點的兩類定義下的運動與變形分析

李宏德

（鄭州工程技術(shù)學(xué)院機電與車輛工程學(xué)院，鄭州 450044）

“點”是一個抽象模型，在剛體力學(xué)和變形體力學(xué)中的含義有明顯不同. 同時，力學(xué)中許多概念如關(guān)于點的運動、應(yīng)力、應(yīng)變的定義均是基于點來表述的. 文獻［1-3］中文章分析了點的兩類定義，對兩類定義作了對比研究，進而辨析了點的運動、應(yīng)力、應(yīng)變等問題.

1 點的概念

關(guān)于點，圍繞形狀和大小，有兩種類型的定義，一類是大小為0 的幾何點（幾何存在），另一類是大小為非0 無窮小的微元. 要弄清點的這些不同特性，需要辨清“0”和“無窮小”兩個相關(guān)概念，并分析其與點的關(guān)系.

1.1 0與點的第一類定義

1.1.1 0的認知 要認知“點的大小為0”，需分析0的性質(zhì).

前十個自然數(shù)中，0出現(xiàn)最晚. 0始于古印度，印度大乘佛教中有“一切皆空”、“絕對無”、“空無”這樣的宗義，被認為具有發(fā)明0的思想基礎(chǔ). 早期的0不具有數(shù)值意義，僅用作占位符號，用于標識位置. 印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅第一個用圓圈表示零. 婆羅摩笈多第一個把零作為數(shù)字進行描述，給零以量的含義，并描述了零的算術(shù)性質(zhì)［4-6］.

在量的意義上，0是最小的自然數(shù)，有確切的數(shù)值含義，是正負數(shù)的界標，在數(shù)軸上或坐標系上具有確切的位置. 漢語中與0在量的語義上相近的“零”，就有表示沒有數(shù)量的意思，印度-阿拉伯數(shù)字中，0也表示“沒有”，并作為獨立的數(shù)字參與運算. 而在幾何上，0不具有與之對應(yīng)的幾何圖形，這應(yīng)理解為0是沒有形狀概念的［7］.

可見，起初0僅用作占位符號，具有標識位置的意思. 之后，作為數(shù)字的0，其數(shù)值意義是“無”.

1.1.2 點的第一類定義 在此，把大小為0的點作為點的第一類定義. 在幾何上是無形狀的幾何存在.

點的基本解釋為數(shù)學(xué)上指沒有長寬高而只有位置的不可分割的幾何圖形. 文獻［8］可以理解為點具有這樣的性質(zhì)，一是無大小，二是無形狀，三是存在且具有位置. 較早的關(guān)于點的學(xué)術(shù)性定義是源于歐幾里得的《幾何原本》：“點是沒有部分的東西”. 沒有部分，即不可分成兩部分，或不可再分為更小的東西［9］. 引申認為點是沒有大小的，或說點的大小為0. 數(shù)學(xué)家丹尼·亨利翁注釋點是“沒有長度、沒有寬度、沒有高度的幾何形狀”. 文獻［9］中德國數(shù)學(xué)家戴維·希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》中沒有給出點的定義，把點、直線和平面作為不加定義的基本概念. 但點的屬性仍是無大小、不可分的. 文獻［10］二維歐氏空間中，點可表示為一組有序數(shù)對；笛卡爾坐標系中，點可以精確定義位置；微積分定義空間的點是一個0維的對象. 物理學(xué)和剛體力學(xué)對質(zhì)點（點）的定義大致相同，認為點是沒有大小和形狀，但具有物體的全部質(zhì)量. 忽略物體的大小和形狀，而將其抽象為一個有質(zhì)量而無大小和形狀的幾何點. 可以進一步認知微元ΔV上的內(nèi)力對ΔV內(nèi)任一點的力矩都等于0［11-13］.

可見，點是沒有形狀的幾何存在；點的大小等于0. 應(yīng)明確，此點其大小是0而不是無窮小. 就點的運動分析而言，點是濃縮的點或整體被視為點，即把有限濃縮于0，是沒有部分的.

1.2 無窮小與點的第二類定義

1.2.1 無窮小 極限是指不可逾越的數(shù)值，它是一個無限的變化過程，是變量的歸宿. 無窮小是一個以0為極限的函數(shù)，也是一個變化過程，它的歸宿是0. 文獻［14］中從0 到無窮小的躍遷體現(xiàn)了從無到有的質(zhì)變. 微積分中定義，如果函數(shù)f(x)當x→x0（或x→∞）時的極限為零，那么稱函數(shù)f(x)為當x→x0（或x→∞）時為無窮?。?5-16］.

可見，無窮小是以0為極限的；它不是0；它比任意給定的數(shù)都要小，需要多小就有多小. 應(yīng)明確，無窮小不是很小很小的數(shù)；極限和無窮小都不能作為靜止的量來對待.

1.2.2 點的第二類定義 在此，把大小為非0無窮小的點作為點的第二類定義. 在幾何上是一個微元.

微積分中，從鄰域的概念來認知點. 鄰域是這樣一種集合，設(shè)a、δ 是實數(shù)且δ＞0，定義點a的δ 鄰域，記作U(a,δ)，為下列集合：U(a,δ)={x || x-a |＜δ }. 文獻［14］進一步設(shè)想，如δ是任意給定的極小正數(shù)，其小的程度沒有限制，那么，這個鄰域的極限就用來表述點. 還可以從空間向量上認知點，它是一個0維的向量空間.變形體力學(xué)認為，圍繞一個點取微元（一維、二維或三維），當描述該微元的尺度從對應(yīng)方向上都趨于無窮小時，微元即視為點. 文獻［17］可以進一步引申，微元ΔV上的內(nèi)力對ΔV內(nèi)任一點的力矩一般都不等于0，只是力矩很小.

可見，這里的點是沒有確切形狀的微元，或者說可以取任意形狀；點的大小不是0. 就應(yīng)力應(yīng)變分析而言，點是取出的實際點或?qū)嶋H單元，是沒有被縮脹的點，點的應(yīng)力應(yīng)變分析是在從整體上取出的一個點上進行的，是整體中的部分.

2 點的運動——基于0的點的運動

點的運動是基于點的第一類定義的. 在此，點是大小為0的幾何存在. 研究這類點的幾何位置隨時間變化的規(guī)律，描述運動的參數(shù)只有線運動量沒有角運動量. 反映在運動軌跡上是直線的或曲線的；反映在速度上是線速度，而無角速度；反映在加速度上是切向加速度和法向加速度，而無角加速度.

對于點的合成運動，絕對運動和相對運動是點分別相對于定系和動系的運動，兩者都是點的運動，應(yīng)遵從點的運動特征和運動規(guī)律，分析運動的參數(shù)只能用表征點的運動的參數(shù)來表述. 牽連運動是動系相對于定系的運動，是剛體運動而非點的運動，分析運動的參數(shù)只能用表征剛體運動的參數(shù)來表述，其可能的運動形式是平移、轉(zhuǎn)動或其他較復(fù)雜的剛體運動. 進一步推及到剛體的平面運動，在引入基點的定義之后，剛體平面運動則分解為隨基點的平移和繞基點的轉(zhuǎn)動，剛體平移按點的運動來分析，繞基點的轉(zhuǎn)動則按剛體瞬時的定軸轉(zhuǎn)動來分析.

3 點的應(yīng)力應(yīng)變——基于無窮小的點的應(yīng)力應(yīng)變

應(yīng)力應(yīng)變分析是基于點的第二類定義的. 在此，點是大小為非0無窮小的微元.

3.1 點的應(yīng)力

圖1 微面積及其內(nèi)力Fig.1 Micro-area and its internal forces

圖2 點的正應(yīng)力和切應(yīng)力Fig.2 The normal stress and shearing stress at a point

3.2 點的切應(yīng)變

物體受力變形，體內(nèi)各點處的變形并不相同，其變形程度由線應(yīng)變ε 和切應(yīng)變γ 來度量.

切應(yīng)變γ 指兩條正交線段的夾角的改變量，定義γ為點在x-y平面內(nèi)的切應(yīng)變. 先分析平面的存在，根據(jù)幾何學(xué)，兩條相交線段組成平面，切應(yīng)變即反映這兩條正交線段夾角的改變情況，它發(fā)生在由這兩條正交直線組成的平面內(nèi). 該平面其大小為非0的無窮小，在幾何上就是一個微面積，應(yīng)從該面上來分析直角的改變量. 同理，從點的視角分析切應(yīng)變，當兩條正交線段的長度趨近于0時，該平面的大小以0為極限，平面趨近于點. 所以，切應(yīng)變是以點度量的.

切應(yīng)變是由切應(yīng)力引起的，切應(yīng)力互等定理決定切應(yīng)力的作用方式. 相鄰的正交面上的切應(yīng)力不能單獨存在，是成對生成并作用的，實際上是兩對滿足互等定理的切應(yīng)力在共同產(chǎn)生作用，在這兩對切應(yīng)力作用的相關(guān)平面上，產(chǎn)生對應(yīng)的切應(yīng)變. 所以，切應(yīng)變不是某一個切應(yīng)力單獨作用的結(jié)果，而是互等定理構(gòu)架內(nèi)的所有切應(yīng)力共同作用的結(jié)果，如圖3所示.

圖3 點的切應(yīng)力與切應(yīng)變Fig.3 The shearing stress and shearing strain of point

4 結(jié)論

文章辨析了基于0和基于無窮小的關(guān)于點的兩類定義的具體差異，并基于點的不同定義，深入分析點的運動、點的應(yīng)變等問題，為準確認知相關(guān)概念提供借鑒.