雙片消隙齒輪動力學(xué)建模與參數(shù)影響分析

劉偉平，穆京京，劉寬耀，莊春躍

（1.上海無線電設(shè)備研究所，上海 201109；2.中國航天科技集團有限公司 研究發(fā)展部，北京 100048）

0 引言

雷達導(dǎo)引頭伺服系統(tǒng)作為導(dǎo)彈的跟蹤指向機構(gòu)，根據(jù)天線測角偏差，控制天線轉(zhuǎn)動實現(xiàn)目標(biāo)跟蹤，其指向精度、穩(wěn)定性直接影響導(dǎo)彈的命中精度。雷達導(dǎo)引頭伺服系統(tǒng)為提高其傳動精度一般采用雙片齒輪消隙［1-3］的方式消除回程誤差，能夠有效消除齒輪傳動過程中齒側(cè)間隙對傳動精度及系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，因其結(jié)構(gòu)緊湊也廣泛應(yīng)用于其他航天精密伺服機構(gòu)，如機載雷達天線［4］、光電穩(wěn)定平臺等。

國內(nèi)外已有較多學(xué)者針對消隙齒輪動力學(xué)特性開展了研究。國內(nèi)國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)多位學(xué)者對消隙齒輪伺服系統(tǒng)進行了仿真分析，開展了消隙齒輪機構(gòu)綜合嚙合剛度、振動響應(yīng)、諧振特性等方面的研究［5-8］。國外IMASAKI 等［9］提出了一種具有消隙齒輪傳動關(guān)節(jié)的工業(yè)機器手控制方法，建立了一種具有三段柔性連接特性的消隙齒輪近似剛度模型。ALLAN 等［10］建立了考慮了電機和負(fù)載的消隙齒輪傳動系統(tǒng)模型，提出了計算消隙彈簧最小預(yù)緊力矩的方法。KWON 等［11］建立了消隙齒輪傳動系統(tǒng)模型，將雙片齒非線性剛度模型轉(zhuǎn)換為線性剛度模型，研究了系統(tǒng)的頻域響應(yīng)特性。

上述研究中，在建模時對消隙齒輪的嚙合剛度的處理較多采用將輪齒剛度與扭簧剛度進行分段等效的方法，而扭簧預(yù)緊力作為齒輪系統(tǒng)的內(nèi)力則無法在模型中體現(xiàn)，其產(chǎn)生的額外的齒面載荷及摩擦力矩對系統(tǒng)的動力學(xué)特性將有一定影響。因此，本文擬建立考慮時變嚙合剛度及齒面摩擦的消隙齒輪動力學(xué)模型，分析扭簧預(yù)緊力矩及扭簧剛度對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。

1 消隙齒輪動力學(xué)建模

消隙齒輪示意圖如圖1 所示，齒輪1 與輸入軸固連，齒輪2 和齒輪4 與輸出軸固連，齒輪3 浮動安裝，齒輪1 和齒輪3 通過扭簧連接，安裝時齒輪1 與齒輪3 扭轉(zhuǎn)一定角度后與齒輪2、4 嚙合，完成扭簧加載。通常情況下齒輪2、4 為1 個齒輪，這里為了便于分析將其拆為2 個齒輪，兩者通過一個較大剛度的圓柱段連接。

圖1 消隙齒輪傳動模型Fig.1 Model of anti-backlash gears

按圖1 所示的方向運行，假設(shè)扭簧加載在齒輪1上的扭矩與轉(zhuǎn)動方向相同，以兩側(cè)嚙合副為研究對象進行受力分析，如圖2 和圖3 所示建立坐標(biāo)系，其中x軸垂直于嚙合平面，y軸沿著嚙合平面豎直向上。每個齒輪包括x、y方向的平移及繞z軸扭轉(zhuǎn)3個自由度，其中扭轉(zhuǎn)方向以逆時針為正方向。圖中：km1、km2、cm1、cm2分別表示齒輪1 和齒輪2、齒輪3和齒輪4 的嚙合剛度和嚙合阻尼；kix、kiy、cix、ciy表示齒輪i沿x、y方向的支撐剛度及支撐阻尼（i=1，2，3，4）；bc為齒側(cè)間隙；Ts1、Ts2分別為扭簧加載在齒輪1、3 和齒輪2、4 上的靜態(tài)扭矩；Ti為輸入扭矩；To為輸出扭矩，根據(jù)扭矩與齒輪旋轉(zhuǎn)方向的關(guān)系確定齒輪傳動的主從關(guān)系。

圖2 齒輪1 和齒輪2 嚙合副受力分析Fig.2 Force analysis of gear1 and gear2

圖3 齒輪3 和齒輪4 嚙合副受力分析Fig.3 Force analysis of gear3 and gear4

上述模型具有12 個自由度，系統(tǒng)的廣義位移陣列可表示為

則兩側(cè)齒輪副沿嚙合線的相對位移δ12、δ34可表示為

式中：rb1、rb2、rb3、rb4為各齒輪基圓半徑；e1、e2為齒輪嚙合誤差。

左、右兩端齒輪副的嚙合力Fm1、Fm2可表示為

式中：km1、km2為時變嚙合剛度，通過齒輪嚙合有限元仿真獲得［12］；cm1、cm2為時變嚙合阻尼，阻尼比選取范圍為0.03～0.17；f1（δ）、f2（δ）為接觸函數(shù)，由于消隙扭簧加載后，相鄰兩片齒輪是相反的齒面參與嚙合，其初始嚙合位置不同，表達式為

式中：bc為齒側(cè)間隙。

根據(jù)上述分析，可推得雙片齒消隙齒輪副動力學(xué)微分方程如下：

式中：k13x、k13y、kJ13、k24x、k24y、kJ24分別為兩端齒輪x、y方向及扭轉(zhuǎn)方向的剛度影響系數(shù)，其中kJ13即為扭簧的扭轉(zhuǎn)剛度；c13x、c13y、cJ13、c24x、c24y、cJ24為兩端齒輪x、y方向及扭轉(zhuǎn)方向的阻尼影響系數(shù)；mi、Ii（i=1，2，3，4）為齒輪i的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；ID、IL分別為輸入端和輸出端等效轉(zhuǎn)動慣量；Ff1、Ff2為兩側(cè)齒輪副的齒面摩擦力；Tf1、Tf2、Tf3、Tf4為齒面摩擦力對齒輪1、2、3、4 的摩擦力矩。

摩擦力和摩擦力矩計算方法見文獻［12］。

上述方程消除剛體位移后，進行量綱歸一化，采用龍格庫塔（Runge-Kutta）法［13］求解可求得系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。

2 振動響應(yīng)特性分析

某穩(wěn)定平臺傳動機構(gòu)采用1 級齒輪驅(qū)動，其齒輪參數(shù)見表1，主要分析扭簧預(yù)緊力及扭簧剛度對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。

嚙合剛度通過有限元仿真獲得，綜合嚙合剛度隨時間變化曲線如圖4 所示，嚙合過程中單雙齒交替產(chǎn)生的剛度變化是齒輪運行過程中主要的振動激勵因素。圖5 為表1 參數(shù)條件下的振動頻域響應(yīng)，振動能量主要集中在嚙合頻率110 Hz 及其倍頻上。

在動力學(xué)模型進行仿真分析的過程中，只改變其中一個參數(shù)，而其他參數(shù)保持不變。通過改變扭簧預(yù)緊力矩、扭簧剛度，分析其對系統(tǒng)動態(tài)傳動誤差和諧振頻率的影響，其中，動態(tài)傳動誤差為從動輪實際轉(zhuǎn)角和理論轉(zhuǎn)角之差。將角誤差投影到嚙合線轉(zhuǎn)換為線位移誤差，其表達式為式（2），誤差產(chǎn)生來源于齒輪嚙合誤差、輪齒變形及振動引起的支撐變形等因素。

表1 模型算例參數(shù)Tab.1 Parameters of model example

圖4 綜合嚙合剛度曲線Fig.4 Curve of comprehensive meshing stiffness

圖5 振動頻域響應(yīng)特性Fig.5 Frequency domain response of vibration

3 參數(shù)影響分析

消隙齒輪在扭簧加載后，輸入軸正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)條件下，功率的傳遞路徑是不同的。定義輸入軸順時針旋轉(zhuǎn)時為正轉(zhuǎn)，此時輸入功率由齒輪1、2 傳遞至輸出軸時，而反轉(zhuǎn)時功率由齒輪1、扭簧、齒輪3、齒輪4 依次傳遞。因此，需分析這兩種情況。

3.1 扭簧剛度對傳動誤差的影響

扭簧預(yù)緊力矩為0 時，兩片驅(qū)動齒輪的正反齒面同時與從動輪嚙合。以齒輪1 與齒輪2 接觸時的位置為原點，扭簧加載后，齒輪組的剛度模型如圖6所示。圖中：θs為齒輪1 相對于齒輪2 產(chǎn)生靜態(tài)彈性變形；θb為齒側(cè)間隙對應(yīng)的轉(zhuǎn)角；齒輪1 與齒輪3 通過扭簧連接，其扭轉(zhuǎn)剛度為kJ13；齒輪2 和齒輪4 通過一個大剛度的圓柱段相連，其扭轉(zhuǎn)剛度為kJ24；兩對齒的等效嚙合扭轉(zhuǎn)剛度為kJm1、kJm2。

圖6 齒輪組的剛度模型Fig.6 Stiffness model of gear set

輸入軸與齒輪1 固連，輸出軸與齒輪2 固連，定義齒輪組等效剛度為齒輪1 和齒輪2 的相對扭轉(zhuǎn)剛度，則等效扭轉(zhuǎn)剛度表達式為

由于kJm1、kJm2、kJ24的數(shù)量級遠大與kJ13，扭簧的剛度對整體等效剛度影響很小。

當(dāng)齒輪反向轉(zhuǎn)動，驅(qū)動力克服抵消扭簧加載力時，齒輪1 與齒輪2 脫離嚙合，則等效扭轉(zhuǎn)剛度表達式為

齒輪1 與齒輪2 脫離嚙合后，齒輪繼續(xù)反向轉(zhuǎn)動θb，使得相反齒面參與嚙合，齒輪組的剛度kgc為

綜上可得，扭簧加載后齒輪組的等效剛度曲線如圖7 所示，扭簧加載后由于預(yù)緊力的作用，齒輪組的工作點為圖7 中的K（θs，Ts1）點。在該點附近，剛度曲線為線性，因此，在預(yù)緊力矩較為富裕的條件下，齒輪組可以始終工作在線性范圍內(nèi)，不會產(chǎn)生較大的回程誤差。

正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)時不同扭簧剛度條件下齒輪的動態(tài)傳動誤差曲線，兩條曲線基本重疊，如圖8 所示。因扭簧預(yù)緊力矩存在，齒輪1 和齒輪2 之間基本始終處于接觸狀態(tài)，在扭簧預(yù)緊力矩較為富裕時，正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)條件下扭簧剛度的變化對傳動誤差影響較小。

圖7 等效扭轉(zhuǎn)剛度曲線Fig.7 Equivalent torsional stiffness curve

圖8 扭簧剛度對齒輪傳動誤差的影響Fig.8 Influence of torsional spring stiffness on gear transmission error

3.2 扭簧預(yù)緊力矩對傳動誤差的影響

扭簧預(yù)緊力矩主要決定了齒輪組剛度曲線的線性范圍，同時也引入了靜態(tài)傳遞誤差。正轉(zhuǎn)時不同扭簧預(yù)緊力矩條件下齒輪的動態(tài)傳動誤差曲線如圖9（a）所示。圖中，正轉(zhuǎn)條件下扭簧預(yù)緊力矩為0 N·m、4 N·m、8 N·m 時，齒輪嚙合副傳動誤差曲線的平均值分別為-2.6 μm、-7.7 μm、-12.8 μm，最大振幅分別為1.7 μm、5.2 μm、8.8 μm，這是由于扭簧加載之后使得齒輪不僅要傳遞輸入扭矩，還要承擔(dān)扭簧加載的扭矩，使得齒面載荷增大，輪齒變形隨之增大。反轉(zhuǎn)條件下不同扭簧預(yù)緊力矩條件下齒輪的動態(tài)傳動誤差曲線如圖9（b）所示，扭簧預(yù)緊力矩為0 N·m、4 N·m、8 N·m 時，齒輪嚙合副傳動誤差曲線的平均值分別為102.4 μm、-2.6 μm、-7.7 μm，最大振幅分別為1.3 μm、2.4 μm、5.8 μm。在扭簧預(yù)緊力矩為0 N·m 時由于齒側(cè)間隙的存在，反轉(zhuǎn)時產(chǎn)生了較大的回程誤差；扭簧加載之后，力矩通過加載齒輪一側(cè)傳遞，消除了回程誤差，但傳動誤差值隨著加載力矩的增大而增大。

3.3 負(fù)載波動激勵下扭簧預(yù)緊力矩及扭簧剛度對傳動誤差的影響

雷達導(dǎo)引頭伺服機構(gòu)一部分時間處于掃描搜索狀態(tài)，其大部分工作時間處于跟蹤或穩(wěn)定在預(yù)定角度狀態(tài)，而彈體飛行時的振動擾動會使得負(fù)載端產(chǎn)生一個慣性力矩，影響伺服機構(gòu)的指向精度。假設(shè)某平臺飛行過程中在伺服機構(gòu)上將產(chǎn)生一個頻率為80 Hz 加速度為15g的正弦振動，通過仿真計算得到該振動條件下系統(tǒng)的傳動誤差曲線如圖10所示。其中，圖10（a）中扭簧預(yù)緊力矩為0 N·m、2 N·m、4 N·m、8 N·m 時，齒輪嚙合副傳動誤差曲線的平均值分別為51.5 μm、18.4 μm、-5.4 μm、-10.9 μm，最大振幅分別為78.9 μm、69.8 μm、23.3 μm、23.3 μm，圖10（b）數(shù)據(jù)與圖10（a）基本一致。

圖9 扭簧預(yù)緊力矩對齒輪傳動誤差的影響Fig.9 Influence of pre-tightening torque of torsional spring on gear transmission error

圖10 負(fù)載波動激勵下齒輪動態(tài)傳動誤差Fig.10 Gear transmission error under load fluctuation excitation

在扭簧不加載的條件下，負(fù)載波動使得齒輪齒面脫離嚙合，存在較大回程誤差，且誤差曲線不規(guī)律，傳動系統(tǒng)存在不確定性。扭簧扭矩為2 N·m時，由于扭簧扭矩不足以克服振動引起的慣性力矩，仍存在齒面脫離嚙合的情況，但由于扭簧的引入，其回程誤差比扭簧不加載的情況下有所減小。扭簧扭矩為4 N·m 時，扭簧預(yù)緊力矩大于振動引起的慣性力矩，齒輪齒面不會脫離嚙合，傳動誤差減小，但隨著將扭簧扭矩增加到8 N·m 時，其傳動誤差曲線幅值已變化不大，繼續(xù)增大預(yù)緊力矩對提高傳動精度效果不明顯。從圖10（a）與圖10（b）對比可見，扭簧剛度對傳動誤差曲線的影響較小，是由于一般用于加載的扭簧剛度數(shù)量級較小，在齒面脫離嚙合后，扭簧無法在齒側(cè)間隙行程范圍內(nèi)產(chǎn)生較大反扭矩。

3.4 扭簧預(yù)緊力矩及扭簧剛度對系統(tǒng)諧振頻率的影響

由于傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型中包含齒側(cè)間隙及齒面摩擦力等非線性因素，模型較為復(fù)雜，其諧振頻率無法通過解析法直接求得，因此，采用模擬掃頻的方式測試模型的頻域特性。不同扭簧預(yù)緊力矩條件下系統(tǒng)的頻域響應(yīng)特性如圖11 所示。圖中：預(yù)緊力矩由2 N·m 增加到4 N·m 時，系統(tǒng)的諧振頻率點由305 Hz 提高至345 Hz；增加到8 N·m 時，一階諧振頻率區(qū)域產(chǎn)生了兩個尖峰，對應(yīng)頻率為325 Hz 和355 Hz；另外預(yù)緊力矩由2 N·m 依次增加到8 N·m，對應(yīng)的一階諧振頻率的動態(tài)誤差幅值為65.3 μm、46.4 μm、43.2 μm。因此，預(yù)緊力矩的增加對一階諧振頻率的動態(tài)誤差幅值有一定的抑制，但二階諧振頻率的動態(tài)誤差幅值以及非諧振區(qū)域的動態(tài)誤差幅值增加。不同扭簧剛度條件下系統(tǒng)的頻域響應(yīng)特性如圖12 所示。圖中，不同扭簧剛度條件下的頻率響應(yīng)曲線基本相同。

圖11 扭簧預(yù)緊力矩對系統(tǒng)諧振頻率影響Fig.11 Influence of pre-tightening torque of torsional spring on system resonance frequency

圖12 扭簧剛度對系統(tǒng)諧振頻率影響Fig.12 Influence of torsional spring stiffness on system resonance frequency

4 結(jié)束語

1）扭簧剛度對系統(tǒng)動態(tài)傳動誤差及諧振頻率影響較?。?/p>

2）扭簧預(yù)緊力矩的增大有利于提高諧振頻率，同時可以抑制一階諧振幅值，降低負(fù)載波動對系統(tǒng)的影響，由于扭簧產(chǎn)生額外的載荷，扭簧預(yù)緊力矩的增加會增大系統(tǒng)動態(tài)傳動誤差，因此，在設(shè)計時需結(jié)合使用條件進行合理選擇；

3）本研究為消隙齒輪關(guān)于扭簧設(shè)計提供了設(shè)計參考，在伺服控制系統(tǒng)設(shè)計中可對傳動誤差的仿真結(jié)果進行補償修正以提高控制精度。