點(diǎn)的兩類定義下的運(yùn)動(dòng)與變形分析

李宏德

（鄭州工程技術(shù)學(xué)院機(jī)電與車輛工程學(xué)院，鄭州 450044）

“點(diǎn)”是一個(gè)抽象模型，在剛體力學(xué)和變形體力學(xué)中的含義有明顯不同. 同時(shí)，力學(xué)中許多概念如關(guān)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、應(yīng)力、應(yīng)變的定義均是基于點(diǎn)來表述的. 文獻(xiàn)［1-3］中文章分析了點(diǎn)的兩類定義，對(duì)兩類定義作了對(duì)比研究，進(jìn)而辨析了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、應(yīng)力、應(yīng)變等問題.

1 點(diǎn)的概念

關(guān)于點(diǎn)，圍繞形狀和大小，有兩種類型的定義，一類是大小為0 的幾何點(diǎn)（幾何存在），另一類是大小為非0 無窮小的微元. 要弄清點(diǎn)的這些不同特性，需要辨清“0”和“無窮小”兩個(gè)相關(guān)概念，并分析其與點(diǎn)的關(guān)系.

1.1 0與點(diǎn)的第一類定義

1.1.1 0的認(rèn)知 要認(rèn)知“點(diǎn)的大小為0”，需分析0的性質(zhì).

前十個(gè)自然數(shù)中，0出現(xiàn)最晚. 0始于古印度，印度大乘佛教中有“一切皆空”、“絕對(duì)無”、“空無”這樣的宗義，被認(rèn)為具有發(fā)明0的思想基礎(chǔ). 早期的0不具有數(shù)值意義，僅用作占位符號(hào)，用于標(biāo)識(shí)位置. 印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅第一個(gè)用圓圈表示零. 婆羅摩笈多第一個(gè)把零作為數(shù)字進(jìn)行描述，給零以量的含義，并描述了零的算術(shù)性質(zhì)［4-6］.

在量的意義上，0是最小的自然數(shù)，有確切的數(shù)值含義，是正負(fù)數(shù)的界標(biāo)，在數(shù)軸上或坐標(biāo)系上具有確切的位置. 漢語中與0在量的語義上相近的“零”，就有表示沒有數(shù)量的意思，印度-阿拉伯?dāng)?shù)字中，0也表示“沒有”，并作為獨(dú)立的數(shù)字參與運(yùn)算. 而在幾何上，0不具有與之對(duì)應(yīng)的幾何圖形，這應(yīng)理解為0是沒有形狀概念的［7］.

可見，起初0僅用作占位符號(hào)，具有標(biāo)識(shí)位置的意思. 之后，作為數(shù)字的0，其數(shù)值意義是“無”.

1.1.2 點(diǎn)的第一類定義 在此，把大小為0的點(diǎn)作為點(diǎn)的第一類定義. 在幾何上是無形狀的幾何存在.

點(diǎn)的基本解釋為數(shù)學(xué)上指沒有長(zhǎng)寬高而只有位置的不可分割的幾何圖形. 文獻(xiàn)［8］可以理解為點(diǎn)具有這樣的性質(zhì)，一是無大小，二是無形狀，三是存在且具有位置. 較早的關(guān)于點(diǎn)的學(xué)術(shù)性定義是源于歐幾里得的《幾何原本》：“點(diǎn)是沒有部分的東西”. 沒有部分，即不可分成兩部分，或不可再分為更小的東西［9］. 引申認(rèn)為點(diǎn)是沒有大小的，或說點(diǎn)的大小為0. 數(shù)學(xué)家丹尼·亨利翁注釋點(diǎn)是“沒有長(zhǎng)度、沒有寬度、沒有高度的幾何形狀”. 文獻(xiàn)［9］中德國(guó)數(shù)學(xué)家戴維·希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》中沒有給出點(diǎn)的定義，把點(diǎn)、直線和平面作為不加定義的基本概念. 但點(diǎn)的屬性仍是無大小、不可分的. 文獻(xiàn)［10］二維歐氏空間中，點(diǎn)可表示為一組有序數(shù)對(duì)；笛卡爾坐標(biāo)系中，點(diǎn)可以精確定義位置；微積分定義空間的點(diǎn)是一個(gè)0維的對(duì)象. 物理學(xué)和剛體力學(xué)對(duì)質(zhì)點(diǎn)（點(diǎn)）的定義大致相同，認(rèn)為點(diǎn)是沒有大小和形狀，但具有物體的全部質(zhì)量. 忽略物體的大小和形狀，而將其抽象為一個(gè)有質(zhì)量而無大小和形狀的幾何點(diǎn). 可以進(jìn)一步認(rèn)知微元ΔV上的內(nèi)力對(duì)ΔV內(nèi)任一點(diǎn)的力矩都等于0［11-13］.

可見，點(diǎn)是沒有形狀的幾何存在；點(diǎn)的大小等于0. 應(yīng)明確，此點(diǎn)其大小是0而不是無窮小. 就點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析而言，點(diǎn)是濃縮的點(diǎn)或整體被視為點(diǎn)，即把有限濃縮于0，是沒有部分的.

1.2 無窮小與點(diǎn)的第二類定義

1.2.1 無窮小 極限是指不可逾越的數(shù)值，它是一個(gè)無限的變化過程，是變量的歸宿. 無窮小是一個(gè)以0為極限的函數(shù)，也是一個(gè)變化過程，它的歸宿是0. 文獻(xiàn)［14］中從0 到無窮小的躍遷體現(xiàn)了從無到有的質(zhì)變. 微積分中定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的極限為零，那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無窮小［15-16］.

可見，無窮小是以0為極限的；它不是0；它比任意給定的數(shù)都要小，需要多小就有多小. 應(yīng)明確，無窮小不是很小很小的數(shù)；極限和無窮小都不能作為靜止的量來對(duì)待.

1.2.2 點(diǎn)的第二類定義 在此，把大小為非0無窮小的點(diǎn)作為點(diǎn)的第二類定義. 在幾何上是一個(gè)微元.

微積分中，從鄰域的概念來認(rèn)知點(diǎn). 鄰域是這樣一種集合，設(shè)a、δ 是實(shí)數(shù)且δ＞0，定義點(diǎn)a的δ 鄰域，記作U(a,δ)，為下列集合：U(a,δ)={x || x-a |＜δ }. 文獻(xiàn)［14］進(jìn)一步設(shè)想，如δ是任意給定的極小正數(shù)，其小的程度沒有限制，那么，這個(gè)鄰域的極限就用來表述點(diǎn). 還可以從空間向量上認(rèn)知點(diǎn)，它是一個(gè)0維的向量空間.變形體力學(xué)認(rèn)為，圍繞一個(gè)點(diǎn)取微元（一維、二維或三維），當(dāng)描述該微元的尺度從對(duì)應(yīng)方向上都趨于無窮小時(shí)，微元即視為點(diǎn). 文獻(xiàn)［17］可以進(jìn)一步引申，微元ΔV上的內(nèi)力對(duì)ΔV內(nèi)任一點(diǎn)的力矩一般都不等于0，只是力矩很小.

可見，這里的點(diǎn)是沒有確切形狀的微元，或者說可以取任意形狀；點(diǎn)的大小不是0. 就應(yīng)力應(yīng)變分析而言，點(diǎn)是取出的實(shí)際點(diǎn)或?qū)嶋H單元，是沒有被縮脹的點(diǎn)，點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變分析是在從整體上取出的一個(gè)點(diǎn)上進(jìn)行的，是整體中的部分.

2 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)——基于0的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是基于點(diǎn)的第一類定義的. 在此，點(diǎn)是大小為0的幾何存在. 研究這類點(diǎn)的幾何位置隨時(shí)間變化的規(guī)律，描述運(yùn)動(dòng)的參數(shù)只有線運(yùn)動(dòng)量沒有角運(yùn)動(dòng)量. 反映在運(yùn)動(dòng)軌跡上是直線的或曲線的；反映在速度上是線速度，而無角速度；反映在加速度上是切向加速度和法向加速度，而無角加速度.

對(duì)于點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)是點(diǎn)分別相對(duì)于定系和動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)，兩者都是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)遵從點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，分析運(yùn)動(dòng)的參數(shù)只能用表征點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的參數(shù)來表述. 牽連運(yùn)動(dòng)是動(dòng)系相對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)，是剛體運(yùn)動(dòng)而非點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，分析運(yùn)動(dòng)的參數(shù)只能用表征剛體運(yùn)動(dòng)的參數(shù)來表述，其可能的運(yùn)動(dòng)形式是平移、轉(zhuǎn)動(dòng)或其他較復(fù)雜的剛體運(yùn)動(dòng). 進(jìn)一步推及到剛體的平面運(yùn)動(dòng)，在引入基點(diǎn)的定義之后，剛體平面運(yùn)動(dòng)則分解為隨基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體平移按點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來分析，繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)則按剛體瞬時(shí)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)來分析.

3 點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變——基于無窮小的點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變

應(yīng)力應(yīng)變分析是基于點(diǎn)的第二類定義的. 在此，點(diǎn)是大小為非0無窮小的微元.

3.1 點(diǎn)的應(yīng)力

圖1 微面積及其內(nèi)力Fig.1 Micro-area and its internal forces

圖2 點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力Fig.2 The normal stress and shearing stress at a point

3.2 點(diǎn)的切應(yīng)變

物體受力變形，體內(nèi)各點(diǎn)處的變形并不相同，其變形程度由線應(yīng)變?chǔ)?和切應(yīng)變?chǔ)?來度量.

切應(yīng)變?chǔ)?指兩條正交線段的夾角的改變量，定義γ為點(diǎn)在x-y平面內(nèi)的切應(yīng)變. 先分析平面的存在，根據(jù)幾何學(xué)，兩條相交線段組成平面，切應(yīng)變即反映這兩條正交線段夾角的改變情況，它發(fā)生在由這兩條正交直線組成的平面內(nèi). 該平面其大小為非0的無窮小，在幾何上就是一個(gè)微面積，應(yīng)從該面上來分析直角的改變量. 同理，從點(diǎn)的視角分析切應(yīng)變，當(dāng)兩條正交線段的長(zhǎng)度趨近于0時(shí)，該平面的大小以0為極限，平面趨近于點(diǎn). 所以，切應(yīng)變是以點(diǎn)度量的.

切應(yīng)變是由切應(yīng)力引起的，切應(yīng)力互等定理決定切應(yīng)力的作用方式. 相鄰的正交面上的切應(yīng)力不能單獨(dú)存在，是成對(duì)生成并作用的，實(shí)際上是兩對(duì)滿足互等定理的切應(yīng)力在共同產(chǎn)生作用，在這兩對(duì)切應(yīng)力作用的相關(guān)平面上，產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的切應(yīng)變. 所以，切應(yīng)變不是某一個(gè)切應(yīng)力單獨(dú)作用的結(jié)果，而是互等定理構(gòu)架內(nèi)的所有切應(yīng)力共同作用的結(jié)果，如圖3所示.

圖3 點(diǎn)的切應(yīng)力與切應(yīng)變Fig.3 The shearing stress and shearing strain of point

4 結(jié)論

文章辨析了基于0和基于無窮小的關(guān)于點(diǎn)的兩類定義的具體差異，并基于點(diǎn)的不同定義，深入分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)的應(yīng)變等問題，為準(zhǔn)確認(rèn)知相關(guān)概念提供借鑒.