需要注意到兩者畢竟有所區(qū)別，不要機械遷移到數(shù)學學科教學中．