艾拉姆咖分布參數(shù)變點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)推斷*

范梓淼， 田夢(mèng)琴， 赫亞偉， 蘭琪暄

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，830052，新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市)

變點(diǎn)問題是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的熱門研究方向，在金融、醫(yī)學(xué)、氣象學(xué)和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域等方面有廣泛地應(yīng)用. 近年來，隨著統(tǒng)計(jì)分析方法的不斷完善，變點(diǎn)問題的發(fā)展在理論研究和實(shí)際應(yīng)用上都有了大的飛躍.譚景寶等討論了Gamma分布的變點(diǎn)問題[1]，韓冰凌、孫佳楠對(duì)獨(dú)立泊松與指數(shù)序列比較了變點(diǎn)檢測(cè)方法[2].在方法上，袁芳、韓四兒、譚常春、繆柏其等采用了累積和(CUSUM)方法[3-7]，討論變點(diǎn)的檢驗(yàn)與估計(jì)問題.

艾拉姆咖分布在研究武器裝備維修時(shí)間時(shí)被提出，目前關(guān)于其參數(shù)估計(jì)取得了一定成果.不同樣本下，張?jiān)?周菊玲在NA樣本下討論了艾拉姆咖分布參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)[8]，龍兵在定數(shù)雙截尾和缺失數(shù)據(jù)下討論了參數(shù)的估計(jì)問題[9，10].潘高田,王保恒,陳春良等討論了小樣本區(qū)間估計(jì)[11].王敏在復(fù)合Linex損失下討論參數(shù)的Bayes估計(jì)[12].對(duì)于艾拉姆咖分布，易秀龍還討論了其Pearson-λ2距離及漸近性[13].

1 變點(diǎn)的假設(shè)檢驗(yàn)

X1,X2,…,Xnτk～F(θ1)，Xnτk+1,…,Xn～F(θ2)，

其中F(θ)為參數(shù)θ的艾拉姆咖分布.

下面考慮如下假設(shè)檢驗(yàn)問題

H0:θ1=θ2vsH1:θ1≠θ2.

(1)

定義檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

在顯著性水平α下，(1)的拒絕域?yàn)?/p>

W={(X1,X2,…,Xn):Tk≤A(x,lnn)}，

定理1 設(shè)X1,X2,…,Xn為來自艾拉姆咖分布的樣本，σ2已知，則有

引理1[14]設(shè)X1,X2,…,Xn為n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，如果E(Xr)<+∞,r>2，σ2=Var(X)已知，那么存在一列布朗橋過程{W(n)(t),0≤t≤1},n=1,2…，使得當(dāng)n→∞時(shí)，

引理2[14]在引理1的條件下，當(dāng)n→∞，對(duì)0<δ1≤1-δ2<1有

其中{V(t),-∞

因?yàn)?/p>

定理1告訴我們，假定選取顯著性水平α，通過exp{-2e-x}=1-α，解得

2 變點(diǎn)位置的參數(shù)估計(jì)

引理3[15]設(shè)Y1,Y2,…,Yn為一列鞅差隨機(jī)變量，假設(shè)E(Yi2)=σ2<+∞，i=1,2,…,n.若c1,c2,…,cn為一列非增非負(fù)常數(shù)，則有

進(jìn)一步，若令Z1,Z2,…,Zn為隨機(jī)變量，且對(duì)于1≤k≤n，有

E(|Zk|σ(Z1,Z2,…,Zk-1))≥ak|Zk-1|,a.s.；

同時(shí)對(duì)每一個(gè)k有0≤ak≤1.令r≥1，則還有

因?yàn)閨Tk0|=|Tk0-ETk0+ETk0|≥||Tk0-ETk0|-|ETk0||=|ETk0|-|Tk0-ETk0|，

|Tk|=|Tk-ETk+ETk|≤|Tk-ETk|+|ETk|，

所以|Tk|-|Tk0|≤|Tk-ETk|+|Tk0-ETk0|+|ETk|-|ETk0|≤

另一方面，

所以(ⅰ)當(dāng)k≤k0時(shí)，也就是τ≤τ0，有

(ⅱ)當(dāng)k>k0時(shí)，也就是τ>τ0,有

綜上所述，有

而

(2)

(3)

再由Burkholder不等式,

(4)

其中c1為僅與r有關(guān)的常數(shù).

再由Cr不等式，

3 數(shù)值模擬

為驗(yàn)證本文確定的變點(diǎn)位置估計(jì)的合理性和有效性，利用R軟件進(jìn)行大量模擬.結(jié)果如表1.

表1 變點(diǎn)估計(jì)檢測(cè)結(jié)果

表1表明：

(1)n越大，估計(jì)效果越好，越接近真實(shí)值；

(2)θ1與θ2相差越大，效果越好；

(3)變點(diǎn)真實(shí)位置越接近樣本中間，估計(jì)越準(zhǔn)確.