從圖像獲取信息 用性質(zhì)推理判斷

陳梅珍

我們知道二次函數(shù)的圖像是拋物線，在考查二次函數(shù)知識時，常常會出現(xiàn)一類由二次函數(shù)圖像即拋物線提供信息，利用二次函數(shù)性質(zhì)作推理判斷的題目。解決這類問題，我們必須熟悉二次函數(shù)表達(dá)式中的字母系數(shù)與拋物線之間的關(guān)系，學(xué)會看二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，具備從函數(shù)圖像中獲取信息的能力。

看拋物線的開口方向和大?。簰佄锞€開口向上，a>0;拋物線開口向下，a<0;拋物線開口越小，[a]越大;拋物線開口越大，[a]越小。

看拋物線對稱軸所在位置：系數(shù)a與系數(shù)b一起決定拋物線對稱軸x=[-b2a]的位置。對稱軸是y軸，則b=0;對稱軸在y軸的左側(cè)，則a、b同號;對稱軸在y軸的右側(cè)，則a、b異號。

看拋物線與y軸的位置：由x=0時y=c，可知拋物線與y軸交于（0，c）。當(dāng)拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方時，c>0;當(dāng)拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方時，c<0;當(dāng)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)時，c=0。

看拋物線與x軸有無公共點(diǎn)：拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，則b2-4ac>0;拋物線與x軸有一個公共點(diǎn)，則b2-4ac=0;拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)，則b2-4ac<0。

還可以看看拋物線的對稱性、拋物線的增減性、某些特殊點(diǎn)的位置等，以此進(jìn)一步推理判斷。

例1 如圖1，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于（-3，0），頂點(diǎn)是（-1，m）。結(jié)合圖像分析下列結(jié)論：①abc>0;②4a+2b+c>0;③若y≥c，則x≤-2或x≥0;④b+c=[12]m。正確的是 （填序號） 。

【解析】看拋物線，開口向上，所以a>0。

看拋物線的趨勢，拋物線與y軸相交于負(fù)半軸，所以c<0。

看拋物線的對稱軸，在y軸左邊，所以[-b2a]<0，又因?yàn)閍>0，所以b>0。

由此分析出abc<0，故①錯誤。

因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于（-3，0），頂點(diǎn)是（-1，m），

根據(jù)拋物線的對稱性，可知拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為（1，0）。

因?yàn)閽佄锞€開口向上，所以橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)在x軸上方，所以當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c>0，故②正確。

由拋物線的頂點(diǎn)是（-1，m），得拋物線的對稱軸是直線x=-1，所以[-b2a]=-1，即b=2a。再把y=c，b=2a代入y=ax2+bx+c，得ax2+2ax+c=c，所以x2+2x=0，解得x=0或-2。結(jié)合圖像，當(dāng)y≥c，則x≤-2或x≥0，故③正確。

把（-1，m），（1，0）代入y=ax2+bx+c，得a-b+c=m，a+b+c=0。又因?yàn)閎=2a，所以b=[-12]m，a=[-14]m，c=[34]m，所以b+c=[14]m，故④錯誤。

綜合上述，正確的是②③。

例2 如圖2，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n）。結(jié)合圖像分析下列結(jié)論：①8a+c<0;②關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等實(shí)數(shù)根;③拋物線上有兩點(diǎn)P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1<12，則y1>y2;④m（am+b）≤a+b（m為實(shí)數(shù)）。正確的是 （填序號） 。

【解析】由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），得拋物線的對稱軸為直線x=1，所以[-b2a]=1，即b=-2a。

因?yàn)辄c(diǎn)A（-1，0）關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)為（3，0），所以9a+3b+c=0。

將b=-2a代入9a+3b+c=0，得3a+c=0，所以8a+c=5a<0，故①正確。

因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），所以拋物線ax2+bx+c=n有唯一解。

當(dāng)y=n-1時，與拋物線有兩個交點(diǎn)，故②正確。

因?yàn)閤1<12，所以[x2-1]>[x1-1]。

拋物線關(guān)于x=1對稱，x<1時，y隨x的增大而增大，x>1時，y隨x的增大而減小，

所以y1>y2，故③正確。

因?yàn)閽佄锞€y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），所以x=1時，函數(shù)值y取最大值。

因?yàn)閤=1時，函數(shù)值y=a+b+c;x=m時，函數(shù)值y=am2+bm+c，

所以am2+bm+c≤a+b+c，所以am2+bm≤a+b，即m（am+b）≤a+b（m為實(shí)數(shù)）成立，故④正確。

綜合上述，正確的是①②③④。

利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像解決問題，我們需要仔細(xì)觀察題目所給出的圖像，認(rèn)真解讀圖像所反映出來的重要信息，然后根據(jù)解讀出來的圖像信息，結(jié)合圖像與性質(zhì)，逐條分析并推理判斷各個結(jié)論的正確性。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳中區(qū)甪直甫里中學(xué)）