優(yōu)化·聯(lián)結(jié)·深度

摘 要：文章以三角形的內(nèi)角和一課為例展開分析，旨在通過組織學(xué)生觀察類比推理的數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生能夠積極主動(dòng)地探索多邊形的內(nèi)角和與外角和的公式，利用多種轉(zhuǎn)化的方法，讓學(xué)生深刻掌握與體驗(yàn)化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，以發(fā)展學(xué)生推理能力和語言表達(dá)能力。

關(guān)鍵詞：三角形內(nèi)角和;探究;規(guī)律

中圖分類號(hào)：G427? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ?文章編號(hào)：2095-624X（2021）46-0061-03

作者簡(jiǎn)介：周衛(wèi)來（1991.4—），女，南京市東山小學(xué)，學(xué)士學(xué)位。

引 言

“多邊形的內(nèi)角和”是探索規(guī)律的教學(xué)內(nèi)容，主要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、歸納、類比等具體的活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法。教材分四個(gè)層次引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律：第一層次，提出問題;第二層次，明確方法;第三層次，發(fā)現(xiàn)規(guī)律;第四層次，回顧反思。

教材里提供給學(xué)生的分割方法只有一種，從頂點(diǎn)出發(fā)連接不相鄰的頂點(diǎn)，把求多邊形內(nèi)角和的問題轉(zhuǎn)化成求若干個(gè)三角形內(nèi)角總和的問題。由于本節(jié)課被安排在“綜合與實(shí)踐”的領(lǐng)域，部分教師只是按照書本的流程教一遍，浮于表面，并沒有關(guān)心學(xué)生的學(xué)習(xí)是否真正發(fā)生。通過平時(shí)觀察學(xué)生的作業(yè)，筆者發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生通過從一個(gè)邊出發(fā)，從而達(dá)到分割為三角形的目的，部分學(xué)生有著自己的想法。因此，在教學(xué)過程中教師不能直接將方法教給學(xué)生，而是要引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行自主探索，然后討論交流，以鍛煉學(xué)生合作交流的能力，提高學(xué)生的語言表達(dá)能力。

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能：知道四邊形、多邊形、正多邊形的定義，能夠在圖形中識(shí)別并了解其相關(guān)概念;掌握多邊形內(nèi)角和公式，并能夠運(yùn)用公式正確求出多邊形的內(nèi)角和。

過程與方法：通過對(duì)“多邊形的內(nèi)角和公式”的探究，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，同時(shí)使其充分領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，能夠運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，增強(qiáng)發(fā)散思維能力。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過公式的猜想、歸納、推斷過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿探索性和創(chuàng)造性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和勇于創(chuàng)新的精神。

教學(xué)重點(diǎn)：探究多邊形內(nèi)角和的公式。

教學(xué)難點(diǎn)：多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)過程。

【片段一】尊重學(xué)生，優(yōu)化方法

師：同學(xué)們，你們知道嗎，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家帕斯卡是這樣證明“三角形內(nèi)角和是180°” 的：長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，四個(gè)角的和一定是360°。把長(zhǎng)方形沿對(duì)角線一分為二，就變成了兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和就是360除以2等于180°。任意一個(gè)直角三角形都可以看成是長(zhǎng)方形剪開的，所以任意直角三角形的內(nèi)角和一定是180°。任何一個(gè)銳角三角形都可以沿高分為兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是360°，而其中有兩個(gè)直角拼在一起成了一條直線，所以，銳角三角形的內(nèi)角和就是360°-90°-90°=180°。同樣的道理可以說明鈍角三角形內(nèi)角和也是180°。今天我們要將難度升級(jí)，用分一分的方法來探究五邊形的內(nèi)角和，誰來指一指五邊形的內(nèi)角在哪里？請(qǐng)看你的活動(dòng)單，獨(dú)立完成，再在小組內(nèi)進(jìn)行交流討論。

活動(dòng)一：探究五邊形的內(nèi)角和。

展示1號(hào)作品（如圖1）：

生1：從頂點(diǎn)分，把五邊形分成3個(gè)三角形，3個(gè)三角形的內(nèi)角和就是五邊形的內(nèi)角和。這樣分比較清楚，不重復(fù)、不遺漏。

板貼：180°×3=540°

師：他把五邊形分成3個(gè)三角形，所以五邊形的內(nèi)角和是180°×3，還有不同的分法嗎？請(qǐng)看2號(hào)作品（如圖2）。

生2：從五邊形內(nèi)找一點(diǎn)分，五邊形被分成5個(gè)三角形，要計(jì)算五邊形的內(nèi)角和，還要把中間這個(gè)周角減掉。

師：為什么要把周角減掉？

生：因?yàn)檫@個(gè)周角不是五邊形的內(nèi)角。

板貼：180°×5-360°=540°

師：請(qǐng)看3號(hào)作品（如圖3）。

生3：我是從邊上選一點(diǎn)，把五邊形分成4個(gè)三角形。這三個(gè)角組成的平角不是五邊形的內(nèi)角，所以減去。

板貼：180°×4-180°=540°

師：剛剛同學(xué)們用不同的分法都探究出了五邊形的內(nèi)角和，他們有什么共同點(diǎn)？

生4：他們都分成了三角形。

板貼：把五邊形和三角形之間用弧線連起來。

師：還有嗎？

生5：得數(shù)相同。

師：那他們有什么不同點(diǎn)呢？

生6：一個(gè)是從頂點(diǎn)出發(fā)分三角形，一個(gè)從五邊形的內(nèi)部找一點(diǎn)出發(fā)分三角形，一個(gè)從邊上的一點(diǎn)出發(fā)去分三角形。

生7：分的三角形的個(gè)數(shù)不相同，計(jì)算的方法也不相同。

師：那這三種方法你更喜歡哪一種呢？

生8：從頂點(diǎn)出發(fā)分三角形，因?yàn)椴粫?huì)出現(xiàn)多余的內(nèi)角，所以不用減。

師：看來啊，同樣是分成三角形，咱們還得講究更簡(jiǎn)潔的方法。那我們就用從頂點(diǎn)分這種分法快速地研究一下六邊形、七邊形、八邊形、九邊形的內(nèi)角和吧！

好的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)是學(xué)生主體地位和教師主導(dǎo)作用的和諧統(tǒng)一。一方面，學(xué)生主體地位的真正落實(shí)，依賴于教師主導(dǎo)作用的有效發(fā)揮;另一方面，有效發(fā)揮教師主導(dǎo)作用的標(biāo)志是學(xué)生能夠真正成為學(xué)習(xí)的主體[1]。因此，這個(gè)環(huán)節(jié)并沒有只呈現(xiàn)教材中的從頂點(diǎn)出發(fā)這一種情況，而是追求真實(shí)的課堂教學(xué)。教師要尊重學(xué)生的選擇，呈現(xiàn)學(xué)生多樣的研究方法，給予學(xué)生足夠的時(shí)間對(duì)自己的研究方法進(jìn)行闡述，并對(duì)這些方法予以積極的肯定。在接下來的對(duì)比探究中，學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的過程，真正體現(xiàn)了自身的學(xué)習(xí)主體地位。

這部分在教學(xué)中有著承上啟下的作用，其不僅能夠讓學(xué)生復(fù)習(xí)前面所學(xué)的三角形知識(shí)點(diǎn)，還為后面學(xué)習(xí)各種特殊四邊形起到了預(yù)備的效果[2]。在教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力是本次教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)。

【片段二】動(dòng)態(tài)“極限”，聯(lián)結(jié)方法

師：那像這樣的探究咱們能一個(gè)一個(gè)去嘗試完嗎？

生1：不能

師：那現(xiàn)在怎么辦？

生2：我們可以找找規(guī)律。

師：觀察圖形的分割方法，思考多邊形內(nèi)角和與什么有關(guān)？又有什么規(guī)律？你覺得隱藏了什么規(guī)律，在小組內(nèi)討論一下。多邊形的內(nèi)角和與什么有關(guān)。

生3：多邊形的內(nèi)角和與三角形的個(gè)數(shù)有關(guān)，三角形個(gè)數(shù)與多邊形的邊數(shù)有關(guān)。

師：那你知道任意一個(gè)多邊形內(nèi)角和怎么求嗎？

生4：三角形的個(gè)數(shù)乘180°。

師：三角形的個(gè)數(shù)到底怎么求呢？

生5：邊數(shù)-2。

板貼：（邊數(shù)-2）×180°（如圖4）。

師：同學(xué)們，回顧一下我們探究多邊形內(nèi)角和的過程。咱們是從最簡(jiǎn)單的多邊形出發(fā)，一步一步地去探究，從幾個(gè)多邊形的內(nèi)角和中找到規(guī)律，從而總結(jié)出了任意一個(gè)多邊形的內(nèi)角和都可以用這樣的算式來進(jìn)行計(jì)算。

在進(jìn)行本次教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)積累了關(guān)于這方面的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)。為了能夠幫助學(xué)生盡快找到知識(shí)點(diǎn)之間的結(jié)合點(diǎn)，教師需要通過靈活設(shè)置問題，在引發(fā)學(xué)生聯(lián)想的同時(shí)，幫助學(xué)生更好地梳理知識(shí)點(diǎn)，在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力的同時(shí)，展開進(jìn)一步的提問。在這個(gè)過程中，教師并沒有總是采用引導(dǎo)的方式，而是通過提出問題的方式，讓學(xué)生進(jìn)行積極主動(dòng)的思考。這不僅創(chuàng)設(shè)了問題情境，還能夠促進(jìn)學(xué)生積極探索知識(shí)生成過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想。在教學(xué)過程中，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生展開探索，能夠幫助學(xué)生更加深刻地體會(huì)到這種思想方法對(duì)解決數(shù)學(xué)問題的作用。

【片段三】發(fā)展思維，深度學(xué)習(xí)

回顧反思：

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，知識(shí)方面你有哪些收獲？感受到哪些數(shù)學(xué)思想方法？

生1：復(fù)雜的問題從簡(jiǎn)單的問題開始找規(guī)律。

生2：從簡(jiǎn)單的四、五邊形開始，通過把多邊形分一分，轉(zhuǎn)化成三角形內(nèi)角和。

生3：感受到像今天這樣要解決新的問題，可以從簡(jiǎn)單的問題開始思考。

深度學(xué)習(xí)是將原有的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)認(rèn)知及數(shù)學(xué)技能進(jìn)行加工重組，從而彌補(bǔ)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的不足。簡(jiǎn)單來講，深度學(xué)習(xí)是一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，深度學(xué)習(xí)的實(shí)施有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力[3]。轉(zhuǎn)化方法貫穿本節(jié)課教學(xué)的始終，所謂“轉(zhuǎn)化”，就是將一個(gè)問題的解決轉(zhuǎn)向另一個(gè)問題的解決，以達(dá)到化未知為已知、化抽象為直觀、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的目的[4]。轉(zhuǎn)化方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用非常廣泛，學(xué)生如果能夠真正掌握這種策略，觸類旁通，靈活應(yīng)用，會(huì)給以后的學(xué)習(xí)帶來很大的便利。因此，本節(jié)課的教學(xué)并沒有僅僅停留于知識(shí)層面的教學(xué)，而是轉(zhuǎn)變?cè)械慕虒W(xué)模式，立足學(xué)生的學(xué)情，結(jié)合數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，給學(xué)生留出更多的思考時(shí)間和空間，讓學(xué)生在理解轉(zhuǎn)化策略的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)思維能力，達(dá)到課堂教學(xué)效益最大化的目的[5]。

本次的教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)際上就是通過一系列的操作活動(dòng)，來展現(xiàn)出學(xué)生探究多邊形內(nèi)角和的思維過程。在教學(xué)過程中，當(dāng)遇到求解五邊形內(nèi)角和時(shí)，學(xué)生給出多種不同的想法，通過師生之間的互動(dòng)與討論，進(jìn)一步了解分成三角形是最簡(jiǎn)便的方法。在前期的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了三角形的內(nèi)角和及三角形的邊、頂點(diǎn)、內(nèi)角等概念，同時(shí)也初步建立起四邊形可分為兩個(gè)三角形來求內(nèi)角和的概念，這為本節(jié)課的教學(xué)打下了良好的基礎(chǔ)。因此，當(dāng)學(xué)生在進(jìn)行多邊形內(nèi)角和探究的過程中，很容易想到采用分割的方式將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，但仍然有部分學(xué)生對(duì)這種化歸思想存在一定的理解困難。

教學(xué)反思：在本次教學(xué)中，教師采用提問、探究、發(fā)現(xiàn)等多種模式，通過展示學(xué)生在解題上的多種思路，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)研究多邊形內(nèi)角和的關(guān)注。通過復(fù)習(xí)四邊形、多邊形的概念，并且通過多種活動(dòng)形式展示多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系，學(xué)生進(jìn)一步得出多邊形內(nèi)角和公式。整個(gè)教學(xué)過程，由淺入深、從易到難，能更好地幫助學(xué)生掌握知識(shí)。

結(jié) 語

教師通過展示學(xué)生辯證解題方面的思路，耐心引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、背景、材料等實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、大膽創(chuàng)新的個(gè)性品質(zhì)，同時(shí)也豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)途徑和學(xué)習(xí)方法。但是，本次教學(xué)中也存在一定的不足之處，由于學(xué)生與學(xué)生之間在掌握知識(shí)方面存在差異性，部分學(xué)生并不能真正地跟隨教師參與到具體的討論與問題思考的過程中，使部分學(xué)生的討論流于形式。如何保證在教學(xué)過程中使每位學(xué)生都能夠掌握基礎(chǔ)概念，確保每位學(xué)生都有所收獲，以及讓學(xué)生討論到怎樣的程度，都是教師需要關(guān)注和深入思考的問題。筆者在今后的教學(xué)中需要不斷積累經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化教學(xué)過程，積極將先進(jìn)的教學(xué)理論、教學(xué)方法、教學(xué)手段應(yīng)用到具體的教學(xué)過程中，從而讓學(xué)生能夠真正掌握知識(shí)，并做到內(nèi)化于心。

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