無刷直流電機的模型預(yù)測與反演控制

譚天樂，尹俊雄，周恒杰，鄭翰清

（1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；2.上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室，上海 201109）

0 引言

無刷直流電機（Brushless DC Motor，BLDCM）因結(jié)構(gòu)簡單、運行高效可靠、便于控制而得到廣泛應(yīng)用。轉(zhuǎn)臺、數(shù)控機床、機器人等在各種負(fù)載工況和任務(wù)下的高精度、敏捷控制一直是國內(nèi)外研究和應(yīng)用中的關(guān)注熱點。

關(guān)于無刷直流電機的控制方法，因為比例積分微分（Proportional Integral Derivative，PID）控制方法成熟、形式簡單，所以工程中應(yīng)用較多，并從控制精度、控制穩(wěn)定度、控制快速性以及抗干擾能力等方面結(jié)合其他控制方法以提升性能。模糊控制［1-3］按照模糊規(guī)則調(diào)整參數(shù)，計算控制量，根據(jù)轉(zhuǎn)速誤差及其變化率設(shè)計模糊律，在線實時調(diào)節(jié)比例積分（Proportional Integral，PI）參數(shù)，具有較好的魯棒性和動態(tài)穩(wěn)態(tài)性，但通常需要先驗知識和經(jīng)驗。魯棒控制［4-6］根據(jù)參數(shù)的不確定性及干擾的攝動范圍設(shè)計控制系統(tǒng)，適用于具有模型不確定和外部干擾攝動的情況。文獻(xiàn)［5］運用線性矩陣不等式理論設(shè)計的H∞模糊控制器，使非線性系統(tǒng)對擾動具有較好的魯棒性，但實時計算量大，不利于工程實現(xiàn)。自抗擾控制［7-9］不依賴于模型，算法簡單、超調(diào)低，收斂快且精度高，魯棒性較強，但需整定的參數(shù)較多?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制［10］可以在線調(diào)節(jié)以應(yīng)對轉(zhuǎn)動慣量和摩擦力的不確定性，對系統(tǒng)參數(shù)變化及外部擾動不敏感，具有較強的魯棒性與自適應(yīng)性，可以實現(xiàn)較好的動態(tài)控制效果，但存在抖振現(xiàn)象，需要采用高階滑模［11］、自適應(yīng)趨近律［12-13］等方法削弱抖振。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［14-15］可通過學(xué)習(xí)優(yōu)化PID 參數(shù)，常結(jié)合遺傳算法［16］等以提高計算效率或避免局部最優(yōu)，但需要解決可解釋性和實時性問題，通常需要離線進(jìn)行數(shù)據(jù)的訓(xùn)練以得到較優(yōu)的參數(shù)值。預(yù)測控制［17-20］采用模型預(yù)測、滾動優(yōu)化和反饋校正，通過目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化得到控制量，具有靜差小、抗負(fù)載擾動強的特點，但系統(tǒng)性能依賴于目標(biāo)函數(shù)的合理設(shè)計，且對于多步預(yù)測控制，計算量大，難以應(yīng)用于要求快速性的伺服系統(tǒng)中。

以上預(yù)測控制之外的其他方法均在每個測控時刻獲取系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)信息，并與期望狀態(tài)進(jìn)行比較，計算當(dāng)前的狀態(tài)偏差，以當(dāng)前的狀態(tài)偏差為基礎(chǔ)進(jìn)行控制?？刂破鞯脑O(shè)計基于系統(tǒng)的動力學(xué)方程，從系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的角度出發(fā)，考慮控制系統(tǒng)中的指標(biāo)要求進(jìn)行設(shè)計和參數(shù)選擇，采用Lyapunov函數(shù)或者零極點分布等方法分析控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，證明系統(tǒng)在控制律的作用下，對于期望的狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，從而實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)控制。常規(guī)的預(yù)測控制在預(yù)測未來的系統(tǒng)狀態(tài)后，在控制器設(shè)計時大多以控制性能和代價建立目標(biāo)函數(shù)，通過最優(yōu)化方法，求取控制量，并不斷迭代優(yōu)化，對控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計依然是基于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

本文對BLDCM 的電氣與機械特性進(jìn)行了分析與建模。在數(shù)字控制系統(tǒng)中，采用模型預(yù)測的方法估計電機轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)角的未來偏差?；谙到y(tǒng)能控性和電機受控轉(zhuǎn)動的狀態(tài)變化規(guī)律，根據(jù)估計的狀態(tài)偏差反演控制電流與電壓指令，提出了BLDCM 轉(zhuǎn)速控制以及轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)角同步控制的模型預(yù)測與反演（Model Predictive and Inversive，MPI）控制方法。不同于對負(fù)載的在線辨識和干擾已知情況下的前饋補償控制，本文基于電機負(fù)載及外部力矩干擾對系統(tǒng)狀態(tài)的影響機理，根據(jù)狀態(tài)偏差直接反演出負(fù)載/干擾補償控制指令。最后，考慮工程實際情況中電機參數(shù)誤差、系統(tǒng)狀態(tài)測量誤差和實時摩擦力的影響，本文仿真驗證了MPI 控制方法的有效性。

1 電氣與機械特性建模[21]

對于定子為三相對稱星型連接繞組的BLDCM，其狀態(tài)空間形式的電氣特性方程為

式中：X1=[iaibic]T為狀態(tài)變量，其中，ix|x=a，b，c為三相繞組中電流；U1=[uaubuc]T為控制輸入，其中，ux|x=a，b，c為三相端電壓值，

E=[eaebec]T，ex|x=a，b，c為三相反電勢；R、L、M分別為每相繞組的電阻、電感與繞組間互感。

狀態(tài)空間形式的機械特性方程為

式中：X2=[ω]為狀態(tài)變量，ω為電機轉(zhuǎn)速；U2=[iaibic]T為控制輸入；W=[Tl]為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；相關(guān)矩陣為A2=[-Bf/J]；B2=K為反電勢系數(shù)，fx(θe)|x=a，b，c為反電勢波形函數(shù)，θe為轉(zhuǎn)子電角度，，J為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量。

電機參數(shù)K、J、Bf、R、L、M通常均為已知，三相電流、轉(zhuǎn)速ω可以測量得到，反電勢函數(shù)在每個控制周期中可通過電角度查表計算得出。

2 模型預(yù)測與反演控制律

2.1 轉(zhuǎn)速控制

當(dāng)采樣周期T足夠小時，近似認(rèn)為三相端電壓和反電勢在一個測控周期內(nèi)不變，對式（1）進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程求解，得到

下標(biāo)k、(k+1)分別為當(dāng)前控制周期初始時刻和末端時刻系統(tǒng)狀態(tài)；I為單位陣；Ek為當(dāng)前周期的反電勢；Hk為反電勢作用常值矩陣。

由系統(tǒng)的能控性充要條件，易知

系統(tǒng)完全能控。

V為相應(yīng)維數(shù)的任意向量。取通解中的唯一最小二乘、最小范數(shù)解，得到控制電壓為

同理，對式（2）進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程求解，得

因為A2、P為常值，所以，G2，k、Pk為常值。對于下一測控采樣時期望的電機轉(zhuǎn)速設(shè)計控制電流為

系統(tǒng)在U21，k控制作用下，將會出現(xiàn)轉(zhuǎn)速偏差為

設(shè)計負(fù)載補償控制輸入為

式中：kc為調(diào)節(jié)負(fù)載補償?shù)乃俣榷氲恼笛a償系數(shù)。若負(fù)載力矩一直存在，則U22，k應(yīng)始終維持，得到負(fù)載情況下控制器的輸出為

則在式（12）的控制作用下，系統(tǒng)逐步收斂到期望值。

2.2 轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)速同步控制

在一些應(yīng)用如切削加工中，對電機的轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)速需要同步控制。

記電機轉(zhuǎn)角為θ，則有=ω，離散形式為

以電機轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)速X3=[θ ω]T作為狀態(tài)變量，由式（8）和式（13）有

式中：Kc=diag([kc1kc2])，為二維正定對角矩陣，其中，kc1、kc2分別為調(diào)節(jié)角度、角速度控制誤差補償速度而引入的正值補償系數(shù)。

取U2，k輸出，下一控制周期中，重新計算并取相應(yīng)的U2，k輸出。

以上即為BLDCM 的模型預(yù)測與反演控制律。模型預(yù)測與控制反演控制是一種基于系統(tǒng)能控性分析的控制方法。不同于通過求取目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解進(jìn)行控制的常規(guī)預(yù)測方法，該方法基于受控對象的運動學(xué)規(guī)律，預(yù)測和估計系統(tǒng)未來的狀態(tài)偏差，基于外界作用對系統(tǒng)狀態(tài)所產(chǎn)生控制作用的動力學(xué)規(guī)律，反向推演使得系統(tǒng)達(dá)到期望目標(biāo)的控制量，設(shè)計狀態(tài)轉(zhuǎn)移的預(yù)測及反演控制器，從而實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定跟蹤。

3 仿真及分析

仿真所用電機參數(shù)見表1。

表1 電機參數(shù)Tab.1 Parameters of motor

考慮參數(shù)和測量誤差：電流測量的比例誤差0.05，常值誤差0.05 A，噪聲0.005 A；角度測量的常值誤差0.002 8°，角度測量噪聲0.001 7°，由碼盤安裝導(dǎo)致的角度測量誤差-0.003°，角速度測量誤差0.002 9(°)·s-1；控制電壓輸出誤差3%。

電機控制周期T為0.001 s，在8 s 時加負(fù)載轉(zhuǎn)矩2 N。同時仿真了工程上常用的三環(huán)PID 控制和文獻(xiàn)［10］所提出的自適應(yīng)魯棒滑模控制方法以作比較，并考慮了實時摩擦力矩Ff為

式中：庫侖摩擦力矩Fc=4 N·m；最大靜摩擦力矩Fs=5 N·m；臨界Stribeck 速率=0.1 rad·s-1；經(jīng)驗參數(shù)δ′=2；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。

令電機轉(zhuǎn)角指令為

電機初始角位置θ0=0 rad，初始角速度ω0=0 rad·s-1。PID 控制參數(shù)為：位置環(huán)Pθ=100，Dθ=0.1；速度環(huán)Pω=50，Iω=40；電流環(huán)為Pi=2。仿真結(jié)果如圖1 和圖2 所示。

圖1 角度跟蹤Fig.1 Angle tracking

圖2 角度跟蹤誤差Fig.2 Angle tracking error

在圖1 和圖2 中，PID 控制在負(fù)載加入后的角位置誤差明顯增大，而滑模控制對擾動的魯棒性優(yōu)于PID 控制，MPI 控制在負(fù)載加入前后的跟蹤精度均較高，對恒值負(fù)載具有較好的魯棒性，誤差范圍在±0.01 rad 內(nèi)。

角速度跟蹤效果如圖3 和圖4 所示。由圖3 和圖4 可知，MPI 控制在負(fù)載加入前后都能以較高精度、較平滑地跟蹤輸入，對負(fù)載擾動、摩擦力的魯棒性較強。

若轉(zhuǎn)角指令為從0 rad 到6 rad 并保持在6 rad 不變，并利用5 次多項式規(guī)劃轉(zhuǎn)角路徑［23］，如圖5 所示。由圖5 知，MPI 控制的抗干擾能力優(yōu)于PID 控制，滑?？刂破钶^大，因而滑?？刂破鞲m用于參考速度不為零的動態(tài)控制過程。

圖3 角速度跟蹤Fig.3 Angular speed tracking

圖4 角速度跟蹤誤差Fig.4 Angular speed tracking error

圖5 角度保持比較Fig.5 Comparison of angle keeping

仿真表明，MPI 控制方法及設(shè)計的干擾補償可以使系統(tǒng)具有較好的動態(tài)與靜態(tài)性能，既能跟蹤實時變化的狀態(tài)軌跡，也能使系統(tǒng)平穩(wěn)轉(zhuǎn)移到某個狀態(tài)并保持穩(wěn)定，且干擾補償無需辨識擾動，只利用轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)速信息就能達(dá)到較好的抗擾動控制效果。

4 結(jié)束語

本文在電氣與機械特性分析建?；A(chǔ)上，建立了無刷直流電機的離散時間控制系統(tǒng)模型，通過模型外推的方法預(yù)測和估計控制的偏差，根據(jù)電機受控轉(zhuǎn)動的規(guī)律反演電壓、電流控制指令，提出了無刷直流電機的模型預(yù)測反演控制方法。與PID 控制、滑?？刂频膶Ρ确抡姹砻?，考慮電源誤差、電機參數(shù)誤差、傳感器測量誤差等工程實際情況，MPI方法具有較好控制精度、控制魯棒性以及快速響應(yīng)能力。