系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響

王玉德， 毛鑫華

(曲阜師范大學(xué)物理工程學(xué)院,273165,山東省曲阜市)

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析一般是通過(guò)分析系統(tǒng)極點(diǎn)的位置來(lái)確定[1-4]，系統(tǒng)的靈敏度、相對(duì)穩(wěn)定性可通過(guò)分析極點(diǎn)與s平面的虛軸間的距離獲得.表征系統(tǒng)性能的一系列指標(biāo)，都直接或間接地與系統(tǒng)零、極點(diǎn)的位置有關(guān)[2，3].

下面從零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的影響，對(duì)系統(tǒng)根軌跡曲線的變化趨勢(shì)的影響兩個(gè)方面來(lái)討論零極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響.

1 零點(diǎn)位置改變對(duì)系統(tǒng)根軌跡曲線的影響

圖1 系統(tǒng)零點(diǎn)z=0時(shí)的根軌跡曲線

圖2 系統(tǒng)零點(diǎn)分別為z=-1 000,-2,-1,-0.5時(shí)系統(tǒng)根軌跡曲線

圖3 系統(tǒng)零點(diǎn)分別為z=0.5，1，2，1 000時(shí)系統(tǒng)根軌跡曲線

2 增加極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡曲線的影響

在上述二階系統(tǒng)的基礎(chǔ)上分別增加數(shù)值不等的雙極點(diǎn)p=-3，-4，-10，-12，-10 000，-11 000，根軌跡曲線如圖5. 圖5所示根軌跡曲線與圖4相比較可以看出，系統(tǒng)極點(diǎn)數(shù)目增加后系統(tǒng)根軌跡漸近線的分支數(shù)、漸近線的方向角發(fā)生了變化，根軌跡繼續(xù)向右傾斜，使得系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)根軌跡增益的調(diào)整范圍變得更小，使得系統(tǒng)更容易失去穩(wěn)定，故增加系統(tǒng)極點(diǎn)越多，越不利于改善系統(tǒng)的性能.

圖4 增加數(shù)值不等的單個(gè)極點(diǎn)的系統(tǒng)根軌跡曲線

圖5 增加雙極點(diǎn)前后系統(tǒng)根軌跡曲線

3 增加零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響

從圖6看出，增加零點(diǎn)后系統(tǒng)響應(yīng)的靈敏性得到改善，上升時(shí)間比原系統(tǒng)的上升時(shí)間減少，同時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的振蕩也更加劇烈，超調(diào)量增加，相對(duì)穩(wěn)定性能變差.同時(shí)，分析系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)與s平面虛軸的距離對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響，可以看出系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)越靠近s平面的虛軸，系統(tǒng)響應(yīng)變化就越劇烈，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差也越大.反之，增加的零點(diǎn)距離虛軸越遠(yuǎn)，則對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響越小.

圖6 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

在上面增加系統(tǒng)負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，在原系統(tǒng)中增加正實(shí)數(shù)零點(diǎn)(z=5)，增加零點(diǎn)后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)變化如圖7.

圖7 增加負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

從圖7中看出，系統(tǒng)階躍響應(yīng)在給定輸入的初始階段出現(xiàn)了回歸的變化，然后再以較快的速度達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，但總體上對(duì)比零點(diǎn)增加前、后的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線看出，增加零點(diǎn)后系統(tǒng)的振蕩更強(qiáng)烈，超調(diào)量變大，響應(yīng)的上升時(shí)間大于原系統(tǒng)的上升時(shí)間，系統(tǒng)靈敏度和相對(duì)穩(wěn)定性能變差.

4 小 結(jié)

為研究系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響，在已有系統(tǒng)函數(shù)上增加零、極點(diǎn)，畫出零、極點(diǎn)變化前后系統(tǒng)的根軌跡曲線，可以直觀地看到系統(tǒng)零、極點(diǎn)改變對(duì)系統(tǒng)根軌跡曲線的影響，為應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能提供了理論支撐.在分析零、極點(diǎn)分布對(duì)根軌跡曲線影響的基礎(chǔ)上，應(yīng)用時(shí)域分析法對(duì)增加零點(diǎn)前后系統(tǒng)階躍響應(yīng)進(jìn)行分析，可以看出零點(diǎn)在向極點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的動(dòng)態(tài)分量的幅度在變小，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性變好.