滲透模型思想 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

顏小兵

一、設(shè)計(jì)背景

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是初中生進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)的最后一環(huán)。作為一線(xiàn)教師，我們要努力讓學(xué)生將知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，提高學(xué)生的思維水平和認(rèn)知能力。本節(jié)課選取的課例是中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課“將軍飲馬問(wèn)題及其拓展”。該問(wèn)題模型建構(gòu)、思考過(guò)程簡(jiǎn)單巧妙，與其他相關(guān)知識(shí)結(jié)合后有許多妙用，貫穿初中數(shù)學(xué)始終，是一節(jié)具有很強(qiáng)代表性的復(fù)習(xí)課。

二、教學(xué)目標(biāo)

讓學(xué)生了解“將軍飲馬”問(wèn)題模型并理解模型的本質(zhì);挖掘幾何圖形中的隱含條件，歸納總結(jié)“兩定一動(dòng)”類(lèi)型的題目特點(diǎn)并轉(zhuǎn)化;培養(yǎng)學(xué)生建模和轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力。

三、教學(xué)過(guò)程

1.引入情境，解析模型。

問(wèn)題1：古希臘一位將軍要從A地出發(fā)到河邊MN處飲馬，然后再回到駐地B。問(wèn)該將軍怎樣選擇飲馬地點(diǎn)，才能使路程最短？

可在河邊飲馬的地點(diǎn)有許多處，現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度之和最短的那個(gè)點(diǎn)。教師要引導(dǎo)學(xué)生做輔助線(xiàn)（如圖1）。

2.觀察探究，合作交流。

問(wèn)題2：如圖2，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，若AE=2，求EM+EC的最小值。

本題是“將軍飲馬”問(wèn)題模型在等邊三角形中的特殊運(yùn)用。等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，底邊上的高與底邊上的中線(xiàn)互相重合。任意一條邊上的高都是這條邊的垂直平分線(xiàn)，都是等邊三角形的對(duì)稱(chēng)軸。這里要提醒學(xué)生借助圖形的對(duì)稱(chēng)性，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”找到動(dòng)點(diǎn)位置，再結(jié)合勾股定理求出最小值。

師：剛才同學(xué)們是利用“等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形”這一特征，直接找出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的問(wèn)題。下面請(qǐng)看問(wèn)題3，在正方形中是否也能夠借助模型求最值呢？

問(wèn)題3：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，BE=2，CE=1，點(diǎn)P在BD上，求PE+PC的最小值。

本題是“將軍飲馬”問(wèn)題模型在正方形中的特殊運(yùn)用。這里仍然要提醒學(xué)生，借助特殊圖形的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行證明。

師：同學(xué)們，圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是直徑所在的直線(xiàn)。在問(wèn)題4中，求兩條線(xiàn)段之和的最小值，能否根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，聯(lián)想到“將軍飲馬”問(wèn)題模型去解決呢？

問(wèn)題4：如圖4，AB是⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)C是半圓的三等分點(diǎn)，點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接PC、PD，則PC+PD的最小值是多少？并畫(huà)出點(diǎn)P的位置。

本題是“將軍飲馬”問(wèn)題模型在圓中的特殊運(yùn)用。教師要提醒學(xué)生緊緊抓住圓既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的特征。只要抓住模型的本質(zhì)特征，借助對(duì)稱(chēng)性，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，找到動(dòng)點(diǎn)的位置并不困難。

3.變式提升，拓展創(chuàng)新。

師：同學(xué)們，以上3個(gè)問(wèn)題都是借助“將軍飲馬”問(wèn)題模型，根據(jù)等邊三角形、正方形、圓的軸對(duì)稱(chēng)性求解的。下面我們來(lái)看一下，在二次函數(shù)以及平面直角坐標(biāo)系中，如何聯(lián)想到“將軍飲馬”問(wèn)題模型求線(xiàn)段和的最小值。

問(wèn)題5：如圖5，拋物線(xiàn)y=ax2+c經(jīng)過(guò)A（0，1），P（2[3]，-3）。（1）求表達(dá)式并判定C（[3]，0）是否在此拋物線(xiàn)上;（2）若M是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接MP、MC，試求△PCM周長(zhǎng)的最小值。

問(wèn)題6：如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)為2的線(xiàn)段CD（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)）在x軸上移動(dòng)，A（0，2），B（0，4），連接AC、BD，求AC+BD的最小值。

4.聯(lián)系實(shí)際，綜合運(yùn)用。

師：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活中的許多實(shí)踐活動(dòng)都與數(shù)學(xué)有關(guān)。譬如，在一個(gè)圓柱體上，如何求小蟲(chóng)爬行的最短路徑呢？

問(wèn)題7：如圖7，桌上有一圓柱形玻璃杯，高12cm，底面周長(zhǎng)18cm，在杯內(nèi)壁離杯口3cm的A處有一滴蜜糖，一條小蟲(chóng)從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對(duì)方向離桌面3cm的B處時(shí)（即A、B在底面的射影的連線(xiàn)經(jīng)過(guò)底面的圓心O），突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。小蟲(chóng)怎樣爬，到蜜糖的路程最短？

這是一道將“將軍飲馬”模型應(yīng)用到實(shí)際生活的典型問(wèn)題。在講解過(guò)程中，教師可以將立體圖形展開(kāi)成平面圖形，引導(dǎo)學(xué)生看清題目的本質(zhì)，利用建模思想解決問(wèn)題。

四、教學(xué)反思

典型的“將軍飲馬”問(wèn)題屬于“一動(dòng)兩定”型問(wèn)題，其本質(zhì)就是將同側(cè)兩折線(xiàn)段之和，通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩折線(xiàn)段之和。它與三角形、四邊形、圓、函數(shù)及實(shí)際生活緊密聯(lián)系在一起，雖然每個(gè)題目的呈現(xiàn)形式不同，但解決問(wèn)題的本質(zhì)方法不變，往往需要通過(guò)作輔助線(xiàn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”問(wèn)題，最后利用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”的基本事實(shí)解決。本節(jié)課研究的重點(diǎn)實(shí)際上是圖形之間的位置關(guān)系，以及由一個(gè)圖形得到另一個(gè)圖形的軸對(duì)稱(chēng)變換。只要引導(dǎo)學(xué)生掌握模型本質(zhì)，挖掘知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，許多問(wèn)題便可以迎刃而解。在教學(xué)過(guò)程中，教師要積極滲透數(shù)學(xué)模型思想，講清、講透每個(gè)數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生能看清知識(shí)的本質(zhì)，觸類(lèi)旁通，這樣才能幫助學(xué)生拓寬數(shù)學(xué)知識(shí)面，促進(jìn)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的提高，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中）

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“基于‘?dāng)?shù)字學(xué)習(xí)’場(chǎng)域建構(gòu)的初中教學(xué)質(zhì)態(tài)研究”（編號(hào)：C-c/2016/02/77）階段性研究成果。