時(shí)滯反饋對(duì)三穩(wěn)態(tài)van der Pol系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響

段緒星， 吳志強(qiáng)， 李亞杰

(1.天津大學(xué) 力學(xué)系，天津 300350；2.天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350)

噪聲激勵(lì)下非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為及其控制近些年來引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。噪聲激勵(lì)可以引發(fā)一系列動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，如相干共振[1-2]、隨機(jī)P分岔[3]、首次穿越[4-5]等。針對(duì)這些現(xiàn)象，人們引入了多種手段對(duì)其進(jìn)行調(diào)控，如時(shí)滯差分反饋控制[6]、分?jǐn)?shù)階控制[7]等。因沒有通用設(shè)計(jì)方法，人們常通過探討控制參數(shù)的影響來為控制參數(shù)的選擇提供參考。

廣義van der Pol方程能呈現(xiàn)平衡點(diǎn)與極限環(huán)共存的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，常作為多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的范例來探究隨機(jī)激勵(lì)的影響。Yamapi等[8]研究了高斯白噪聲激勵(lì)下的雙穩(wěn)態(tài)van der Pol系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)噪聲強(qiáng)度可被看做系統(tǒng)的分岔參數(shù)。Mbakob等[9]研究了相關(guān)噪聲誘導(dǎo)的隨機(jī)P分岔現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)相關(guān)時(shí)間和噪聲強(qiáng)度均能引起系統(tǒng)幅值概率密度曲線的定性變化。Zakharova等[10]的研究結(jié)果指出當(dāng)雙穩(wěn)態(tài)van der Pol系統(tǒng)的穩(wěn)定系數(shù)位于鞍結(jié)分岔點(diǎn)附近時(shí)，相干共振和隨機(jī)P分相關(guān)。郝穎等[11]基于奇異性理論求出了噪聲激勵(lì)下三穩(wěn)態(tài)van der Pol-Duffing系統(tǒng)幅值概率密度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生改變的臨界參數(shù)條件。Zhang等[12]研究了循環(huán)噪聲激勵(lì)下的三穩(wěn)態(tài)van der Pol系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)循環(huán)噪聲的時(shí)滯和比例系數(shù)均會(huì)誘導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)P分岔。

近年來，諸多學(xué)者開始將時(shí)滯反饋控制應(yīng)用到van der Pol系統(tǒng)中。Guo等[13]研究了位移和速度時(shí)滯反饋共同作用下的雙穩(wěn)態(tài)van der Pol系統(tǒng)，分析了時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域的影響以及反饋強(qiáng)度和時(shí)滯引起的隨機(jī)P分岔現(xiàn)象。Semenov 等[14]的研究結(jié)果表明時(shí)滯差分反饋可以控制van der Pol系統(tǒng)在Hopf分岔點(diǎn)附近的相干共振。Yang等[15]研究了多種噪聲激勵(lì)與時(shí)滯反饋共同作用下的雙穩(wěn)態(tài)van der Pol系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)其平均首次穿越時(shí)間與噪聲強(qiáng)度以及系統(tǒng)振蕩的主頻有關(guān)。

當(dāng)前關(guān)于三穩(wěn)態(tài)van der Pol系統(tǒng)的理論研究，均是以分析不同類型噪聲誘導(dǎo)的隨機(jī)P分岔現(xiàn)象為主，對(duì)于引入時(shí)滯反饋控制的三穩(wěn)態(tài)van der Pol系統(tǒng)的研究還未有涉及。本文主要研究時(shí)滯位移差分反饋對(duì)加性噪聲激勵(lì)下三穩(wěn)態(tài)van der Pol系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響。第1章應(yīng)用隨機(jī)平均法求解系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)；第2章分析確定性及隨機(jī)情況下無時(shí)滯反饋調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，第3章從理論和數(shù)值兩方面討論存在時(shí)滯反饋時(shí)，反饋強(qiáng)度和時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響，并給出了用于時(shí)滯反饋控制器參數(shù)設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)遷集；第4章給出本文的結(jié)論。

1 理論模型及其幅值概率密度近似解

考慮加性高斯白噪聲激勵(lì)與時(shí)滯位移差分反饋共同作用下的廣義van der Pol振子

K(x(t-τ)-x(t))+ξ(t)

(1)

為方便討論時(shí)滯反饋的影響，下文如不特別說明，系統(tǒng)參數(shù)均取定值，其中ε=-0.172，α1=2.45，α2= 4.6，α3=2.5，α4=0.4，K為時(shí)滯反饋強(qiáng)度，τ為時(shí)滯(τ>0)，ξ(t)是強(qiáng)度為D的高斯白噪聲，且其均值和相關(guān)函數(shù)滿足：〈ξ(t)〉=0，〈ξ(t)ξ(t+t1)〉=2Dδ(t1)。

系統(tǒng)(1)的解可設(shè)為如下形式：

(2)

其中A(t)、ψ(t)為關(guān)于時(shí)間t的隨機(jī)過程。根據(jù)文獻(xiàn)[16-17]可知，當(dāng)時(shí)滯τ很小時(shí)，有

(3)

則系統(tǒng)(1)可表示為如下等效系統(tǒng)

(4)

其中

(5)

為求解系統(tǒng)(4)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)，引入如下變換

(6)

式中:a(t)為系統(tǒng)響應(yīng)的幅值;ω為系統(tǒng)(4)的固有頻率;θ(t)為初始相位。將式(6)代入式(4)中，得到標(biāo)準(zhǔn)方程如下

(7)

其中

f(acosφ,-asinφ)=(c+α1a2cos2φ-α2a4cos4φ+

α3a6cos6φ-α4a8cos8φ)aωsinφ

(8)

式(7)中高斯白噪聲為平穩(wěn)過程，(a,θ)近似為二維擴(kuò)散過程，應(yīng)用隨機(jī)平均法，可得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值a(t)和相位θ(t)的伊藤隨機(jī)微分方程

(9)

其中

(10)

W1(t)和W2(t)是兩個(gè)相互獨(dú)立的單位維納過程。幅值a不依賴于θ的變化，且a(t)是一個(gè)一維擴(kuò)散過程,因此可得到其對(duì)應(yīng)的FPK方程如下

(11)

(12)

(13)

2 無時(shí)滯反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

首先考慮無時(shí)滯反饋，即K=0的情況，此時(shí)系統(tǒng)(1)變?yōu)槿缦滦问?/p>

(14)

當(dāng)噪聲激勵(lì)強(qiáng)度D=0時(shí)，系統(tǒng)(14)退化為確定性系統(tǒng)，為了更好地說明該確定性系統(tǒng)的三穩(wěn)態(tài)特性，圖1給出了不同初始條件下確定性系統(tǒng)響應(yīng)的相圖?？梢姰?dāng)初始條件不同時(shí)，系統(tǒng)存在三種吸引子，分別為大極限環(huán)、小極限環(huán)和零平衡點(diǎn)。

圖1 不同初始條件下確定性系統(tǒng)響應(yīng)的相圖

由于確定性系統(tǒng)的三穩(wěn)態(tài)特性，當(dāng)存在噪聲激勵(lì)，即噪聲強(qiáng)度D≠0時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)會(huì)在零平衡點(diǎn)附近的振蕩、小幅值振蕩和大幅值振蕩這三種振蕩模式間切換，如圖2所示。同時(shí)圖3給出了系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線，其中實(shí)線為理論結(jié)果，星號(hào)為Monte Carlo數(shù)值模擬的結(jié)果。可見當(dāng)D=0.01時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線存在三個(gè)峰，且此時(shí)系統(tǒng)小幅值振蕩的概率較大。對(duì)于時(shí)滯位移差分如何影響隨機(jī)系統(tǒng)的響應(yīng)將在下節(jié)討論。

(a) 位移的時(shí)間歷程

(b) 響應(yīng)的相圖

圖3 D=0.01時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度曲線

3 時(shí)滯反饋對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響

3.1 時(shí)滯對(duì)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響

取定反饋強(qiáng)度K=0.5，探討時(shí)滯τ對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響。根據(jù)式(13)可得噪聲強(qiáng)度D=0.01時(shí)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)極值點(diǎn)am隨時(shí)滯τ的演化圖，如圖4所示，其中實(shí)線代表函數(shù)的極大值點(diǎn)、虛線代表函數(shù)的極小值點(diǎn)。對(duì)每一組參數(shù)下的原系統(tǒng)(1)進(jìn)行Monte Carlo模擬，并提取概率密度分布的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)便可驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性，數(shù)值結(jié)果也在圖4中給出，其中星號(hào)為數(shù)值方法得到的概率密度分布的極大值點(diǎn)，圓圈為數(shù)值方法得到的概率密度分布的極小值點(diǎn)?？梢姰?dāng)時(shí)滯τ分別在區(qū)間[0,0.045)、[0.045,0.107)、[0.107,0.3]時(shí)，概率密度函數(shù)極值點(diǎn)的分布有本質(zhì)區(qū)別。

圖4 D=0.01時(shí)極值點(diǎn)am隨時(shí)滯τ的演化

(a) τ=0.02

(b) τ=0.08

(c) τ=0.14

從圖5可知，當(dāng)時(shí)滯τ=0.02時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度曲線存在三個(gè)峰，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在零平衡點(diǎn)附近的振蕩、小幅值振蕩和大幅值振蕩這三種振蕩模式間切換，但小幅值振蕩的概率較大，且在零平衡點(diǎn)附近振蕩的概率稍大于大幅值振蕩的概率，這與圖3中無時(shí)滯反饋的情況略有區(qū)別；當(dāng)時(shí)滯τ=0.08時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度曲線存在兩個(gè)峰，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在零平衡點(diǎn)附近的振蕩、小幅值振蕩這兩種振蕩模式間切換，系統(tǒng)的大幅值振蕩消失，且此時(shí)在零平衡點(diǎn)附近振蕩的概率較大；當(dāng)時(shí)滯τ=0.14時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度曲線僅存在一個(gè)峰，此時(shí)系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)附近的振蕩較為顯著。

因此，從上述分析結(jié)果來看，噪聲強(qiáng)度D=0.01，反饋強(qiáng)度K=0.5時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在時(shí)滯τ增加的過程中經(jīng)歷了兩次轉(zhuǎn)變：三峰(平衡點(diǎn)處、小極限環(huán)處、大極限環(huán)處)→雙峰(小極限環(huán)、大極限環(huán)處)→單峰(平衡點(diǎn)處)。并且，隨著時(shí)滯τ的增加，系統(tǒng)的大幅值振蕩和小幅值振蕩受到了抑制。從隨機(jī)分岔的角度來看，時(shí)滯τ的改變誘導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)生了兩次隨機(jī)P分岔，這也意味著該隨機(jī)系統(tǒng)的分岔行為可以通過時(shí)滯來調(diào)節(jié)。

3.2 反饋強(qiáng)度K對(duì)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響

取定時(shí)滯τ=0.1，探討反饋強(qiáng)度K對(duì)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響，根據(jù)式(13)可得噪聲強(qiáng)度D=0.01時(shí)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的極值點(diǎn)am隨反饋強(qiáng)度K的演化圖，如圖6所示，其中實(shí)線代表函數(shù)的極大值點(diǎn)、虛線代表函數(shù)的極小值點(diǎn)，星號(hào)為數(shù)值方法得到的概率密度分布的極大值點(diǎn)，圓圈為數(shù)值方法得到的概率密度分布的極小值點(diǎn)。可見當(dāng)反饋強(qiáng)度K分別在區(qū)間[-1,-0.364)、[-0.364,-0.257)、[-0.257,0.226) 、[0.226,0.537)、[0.537,1]時(shí)，概率密度函數(shù)極值點(diǎn)的分布也有本質(zhì)的區(qū)別。

圖7給出了不同反饋強(qiáng)度K下系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線，其中實(shí)線為理論結(jié)果，星號(hào)為對(duì)原系統(tǒng)(1)進(jìn)行Monte Carlo數(shù)值模擬的結(jié)果，兩者吻合較好。

從圖7可知，當(dāng)反饋強(qiáng)度K=-0.4時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度曲線存在一個(gè)峰，此時(shí)系統(tǒng)大幅值振蕩較為顯著；當(dāng)反饋強(qiáng)度K=-0.3時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度曲線存在兩個(gè)峰，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在小幅值振蕩與大幅值振蕩這兩種振蕩模式間切換，但大幅值振蕩的概率較大；當(dāng)反饋強(qiáng)度K=0.04時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度曲線存在三個(gè)峰，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在零平衡點(diǎn)附近的振蕩、小幅值振蕩和大幅值振蕩這三種振蕩模式中切換，但小幅值振蕩的概率較大；當(dāng)反饋強(qiáng)度K=0.3時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度曲線存在兩個(gè)峰，此時(shí)系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)附近的振蕩和小幅值振蕩這兩種振蕩模式間切換，并且在零平衡點(diǎn)附近振蕩的概率和小幅值振蕩的概率相近；當(dāng)反饋強(qiáng)度K=1時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度曲線僅存在一個(gè)峰，此時(shí)系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)附近的振蕩較為顯著，而小幅值振蕩和大幅值振蕩消失。

圖6 D=0.01時(shí)極值點(diǎn)am隨反饋強(qiáng)度K的演化

因此，從上述結(jié)果來看，當(dāng)噪聲強(qiáng)度D=0.01，時(shí)滯τ=0.1時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在反饋強(qiáng)度K增加的過程中經(jīng)歷了四次轉(zhuǎn)變：單峰(大極限環(huán)處)→雙峰(小極限環(huán)處、大極限環(huán)處)→三峰(平衡點(diǎn)處、小極限環(huán)處、大極限環(huán)處)→雙峰(平衡點(diǎn)處、小極限環(huán)處)→單峰(平衡點(diǎn)處)，這與3.1節(jié)中時(shí)滯(對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響機(jī)制有本質(zhì)不同。同時(shí)，也不難發(fā)現(xiàn)，在反饋強(qiáng)度K不斷增加的過程中，大幅值振蕩受到了抑制，而在平衡點(diǎn)附近的振蕩得到了增強(qiáng)，這表明通過改變時(shí)滯反饋控制參數(shù)，可以使系統(tǒng)處于不同的振蕩模式中。此外，從隨機(jī)分岔的角度來看，反饋強(qiáng)度K的增加誘導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)生了四次隨機(jī)P分岔，這意味著該隨機(jī)系統(tǒng)的分岔行為也可以通過反饋強(qiáng)度K來調(diào)節(jié)。

(a) K=-0.4

(b) K=-0.3

(c) K=0.04

(d) K=0.3

(e) K=1

3.3 時(shí)滯反饋控制參數(shù)設(shè)計(jì)

3.1節(jié)和3.2節(jié)分別探討了時(shí)滯和反饋強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響，相關(guān)結(jié)論可用于時(shí)滯反饋控制器的單參數(shù)設(shè)計(jì)，但仍未解決時(shí)滯τ和反饋強(qiáng)度K的雙參數(shù)設(shè)計(jì)問題，為此，需計(jì)算出導(dǎo)致幅值概率密度函數(shù)極值點(diǎn)數(shù)目發(fā)生變化的臨界參數(shù)集合，即(τ，K)參數(shù)平面內(nèi)的轉(zhuǎn)遷集。

仍考慮噪聲強(qiáng)度D=0.01的情況，通過求解式(13)的正解個(gè)數(shù)在(τ，K)參數(shù)平面的分布就可以得到轉(zhuǎn)遷集，如圖8所示，參數(shù)平面被分成了三個(gè)區(qū)域，不同區(qū)域內(nèi)的正根個(gè)數(shù)不同。當(dāng)參數(shù)(τ，K)在區(qū)域1時(shí)，僅有一個(gè)極值點(diǎn)，函數(shù)曲線僅有一個(gè)峰。當(dāng)參數(shù)(τ，K)在區(qū)域2時(shí)，幅值概率密度函數(shù)存在三個(gè)極值點(diǎn)，函數(shù)曲線有兩個(gè)峰。當(dāng)參數(shù)(τ，K)在區(qū)域3時(shí)，幅值概率密度函數(shù)存在五個(gè)極值點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)曲線有三個(gè)峰。從圖中還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)滯(增大時(shí)，三峰及雙峰參數(shù)區(qū)域所對(duì)應(yīng)的反饋強(qiáng)度K的范圍逐漸變小，而單峰參數(shù)區(qū)域所對(duì)應(yīng)的反饋強(qiáng)度K的范圍逐漸變大。

從參數(shù)設(shè)計(jì)的角度看，選擇(τ，K)的不同組合，可使受控系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度曲線具有不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，從而對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行調(diào)控。此外，由于噪聲強(qiáng)度會(huì)對(duì)穩(wěn)態(tài)概率密度產(chǎn)生影響，在選擇控制參數(shù)時(shí)，需要對(duì)不同噪聲強(qiáng)度的情況進(jìn)行具體分析。因此，針對(duì)本文所給參數(shù)，圖8實(shí)際上解決了面向幅值概率密度調(diào)節(jié)的時(shí)滯反饋控制參數(shù)設(shè)計(jì)問題，更一般情況下的時(shí)滯反饋控制參數(shù)設(shè)計(jì)還有待進(jìn)一步討論。

圖8 D=0.01時(shí)(τ，K)平面內(nèi)的轉(zhuǎn)遷集

4 結(jié) 論

基于隨機(jī)平均法探討了時(shí)滯位移差分反饋對(duì)加性噪聲激勵(lì)下三穩(wěn)態(tài)van der Pol系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響，得到如下結(jié)論：

在小噪聲激勵(lì)的情況下反饋強(qiáng)度和時(shí)滯的變化均可以影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但是兩者的影響機(jī)制有所不同。時(shí)滯的增大可以使穩(wěn)態(tài)概率密度曲線從三峰過渡到單峰；而反饋強(qiáng)度的增大則會(huì)使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)經(jīng)歷四次轉(zhuǎn)變。

通過求解幅值概率密度函數(shù)極值點(diǎn)分布得到了時(shí)滯與反饋強(qiáng)度平面內(nèi)的轉(zhuǎn)遷集，可直接用于時(shí)滯反饋控制的參數(shù)設(shè)計(jì)，更一般情況下的參數(shù)設(shè)計(jì)有待進(jìn)一步分析。