GeoGebra在初中數(shù)學教學中的應用

雷勇

摘要：網(wǎng)絡的普及改變了人們的生活、工作和學習方式，“互聯(lián)網(wǎng)+教育”以及人工智能技術對教育教學產(chǎn)生了更大影響，刷新了教師的教學理念和教學方式，改變了學生的學習觀念和思維方式。就初中數(shù)學學科來講，其邏輯性、抽象性、嚴謹性等特點決定了其教學方式與其他學科的差異。結(jié)合學科特點選擇合適的教學軟件，可以大大提高教學效率，有效培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，發(fā)展學生的數(shù)學思維。

關鍵詞：初中數(shù)學? 教學軟件? 學科素養(yǎng)

數(shù)學學科的邏輯性、抽象性、嚴謹性等特點決定了其教學方式與其他學科的差異。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在教學中使用PPT的教師人數(shù)占99%，這表明初中教師使用計算機教學并沒有從學科特點考慮，也是諸如CAI、幾何畫板、超級幾何畫板、GeoGebra、Mathmatica等軟件在常規(guī)課里使用“低頻”的原因之一。本文基于自己的實際教學經(jīng)驗，談談動態(tài)幾何教學軟件GeoGebra在初中數(shù)學教學中的運用。

一、GeoGebra簡介

GeoGebra是一款結(jié)合了“幾何”“代數(shù)”與“微積分”的動態(tài)數(shù)學軟件，由美國佛羅里達州亞特蘭大學數(shù)學教授Markus Hohenwarter所設計。一方面，GeoGebra是一個動態(tài)的幾何軟件，可以在上面畫點、向量、線段、直線、多邊形、圓錐曲線甚至是函數(shù)，事后還可以改變它們的屬性。另一方面，也可以直接輸入方程和點坐標。所以，GeoGebra也有處理變數(shù)的功能，這些變數(shù)可以是數(shù)字、角度、向量或點坐標;也可以對函數(shù)作微分與積分，找出方程的根或計算函數(shù)的極大極小值。GeoGebra是一款為小學到大學的數(shù)學教學而設計的開源（open source）動態(tài)數(shù)學軟件，類似幾何畫板，完全免費，是跨平臺的數(shù)學建模軟件，目前支持67國語言，支持Windows、Mac、Android和IOC（iPad）等多種系統(tǒng)，在美國和歐洲獲得多項教育類軟件獎項，運用此軟件可以建立數(shù)學模型，進行數(shù)學實驗，從而為“試驗-猜想-證明-應用”的科學探索提供有效的建模工具。它的功能非常強大，其在統(tǒng)計方面的應用和異常強大的中文命令是幾何畫板所不具備的，無損網(wǎng)頁輸出和高清圖片輸出也超越了幾何畫板。

二、GeoGebra基本操作界面

GeoGebra的操作使用很多地方與幾何畫板有相似之處，該軟件工作界面可以分為菜單欄、工具欄、功能區(qū)、指令輸入框等，如圖：

（1）菜單欄與其他軟件界面樣式相同，增強了軟件的熟悉感。

（2）GeoGebra的工具欄與幾何畫板的有很多相似之處，但更為直觀，一些常規(guī)的幾何圖形操作，可以一目了然地從工具欄選擇相應的工具進行。

（3）GeoGebra的功能區(qū)最能體現(xiàn)該軟件強大的教與學性能，展示了數(shù)學對象的代數(shù)屬性和圖像屬性（2D，3D），還可以與表格等關聯(lián)使用。

（4）GeoGebra與幾何畫板的最大區(qū)別于之處在于其指令的操作使用突出了數(shù)學學科的語言特點，更體現(xiàn)了數(shù)學學科與計算機語言的關聯(lián)性，通過指令操作數(shù)學對象可以讓數(shù)學思維“看得見”。

三、GeoGebra在初中數(shù)學教學中的應用

（1）利用GeoGebra設計隨機點名系統(tǒng)，在需要向?qū)W生提問時，通過該系統(tǒng)能有效克服教師對學生的一些錯誤認識，同時也使學生對教師的提問不帶“感情”色彩而樂于準備和回答。這個點名系統(tǒng)利用GeoGebra做很簡單（用Word文檔做也可以），只要把班級學生名單直接復制導入新建列表，再做一個按鈕——腳本為“更新作圖”，如果加上統(tǒng)計功能設計就更好了。

（2）七年級數(shù)學上冊中的“幾何圖形的認識”，使用GeoGebra演示，可以利用軟件的動態(tài)支持、互動性的特點讓學生更直觀地感知幾何圖形的點、線、面、體及其彼此間的關系，有利于學生構建幾何圖形的知識經(jīng)驗，還可以通過改變點的點徑樣式讓學生抽象出點的相關概念。

通過觀察“點動成線”的動態(tài)演示，學生知道線是由無數(shù)個點組成的。在演示中還可以預先設計曲線中的點。維特羅克提出的學習生成模型指出：學習過程不是從感覺經(jīng)驗本身開始，而是從感覺經(jīng)驗的選擇性注意開始的。教學設計中，應關注學生的“選擇性注意”的認知心理，避免產(chǎn)生雜亂現(xiàn)象干擾重要信息。例如，控制平面圖形的旋轉(zhuǎn)，得到相應的“體”。演示過程中要充分運用視覺的敏感性，研究刺激的特征，如：性質(zhì)、數(shù)量、空間分布、與主體的關系等，這些是影響選擇性注意的主要因素。就刺激的物理特征而言，有差異的刺激，如形狀、大小、強度、顏色、位置等，能夠喚醒學生的選擇性注意。這一點充分體現(xiàn)出GeoGebra在數(shù)學教與學中優(yōu)于PPT的特點。

（3）利用GeoGebra來幫助學生理解統(tǒng)計里“隨機事件”的“隨機”“頻率”“概率”含義。

拋擲一枚硬幣的模擬實驗設計：

說明：通過搖號來統(tǒng)計正面和反面出現(xiàn)的頻率來估計概率，讓學生知道頻率與概率的聯(lián)系和區(qū)別。如要做到硬幣的逼真，只要將硬幣的正面和反面的圖片輸入即可。

人機互動的過程實際是一個反饋過程，學習者可以根據(jù)自己的意圖來操作實驗，運用計算機“隨機函數(shù)”模擬真實隨機性，可以更有效地完成實驗，操作簡便，易于觀察，從而有利于得出結(jié)論。

（4）動點問題、折痕問題等試題的探究。

例如，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，把點A通過折疊到邊BC上，折痕為EF，則EF最大值為???? 。

解決這題需要學生通過猜想、歸納、試算、比較等方法，而通過GeoGebra則能更直觀地驗證學生的猜想。為此我利用GeoGebra進行了相關動態(tài)演示，如圖13：

通過上面的演示，學生可以觀察到點A在運動過程中相關數(shù)據(jù)的變化：由大到小，接著又由小變大。學生從而歸納出長度變化規(guī)律，進而進行猜想，更有利于解決計算問題，培養(yǎng)了用辯證、聯(lián)系的觀點看問題的意識，提高思辨力。

計算方法如下：

由題意可知，當E點與D點重合時，EF的值最大，

設AF=A′F=x，BF=6-x

根據(jù)勾股定理可得：CA′=8，則BA′=2

所以（6-x）2+22=x2

解得x=103，所以EF=10 103。

（5）利用GeoGebra來研究動態(tài)問題的函數(shù)圖像刻畫

例如上題，可以把AE的值作為一個點的橫坐標，以EF的值作為該點的縱坐標，利用追蹤就可以知道EF變化情況，如下圖（注：紅色為EF隨AF變化的函數(shù)圖，這明顯不是二次函數(shù)圖像）：

我們甚至還可以由函數(shù)變化圖知道此問題中EF還有一個最小值，在時間充足的情況下可以讓學生研究怎樣求出最小值。

（6）按照范希爾的思維水平制定教學模式：信息——定向引導——顯性化——自由探索——整合，通過小組合作交流，然后小組代表操作。在操作之前學生應掌握基本的軟件操作知識，避免受“非思維水平因素”影響操作。學生操作可能出現(xiàn)不同結(jié)果，讓學生自己利用GeoGebra作圖，在做中學到幾何知識。

例如：作一個圓與一條已知直線相切。（如圖13）

作兩個圓與這條直線相切，并且這兩個圓也相切。（如圖14）

（7）利用GeoGebra設計出隨機出題情景，增強課堂效率。

例如：有理數(shù)加法運算隨機出題。（ 如圖15）

四、反思及展望

（1）上課之前要做好準備，注意人機互動，預設好必要的操作流程。

（2）要綜合考慮課型、環(huán)境、學生的情況，提高使用效果。

（3）要與PPT或flash等軟件結(jié)合使用，增強實效。

（4）要與同事合作交流、資源共享，共同提高教學水平。

（5）要認識到任何工具、技術的作用都只是輔助教學。

無論從新的教育教學理念還是新的教育教學技術手段來說，農(nóng)村學校都相對落后，這也就是說農(nóng)村學校將在利用相關工具上有更大的作為。智慧教學，任重道遠。

參考文獻：

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責任編輯：黃大燦