簡(jiǎn)潔而不簡(jiǎn)單
——數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展綜述

（桂林師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)系，廣西 桂林 541199）

符號(hào)是用來(lái)指稱(chēng)和代表其他事物的一種象征物，是承載交流信息的載體。數(shù)學(xué)符號(hào)就是用以表示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)關(guān)系等的符號(hào)，是傳遞、啟示數(shù)學(xué)意義、數(shù)學(xué)信息的基本載體。

數(shù)學(xué)符號(hào)可以按照不同的標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，如將數(shù)學(xué)符號(hào)分為元素符號(hào)、關(guān)系符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)及輔助符號(hào)等。

數(shù)學(xué)是高度抽象的學(xué)科，其抽象性體現(xiàn)在數(shù)學(xué)獨(dú)特的符號(hào)、語(yǔ)言和方法。數(shù)學(xué)符號(hào)作為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的基本單位，不僅形式優(yōu)美，書(shū)寫(xiě)、運(yùn)算和推理方便，而且體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，對(duì)數(shù)學(xué)的傳播、推廣、普及和發(fā)展起著重要的作用。

本文將從數(shù)學(xué)史的發(fā)展過(guò)程中提煉數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展、進(jìn)化的軌跡。

數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展可分為四個(gè)時(shí)期：15世紀(jì)之前，數(shù)字符號(hào)形成為主階段；15—17世紀(jì)，符號(hào)代數(shù)發(fā)展階段；17—19世紀(jì)，近代數(shù)學(xué)符號(hào)形成、發(fā)展階段；19世紀(jì)至今，由數(shù)理邏輯發(fā)展帶來(lái)的數(shù)學(xué)符號(hào)形式化及現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展階段。

一、數(shù)字符號(hào)形成為主階段（15世紀(jì)之前）[1-3]

人類(lèi)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)是一個(gè)緩慢的、漸進(jìn)的過(guò)程，其中記數(shù)符號(hào)的出現(xiàn)、發(fā)展及完善是這一過(guò)程的必然產(chǎn)物。古埃及、古巴比倫（美索不達(dá)米亞）、古中國(guó)和古印度被歷史學(xué)家稱(chēng)為四大文明古國(guó)，它們是人類(lèi)文明的發(fā)源地，早期數(shù)字符號(hào)，就是在這些地域首先發(fā)展起來(lái)的。

（一）古埃及數(shù)字符號(hào)

早在公元前3000年古埃及人就創(chuàng)造了象形文字，他們使用特殊記號(hào)來(lái)表示數(shù)字，如一條豎線(xiàn)表示1，表示 10，用或者表示100等。這一記數(shù)系統(tǒng)表示數(shù)的方法是數(shù)字中某位上是幾，就在該位上把這個(gè)符號(hào)重復(fù)寫(xiě)幾次，并且數(shù)字順序是從右到左，如表示12345。這種以10為基底，沒(méi)有位值制的記數(shù)方法由于符號(hào)多，用做運(yùn)算會(huì)相當(dāng)復(fù)雜。在萊茵德紙草書(shū)和莫斯科紙草書(shū)中，僧侶文數(shù)字代替了一些冗長(zhǎng)重復(fù)的記號(hào)，引進(jìn)了10的乘冪的倍數(shù)和一些表示數(shù)字的記號(hào)，如4用“”替代了，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、20 分別記為：。

使用單位分?jǐn)?shù)是古埃及數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特色。古埃及人將所有除外的真分?jǐn)?shù)都分解為單位分?jǐn)?shù)的和，如：。顯然，對(duì)于分?jǐn)?shù)本身，這種單位分?jǐn)?shù)是極為繁瑣的，但是他們將分?jǐn)?shù)分解為幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和后，分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算就可以進(jìn)行了，盡管做起來(lái)比較麻煩。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，紙草書(shū)上還有相關(guān)數(shù)表。

公元前4世紀(jì)古埃及被希臘人征服，以論證幾何為主的希臘數(shù)學(xué)也隨之替代了這一古老的數(shù)學(xué)文化。

（二）美索不達(dá)米亞數(shù)字符號(hào)

約公元前2800年，在古巴比倫，美索不達(dá)米亞人創(chuàng)造了楔形文字，其中由兩個(gè)基本的楔形文字構(gòu)成了美索不達(dá)米亞人的數(shù)字符號(hào)體系。該數(shù)字系統(tǒng)的特點(diǎn)就是有進(jìn)位記號(hào)并以60為基底，而且用位值制表示數(shù)值，即按其位置用相同的符號(hào)表示數(shù)值。比如59記為，對(duì)于大于59的數(shù)，他們則采用六十進(jìn)制的位值記法。同一個(gè)記號(hào)，根據(jù)它在數(shù)字表示中的相對(duì)位置而賦予不同的值，因?yàn)樗怯幂^少的符號(hào)來(lái)表示數(shù)的，沒(méi)有位值制表示數(shù)便會(huì)極其復(fù)雜。位值制的發(fā)明，是古巴比倫數(shù)學(xué)的一項(xiàng)突出貢獻(xiàn)。例如，右邊的表示2個(gè)單位，中間的表示2個(gè)60，左邊的表示2個(gè)602，所以表示 2×602+2×60+2＝7322。當(dāng)然因?yàn)闆](méi)有零號(hào)，這種位值制是不完全的。比如美索不達(dá)米亞人表示722和7202的形式是一樣的，人們只能通過(guò)上下文來(lái)猜測(cè)它們的意思。不過(guò)在公元前3世紀(jì)的泥版文書(shū)中出現(xiàn)了一個(gè)表示空位的專(zhuān)門(mén)記號(hào)，憑借這個(gè)空位記號(hào)，人們就很容易將數(shù)（2×602+0×60+2）與（2×60+2）區(qū)分。但是現(xiàn)存的泥版沒(méi)有發(fā)現(xiàn)零號(hào)置于尾端的情況，所以還可以表示形如2×602+2×60k-1（k≥1）的整數(shù)。另外，美索不達(dá)米亞人還將位值原理推廣應(yīng)用到整數(shù)以外的分?jǐn)?shù)，這就是說(shuō)不僅表示2×60+2，同時(shí)表示類(lèi)似2×60k+2×60k-1（k≤-1）的分?jǐn)?shù)。這本質(zhì)上是進(jìn)制小數(shù)的表示方法，還蘊(yùn)涵了位值制的思想。因此，美索不達(dá)米亞人對(duì)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算跟整數(shù)的運(yùn)算一樣能夠進(jìn)行。美索不達(dá)米亞人有時(shí)混用多種進(jìn)位制，這使得他們的記數(shù)系統(tǒng)在極不規(guī)范的情況下更顯繁雜了。但是這種混亂沒(méi)有影響他們?nèi)〉幂^高的數(shù)學(xué)成就。

大約在公元前6世紀(jì)，古巴比倫數(shù)學(xué)文明也被論證幾何為主的希臘數(shù)學(xué)取代。

（三）古代中國(guó)數(shù)字符號(hào)

中國(guó)早在商朝時(shí)期（約公元前1600年—約公元前1046年）的甲骨文中已經(jīng)使用完整的十進(jìn)制計(jì)數(shù)。用甲骨文書(shū)寫(xiě)的數(shù)字有12個(gè)獨(dú)立的符號(hào)，并以空位表示零。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、100、1000 分別記為：。至遲到春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期（公元前770年—公元前476年）又開(kāi)始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)制籌算計(jì)數(shù)，籌算計(jì)數(shù)又有縱橫兩種形式。縱式用來(lái)表示個(gè)位、百位、萬(wàn)位……數(shù)字；橫式用來(lái)表示十位、千位、十萬(wàn)位……數(shù)字?？v橫相間，零則以空位表示。如76031記為，6724則記為。

春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，完善的算籌記數(shù)法已得到普遍使用，這種依靠籌的擺放來(lái)計(jì)數(shù)的算籌記數(shù)系統(tǒng)在中國(guó)使用了兩千多年，直到元朝。在此基礎(chǔ)之上的古代中國(guó)數(shù)學(xué)，一直居于世界前列。另一方面，在如此漫長(zhǎng)的時(shí)間里，算籌計(jì)數(shù)的弊端也日益突出。由于計(jì)算是通過(guò)籌的擺放來(lái)進(jìn)行的，這樣就難以保留其演算過(guò)程，并且步驟會(huì)相當(dāng)繁瑣，難以簡(jiǎn)化、壓縮。同時(shí)，根深蒂固的算籌計(jì)數(shù)也成了其他先進(jìn)算法和數(shù)學(xué)符號(hào)引進(jìn)的一大阻礙。在《九章算術(shù)》中求解線(xiàn)性方程組的演算過(guò)程相當(dāng)于對(duì)矩陣施行初等變換，當(dāng)時(shí)應(yīng)該是非常先進(jìn)。然而它是對(duì)籌的擺放，即是對(duì)數(shù)的運(yùn)算來(lái)進(jìn)行。元代朱世杰的“四元術(shù)”采用分離系數(shù)的方法，其本質(zhì)也是對(duì)數(shù)（籌）的操作，所有這些都使得算籌難以產(chǎn)生用符號(hào)代替未知量的思想。最終的結(jié)果是中國(guó)籌算完全被歐洲先進(jìn)的符號(hào)化數(shù)學(xué)取代。

（四）古印度數(shù)字符號(hào)

關(guān)于公元前2世紀(jì)至公元3世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)，可參考的資料不多，但發(fā)現(xiàn)的書(shū)寫(xiě)在樺樹(shù)皮上的“巴克利手稿”已出現(xiàn)完整的十進(jìn)制數(shù)碼，其中零用點(diǎn)表示。點(diǎn)后來(lái)逐步演變?yōu)閳A圈，即現(xiàn)在的“0”號(hào)。這一過(guò)程最晚于公元9世紀(jì)完成，有一塊叫作Gwalior的石碑上面有著完整的數(shù)系：，它們分別表示 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。印度人不只把“0”看作記數(shù)法中的空位，也視其為可施行運(yùn)算的一個(gè)獨(dú)立的數(shù)。

現(xiàn)在通用的記數(shù)方法最初是在印度首先制定。在這個(gè)記數(shù)符號(hào)基礎(chǔ)上印度人形成一套完整的運(yùn)算方法。印度數(shù)字的寫(xiě)法不斷有所變化和演變，并在公元8世紀(jì)傳入阿拉伯國(guó)家。其中零號(hào)的傳播則要晚一些，后經(jīng)阿拉伯人改進(jìn)最終成為現(xiàn)今的數(shù)字“1，2，3，4，5，6，7，8，9，0”。12世紀(jì)后，這套數(shù)字系統(tǒng)通過(guò)意大利數(shù)學(xué)家Leonardo Fibonacci的《算盤(pán)書(shū)》，傳入歐洲大陸，成為引發(fā)歐洲文藝復(fù)興的重要原因之一，對(duì)近代歐洲數(shù)學(xué)發(fā)展起了重要作用。

此外，印度人使用一些縮寫(xiě)文字和記號(hào)來(lái)替代運(yùn)算、運(yùn)算過(guò)程、代數(shù)式和未知量。在“悉檀多”（約公元5世紀(jì)—12世紀(jì)）初期，得益于他們對(duì)零和負(fù)數(shù)運(yùn)算法則的理解，印度人對(duì)一元二次方程的一般式甚至丟番圖方程進(jìn)行了研究，盡管印度人使用的記號(hào)不多，但他們的代數(shù)可以看成是具有符號(hào)化的代數(shù)。

另外古希臘對(duì)最初的幾何符號(hào)影響深遠(yuǎn)。古希臘文明（公元前800—公元前146）對(duì)現(xiàn)代西方社會(huì)的發(fā)展影響極大，它是人類(lèi)歷史上最宏偉的文明之一。古典時(shí)期的希臘（公元前510—公元前323）幾何是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的光輝一幕，其中Euclid of Alexandria的《原本》更是幾何學(xué)的里程碑。書(shū)中Euclid首先給出了幾個(gè)不嚴(yán)格的定義，然后通過(guò)幾何圖形的直觀性演繹展開(kāi)。《原本》的原稿已丟失，不清楚Euclid表示圖形的記號(hào)，由于當(dāng)時(shí)數(shù)和線(xiàn)段的長(zhǎng)度是用希臘字母來(lái)表示的，古希臘人也很可能是利用字母來(lái)表示點(diǎn)、直線(xiàn)。而對(duì)于三角形、四邊形等多邊形則可能用多字母表示。公元1世紀(jì)的Heron of Alexandria和3世紀(jì)的Pappus開(kāi)始用一些如△、∠、⊙等符號(hào)表示幾何圖形了，這些符號(hào)形象、簡(jiǎn)潔，可極大地簡(jiǎn)化推理過(guò)程。

二、符號(hào)代數(shù)發(fā)展階段（15—17世紀(jì)）[4，5]

15世紀(jì)始，人們開(kāi)始頻繁地使用符號(hào)來(lái)表示運(yùn)算。最早使用P和M，分別表示加和減，而德國(guó)人J.Widman于1489年用“+”和“-”來(lái)表示箱子重量的超虧，后來(lái)數(shù)學(xué)家用來(lái)表示加減。“×”是英國(guó)人W.Oughtred于1631年第一次用來(lái)表示乘法。法國(guó)數(shù)學(xué)家F.Vieta先用aequalis，后改用“～”表示相等，法國(guó)數(shù)學(xué)家 R.Descartes則用“∝”表示相等。1557年英國(guó)人R.Recorde認(rèn)為表示相等最合適用平行相等的線(xiàn)段“＝”。到17世紀(jì)末，“＝”逐步流行。小于和大于號(hào)“＜”和“＞”是英國(guó)人T.Harriot首次引入的。至于根號(hào)“”的使用卻源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，幾經(jīng)變化。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，遠(yuǎn)至古埃及的紙草書(shū)上都曾有方根的身影。瑞士數(shù)學(xué)家Leonard Eular曾認(rèn)為，根號(hào)“√”應(yīng)該來(lái)源于“radix”的首字母小寫(xiě)形式“r”。但在德國(guó)的代數(shù)手稿中人們發(fā)現(xiàn)“√”是由點(diǎn)“·”演變而來(lái)的。在一部 1480年的拉丁文手稿中，“·”表示開(kāi)平方；“··”表示開(kāi)四次方；“···”表示開(kāi)立方；“····”則是開(kāi)九次方。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們也曾采用符號(hào)“”來(lái)作為方根符號(hào)。1525年，波蘭—奧地利數(shù)學(xué)家Christon Rudolff在《未知數(shù)》中創(chuàng)作符號(hào)“√”表示平方根。同時(shí)Rudolff還引入了立方根符號(hào)“”，四次方根符號(hào)“”。Rudolff的符號(hào)相比之下有著很大的優(yōu)勢(shì)，因此它在16世紀(jì)和17世紀(jì)在歐洲迅速傳播開(kāi)來(lái)。但是，這一符號(hào)也有明顯的缺陷，如符號(hào)的含義難以區(qū)分被開(kāi)方的是多重根式或一個(gè)多項(xiàng)式的情況。直到17世紀(jì)，R.Descartes第一個(gè)使用了現(xiàn)今用的根號(hào)“”。16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家A.Girard開(kāi)始引入an表示乘冪。

整個(gè)16世紀(jì)，相當(dāng)多的數(shù)學(xué)家對(duì)符號(hào)表示做了非常多的工作，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家應(yīng)該都已經(jīng)意識(shí)到未知數(shù)必須用符號(hào)來(lái)表示。然而符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)不明，甚至雜亂不堪，其中有用文字?jǐn)⑹鲂问交蛘呶淖挚s寫(xiě)來(lái)表示未知數(shù)的。至于乘冪的寫(xiě)法更是各有千秋，比如有用正方形和正方體分別表示平方和立方的。第一個(gè)在數(shù)學(xué)中系統(tǒng)地用字母表示代數(shù)式的數(shù)學(xué)家是F.Vieta，他分別用元音字母和輔音字母表示未知量和已知量，一般的系數(shù)則用字母表示。他還將代數(shù)稱(chēng)為“類(lèi)算術(shù)”，即對(duì)“類(lèi)和形式”的運(yùn)算，稱(chēng)算術(shù)為“數(shù)算術(shù)”。這樣處理使代數(shù)形式更抽象，運(yùn)用也更廣泛，代數(shù)學(xué)也就更具普遍性了?？梢哉f(shuō)F.Vieta建立了一個(gè)表示未知量的標(biāo)準(zhǔn)。后來(lái)R.Descartes又對(duì)F.Vieta的字母符號(hào)作了改善，一直沿用至今。

16世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)家因?yàn)闆](méi)有合適的代數(shù)表達(dá)方式，從古希臘的Diophantus到F.Vieta的12個(gè)多世紀(jì)，數(shù)學(xué)發(fā)展非常緩慢，這與缺乏符號(hào)體系不無(wú)相關(guān)。而從F.Vieta開(kāi)始，代數(shù)學(xué)終于步入快車(chē)道?？茖W(xué)的符號(hào)體系逐步形成，大大推動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

隨著解析幾何的誕生，加之代數(shù)符號(hào)化的推動(dòng)，幾何圖形符號(hào)也得到了快速發(fā)展，到19世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家Carnot的幾何圖形符號(hào)已與現(xiàn)代幾何圖形符號(hào)相差不大了。

另外，在15世紀(jì)時(shí)，隨著幾何學(xué)的發(fā)展，三角學(xué)脫離天文學(xué)成為一門(mén)獨(dú)立數(shù)學(xué)分支。其中三角函數(shù)符號(hào)sine（正弦）一詞首先出現(xiàn)在德國(guó)數(shù)學(xué)家Johannes Regiomo的著作《論各種三角形》中，這也是歐洲第一部獨(dú)立于天文學(xué)的三角學(xué)著作。英國(guó)人Gheshir首先使用cosine及cotangent來(lái)分別表示余弦及余切。secant（正割）和tangent（正切）則是丹麥數(shù)學(xué)家Thomas Fink首創(chuàng)的。后來(lái)數(shù)學(xué)家們又進(jìn)一步推出更簡(jiǎn)潔的三角符號(hào)“sin”“tan”“sec”“cos”“cot”“csc”等，并逐漸通用起來(lái)。

16—17世紀(jì)，為簡(jiǎn)化天文、航海方面所遇到的繁雜數(shù)值計(jì)算，另一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)創(chuàng)造就是對(duì)數(shù)。對(duì)數(shù)是由蘇格蘭數(shù)學(xué)家Napie創(chuàng)立的，對(duì)數(shù)一詞也是他所創(chuàng)造的。1632年，意大利數(shù)學(xué)家Cavalieri是首個(gè)采用符號(hào)log的人。1902 年，奧地利人 Stolz，O.以“alog.b”表示以 a為底的b的對(duì)數(shù)，此后經(jīng)過(guò)逐漸演變成為logab。

另外，在17世紀(jì)末，行列式的概念和符號(hào)伴隨著方程組的求解也發(fā)展起來(lái)。最初的雛形由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和與德國(guó)數(shù)學(xué)家Gottfried Wilhelm Leibniz各自獨(dú)立提出。

初等數(shù)學(xué)的主要符號(hào)在17世紀(jì)初大體完成，這為近代數(shù)學(xué)的到來(lái)鋪平了道路，也為后續(xù)驚人的發(fā)展打下了基礎(chǔ)。

三、近代數(shù)學(xué)符號(hào)形成、發(fā)展階段（17—19世紀(jì)）[6，7]

符號(hào)代數(shù)直接推動(dòng)了近代數(shù)學(xué)時(shí)期的到來(lái)。解析幾何和微積分的創(chuàng)立標(biāo)志著近代數(shù)學(xué)的來(lái)臨，由此帶來(lái)分析學(xué)的蓬勃發(fā)展，這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的里程碑之一。

（一）解析幾何的發(fā)明及概念、符號(hào)引入

資本主義生產(chǎn)力在文藝復(fù)興以后快速發(fā)展，到了16世紀(jì)，物理學(xué)的中心問(wèn)題是研究運(yùn)動(dòng)與變化，但是傳統(tǒng)的方法難以解決問(wèn)題，必須創(chuàng)造一種新的數(shù)學(xué)方法處理這類(lèi)問(wèn)題，新的數(shù)學(xué)方法導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)即近代數(shù)學(xué)的誕生。解析幾何的發(fā)明是近代數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑。解析幾何的創(chuàng)立要?dú)w功于法國(guó)的兩位數(shù)學(xué)家R.Descartes與P.de Fermat。他們工作的出發(fā)點(diǎn)不同，但卻殊途同歸。Descartes在《幾何學(xué)》中建立了歷史上第一個(gè)斜坐標(biāo)系，給出了坐標(biāo)的概念與符號(hào)，并且把兩個(gè)未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面的一條曲線(xiàn)。Fermat則在他的著作《論平面軌跡》中指出：只要在最后的方程中出現(xiàn)兩個(gè)未知量，對(duì)應(yīng)就有一條曲線(xiàn)。書(shū)中，F(xiàn)ermat定義了以下曲線(xiàn)：直線(xiàn) d（a-x）＝by；圓 b2-x2＝y(tǒng)2；橢圓 b2-x2＝ky2；拋物線(xiàn) x2＝dy，y2＝dx；雙曲線(xiàn) xy＝k2，x2-b2＝ky2。此后，1655年，英國(guó)數(shù)學(xué)家John Wallis在《圓錐曲線(xiàn)》中引入負(fù)坐標(biāo)概念；1691年瑞士數(shù)學(xué)家Jakob Bernoulli引入極坐標(biāo)；Johann Bernoulli1715年引入空間坐標(biāo)系；1736年Leonhard Euler引入平面曲線(xiàn)的內(nèi)在坐標(biāo)。這些工作使解析幾何得到了進(jìn)一步完善。解析幾何的發(fā)明溝通了幾何和代數(shù)，從而使幾何符號(hào)與代數(shù)符號(hào)對(duì)應(yīng)起來(lái)，也為微積分的創(chuàng)立搭建了舞臺(tái)。

（二）微積分符號(hào)的創(chuàng)立及發(fā)展

微積分的思想萌芽，特別是積分學(xué)可以追溯到古代。在古希臘、古中國(guó)和古印度的數(shù)學(xué)著作中，不乏用無(wú)限小過(guò)程計(jì)算特殊形狀的面積、體積和曲線(xiàn)長(zhǎng)的例子。與積分學(xué)相比，微分學(xué)的起步要晚得多。導(dǎo)致微分學(xué)發(fā)展的主要問(wèn)題是求曲線(xiàn)在一點(diǎn)的切線(xiàn)、求函數(shù)的極值以及求瞬時(shí)變化率等問(wèn)題。

英國(guó)數(shù)學(xué)家Isaac Newton在1666年撰寫(xiě)了第一部系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)《流數(shù)簡(jiǎn)論》。他在文中將自古以來(lái)計(jì)算無(wú)限小問(wèn)題的各種處理技術(shù)歸并為兩類(lèi)，稱(chēng)為正流數(shù)術(shù)（微分）和反流數(shù)術(shù)（積分）的一般算法，并證明了兩者互為逆運(yùn)算，從而將正、反流數(shù)術(shù)統(tǒng)一成整體。Newton還首創(chuàng)了小○符號(hào)表示無(wú)限小且最終趨于零的增量。Newton在他的《曲線(xiàn)求積術(shù)》中引入符號(hào)表示變量x，y，z的一次流數(shù)（導(dǎo)數(shù)），二次流數(shù)、三次流數(shù)則用和，表示，等等。

Gottfried Wilhelm Leibniz在1675年引入dx和dy表示x和y的微分，導(dǎo)數(shù)記為dx：dy，用ddv表示二階微分。Leibniz還用omn.l表示l的總和，之后他將omn改寫(xiě)成。1684年Leibniz在《教師學(xué)報(bào)》上公開(kāi)發(fā)表了數(shù)學(xué)史上第一篇微分學(xué)論文《一種求切線(xiàn)和極值的新方法》，總結(jié)了自己1673年以來(lái)的研究成果。他定義微分的概念，并創(chuàng)造了微分dx，dy符號(hào)。Leibniz給出了函數(shù)的和、差、積、商、乘冪與方根等的微分公式，還得出了復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)轿⒎址▌t，后來(lái)又將乘積微分法則推廣到高階情形。Leibniz引進(jìn)的d和充分體現(xiàn)了微分和積分的“差”與“和”的實(shí)質(zhì)。這些都表明Leibniz非常重視微積分的形式符號(hào)和系統(tǒng)運(yùn)算。與此相反，Newton盡管也發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用了正反流數(shù)術(shù)（微積分）的方法，卻沒(méi)有專(zhuān)門(mén)研究它的一般概念、符號(hào)和一般公式，他最多的興趣還是利用微積分的方法解決問(wèn)題。

對(duì)于Newton和Leibniz的符號(hào)，歷史上有過(guò)一番爭(zhēng)執(zhí)。在這場(chǎng)爭(zhēng)執(zhí)中，Leibniz的微積分符號(hào)顯示出巨大的優(yōu)越性。Leibniz的微積分符號(hào)更能表達(dá)微積分的本質(zhì)，對(duì)后來(lái)的分析學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了極大的影響。而保守、頑固的英國(guó)人拒絕使用更科學(xué)的Leibniz微積分符號(hào)，導(dǎo)致英國(guó)數(shù)學(xué)在逐步遠(yuǎn)離分析的主流。分析的進(jìn)步在18世紀(jì)主要是由歐陸國(guó)家的數(shù)學(xué)家在發(fā)展Leibniz積分方法的基礎(chǔ)上而獲得的?？梢?jiàn)，微積分符號(hào)的采用充分體現(xiàn)了：一種合適的符號(hào)能促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，反之就會(huì)阻礙數(shù)學(xué)的進(jìn)步。

微積分在18世紀(jì)的多方面應(yīng)用及與其他學(xué)科緊密結(jié)合，導(dǎo)致了許多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生，這個(gè)世紀(jì)可以說(shuō)是分析的時(shí)代，也是向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過(guò)渡的重要時(shí)期。其中微積分最重大的進(jìn)步是由Leonard Euler作出的。Euler的三部著作《微分學(xué)》《無(wú)限小分析引論》和《積分學(xué)》是微積分歷史上里程碑式的著作。在這些著作中，一批標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)如、i和e分別用來(lái)表示函數(shù)符號(hào)、求和符號(hào)、虛數(shù)單位和自然對(duì)數(shù)底。這一時(shí)期微積分深入發(fā)展還體現(xiàn)在積分技術(shù)的推進(jìn)、微積分向多元函數(shù)的推廣、無(wú)窮級(jí)數(shù)理論、函數(shù)概念深化和微積分嚴(yán)格化。同時(shí)微積分的應(yīng)用帶來(lái)了常微分方程、偏微分方程和變分法等分支的產(chǎn)生。伴隨著這些發(fā)展也帶來(lái)了一系列分析新概念和符號(hào)，如f（x，y）＝0的偏導(dǎo)數(shù)的偏微分（zxx、zyy、zxy）。

分析的光輝使18世紀(jì)的幾何的發(fā)展相對(duì)暗淡，但幾何也出現(xiàn)了一些革命性的發(fā)展，這主要有利用分析方法研究空間曲線(xiàn)和曲面的微分幾何的形成。Euler是微分幾何的重要奠基人，他給出了空間曲線(xiàn)在任一點(diǎn)的曲率定義和符號(hào)，并求出了曲率半徑公式。

四、由數(shù)理邏輯發(fā)展帶來(lái)的數(shù)學(xué)符號(hào)形式化及現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展階段（19世紀(jì)至今）[8，9]

符號(hào)代數(shù)的建立、微積分的嚴(yán)格化及后續(xù)發(fā)展都要求數(shù)學(xué)符號(hào)更規(guī)范和統(tǒng)一，即數(shù)學(xué)符號(hào)形式化。數(shù)學(xué)符號(hào)形式化即是用符號(hào)、符號(hào)的方法或技術(shù)來(lái)表述數(shù)學(xué)對(duì)象的規(guī)律和結(jié)構(gòu)，進(jìn)而以符號(hào)對(duì)象的抽象研究替代數(shù)學(xué)具體對(duì)象的研究[10]。

在F.Vieta之后，符號(hào)以及用符號(hào)推演被數(shù)學(xué)家普遍重視。用數(shù)學(xué)方法研究邏輯或形式邏輯的學(xué)科數(shù)理邏輯（或稱(chēng)符號(hào)邏輯）的誕生與發(fā)展正是數(shù)學(xué)符號(hào)演繹的體現(xiàn)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高速發(fā)展正是由符號(hào)演繹推理的思想方法推動(dòng)的。

“數(shù)理邏輯”的名稱(chēng)由意大利數(shù)學(xué)家Giuseppe Peano首先給出，他也稱(chēng)其為符號(hào)邏輯。作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，數(shù)理邏輯的主要分支包括：模型論、證明論、遞歸論和公理化集合論。Leibniz在17世紀(jì)時(shí)就首先提出了數(shù)理邏輯的思想方法。Leibniz指出，演算可用符號(hào)作運(yùn)算進(jìn)行，其中的符號(hào)既不是數(shù)，也不是量，而是代表其他一些元素，如點(diǎn)、性質(zhì)、關(guān)系等。所有推理的正誤將取決于計(jì)算的正誤，演算規(guī)則成為推理規(guī)則。19世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家George Boole提出數(shù)學(xué)運(yùn)算類(lèi)似于邏輯關(guān)系，如將代數(shù)系統(tǒng)的各種解釋平移到邏輯則形成一種思維演繹。Boole的代數(shù)首先是作為一種類(lèi)演算建立起來(lái)的。類(lèi)就是我們所說(shuō)的集合，用x、y、z等表示，符號(hào)X，Y，Z等則代表個(gè)體元素。1表示全類(lèi)或稱(chēng)論域，0代表空類(lèi)。兩個(gè)類(lèi)x和y相加用x+y表示，兩個(gè)類(lèi)x和y相乘用xy表示。1-x代表那些所有不在x中的個(gè)體元素組成的類(lèi)。更一般地，Boole還考慮了兩個(gè)類(lèi)相減x-y，而x包含y則可寫(xiě)成y＝xy。我們可以將Boole代數(shù)看作是符號(hào)代數(shù)在邏輯上的應(yīng)用，Boole代數(shù)的創(chuàng)立被認(rèn)為是數(shù)理邏輯的誕生。

這一時(shí)期的英國(guó)數(shù)學(xué)家Augustus de Morgan還提出了關(guān)系邏輯概念。到了19世紀(jì)70年代，英國(guó)數(shù)學(xué)家C.S.Peirce進(jìn)一步推廣Morgan的思想，首次系統(tǒng)建立了關(guān)系邏輯。他提出了命題函數(shù)，特別地引入了全稱(chēng)量詞“”即“對(duì)所有的 x，有 F（x）成立”，及特稱(chēng)量詞“”即“至少存在一個(gè) x，使 F（x）成立”。德國(guó)人Friedrich Ludwig Gottlob Frege是第一個(gè)全面系統(tǒng)地建立量詞理論的人。他認(rèn)為嚴(yán)格的形式語(yǔ)言應(yīng)該體現(xiàn)在邏輯演算中，從而構(gòu)建起一套完整的演算體系。這是標(biāo)志數(shù)理邏輯奠基的一個(gè)起點(diǎn)。然而當(dāng)時(shí)人們并沒(méi)有太留意Frege的理論，主要原因之一是由于Frege用的符號(hào)不太簡(jiǎn)潔。Giuseppe Peano則改進(jìn)了符號(hào)的使用，提出了一些如“或、且、非”的關(guān)系連結(jié)詞，并創(chuàng)造了一類(lèi)表意符號(hào)，如用分別表示屬于、任意、推出、合取和析取等?，F(xiàn)代分析中很多命題仍在使用這些符號(hào)。

數(shù)理邏輯史上一項(xiàng)偉大的成就就是集合論的創(chuàng)立。這是一個(gè)奠定現(xiàn)代數(shù)學(xué)初步基礎(chǔ)的新領(lǐng)域。集合論帶來(lái)了符號(hào)的革命。當(dāng)今有大量的數(shù)學(xué)分支理論方法都是建立在集合論符號(hào)系統(tǒng)之上的。

通過(guò)符號(hào)的形式化方法構(gòu)筑出新概念，已成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的利器，這極大地拓展了數(shù)學(xué)研究的范圍。各種數(shù)學(xué)理論的邏輯結(jié)構(gòu)被清晰地揭示，這為進(jìn)一步探討各種數(shù)學(xué)分支的相互關(guān)聯(lián)奠定了理論基礎(chǔ)。另外，公理化方法使數(shù)學(xué)家的思想完全自由，從而有機(jī)會(huì)獲得更全面的成果。

19世紀(jì)末的德國(guó)數(shù)學(xué)家DavidHilbert將數(shù)學(xué)符號(hào)形式化發(fā)展推向了系統(tǒng)化階段，他運(yùn)用形式化的公理化思想方法給出了幾何學(xué)的公理基礎(chǔ)，從而給出了非歐幾何與歐式幾何的公理化統(tǒng)一方法。Hilbert所發(fā)展的這種公理化方法在20世紀(jì)已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了幾何學(xué)的范圍而成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)甚至物理學(xué)領(lǐng)域中普遍應(yīng)用的科學(xué)方法。

在19世紀(jì)變革與積累的基礎(chǔ)上，20世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出指數(shù)式的高速發(fā)展。現(xiàn)代數(shù)學(xué)已成為分支眾多、龐大的知識(shí)體系，并且仍在繼續(xù)急劇地變化發(fā)展中。大體上，純粹數(shù)學(xué)的擴(kuò)張、數(shù)學(xué)空前廣泛的應(yīng)用以及計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的互相影響，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)活動(dòng)的三大方面。其主要特征和趨勢(shì)是：更高的抽象性、更強(qiáng)的統(tǒng)一性、更深入的基礎(chǔ)探討和更廣泛的應(yīng)用性。與此相伴，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新符號(hào)和新思想方法也層出不窮，當(dāng)今世界已難有人能夠通曉所有數(shù)學(xué)符號(hào)。然而，一旦有新元素或新概念創(chuàng)立，對(duì)應(yīng)的新的數(shù)學(xué)符號(hào)立即被數(shù)學(xué)家創(chuàng)造出來(lái)，并且在演繹中持續(xù)改良符號(hào)，因?yàn)樗麄兩钚牛粋€(gè)適當(dāng)?shù)姆?hào)，簡(jiǎn)潔而不簡(jiǎn)單，能極大地加速和簡(jiǎn)化思維的推導(dǎo)過(guò)程。憑借符號(hào)，數(shù)學(xué)家能抽象和復(fù)雜地思考。可以說(shuō)，沒(méi)有抽象、精確、規(guī)范和富有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)符號(hào)，就不可能有豐富多彩的當(dāng)代數(shù)學(xué)[11]。