以《圓的面積》一課為例探索數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思維

鄭建偉

摘 要：圓是一個(gè)曲線圖形，探索它的面積公式可以使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想方法，但反觀課堂教學(xué)，卻困難重重。筆者從學(xué)情前測(cè)、數(shù)學(xué)本質(zhì)、教材教法三方面梳理體系，并提出“經(jīng)歷估測(cè)、聯(lián)想推理、多元轉(zhuǎn)化”三條策略，從而落地“轉(zhuǎn)化”思想，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的不斷提升，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：圓的面積;度量;轉(zhuǎn)化

《圓的面積》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)內(nèi)容，屬于圖形與幾何領(lǐng)域。圓是學(xué)生研究的第一個(gè)曲線圖形，也是學(xué)生在小學(xué)階段所學(xué)習(xí)的最后一種平面圖形，探索它的面積推導(dǎo)過(guò)程顯然比直線圍成的圖形要難，包括：轉(zhuǎn)化方式想不到、化曲為直難理解、極限思想無(wú)體驗(yàn)。用直觀的“有限等分”去想象抽象的“無(wú)限等分”，思維跨度較大，極限思想對(duì)小學(xué)生而言看不見(jiàn)、摸不著，又要求學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)理解和掌握，其中的困難不言而喻。

這些問(wèn)題無(wú)不反映出數(shù)學(xué)思想的缺失。課堂上如何落實(shí)“轉(zhuǎn)化”思想，筆者從數(shù)學(xué)本質(zhì)、教材教法、學(xué)情前測(cè)三方面進(jìn)行梳理求本，并從“估測(cè)驗(yàn)證、聯(lián)想推理、多元轉(zhuǎn)化”三個(gè)策略入手，讓學(xué)生理解掌握?qǐng)A面積的推導(dǎo)過(guò)程，實(shí)現(xiàn)空間觀念的提升和轉(zhuǎn)化思想的落地。

一、梳理體系，溯本求源

（一）基于理論，把握概念本質(zhì)

什么是圓的面積？筆者通過(guò)查閱現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材與《解析幾何》《幾何原本》等相關(guān)著作，發(fā)現(xiàn)有關(guān)“圓面積”有多種不同的表述方式，在教材中的定義通常有兩種。定義1：圓所占平面的大小叫作圓的面積;定義2：圓的內(nèi)接或外切正多邊形，當(dāng)邊數(shù)無(wú)限遞增時(shí)，其面積的極限叫作圓的面積。

定義2在圓面積定義中提到的“圓內(nèi)接或外切正多邊形”是隨著內(nèi)接或外切的正方形的邊數(shù)無(wú)限遞增時(shí)，它的面積越來(lái)越逼近圓的面積。它體現(xiàn)了“圓出于方”“化曲為直”的極限思想，動(dòng)態(tài)展現(xiàn)圓面積的推導(dǎo)過(guò)程。所以，只有把握了形概念，才能更好地探索型的本課教學(xué)。

（二）基于教材，厘清認(rèn)知序列

教材遵循著怎樣的邏輯體系呢？筆者根據(jù)“平面圖形面積的度量”，梳理如下：

三年級(jí)初識(shí)面積，觸摸度量本質(zhì)：通過(guò)在長(zhǎng)、正方形里擺大小統(tǒng)一的小正方形，從而推導(dǎo)出長(zhǎng)、正方形面積計(jì)算公式。

五年級(jí)明朗轉(zhuǎn)化方法，化新為舊：利用割補(bǔ)法、倍拼法等多種轉(zhuǎn)化方法，將新圖形轉(zhuǎn)化為舊圖形，經(jīng)歷等積變形的過(guò)程。

六年級(jí)深刻轉(zhuǎn)化思想，化曲為直：圓是一個(gè)曲邊圖形，它的公式推導(dǎo)比先前學(xué)的直邊圖形面積推導(dǎo)困難得多。首先，在面積推導(dǎo)中的“轉(zhuǎn)化思想”在圓面積公式推導(dǎo)也有非常重要的價(jià)值;其次，圓面積公式推導(dǎo)需要實(shí)現(xiàn)化曲為直、極限思想的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)量變到質(zhì)變的發(fā)展規(guī)律。

（三）基于前測(cè)，量化現(xiàn)有水平

學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生會(huì)怎樣推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式呢？筆者對(duì)未上過(guò)本節(jié)課的120名六年級(jí)學(xué)生展開(kāi)前測(cè)，并根據(jù)范希爾的幾何思維水平得出以下數(shù)據(jù)：

16.7%的學(xué)生思維處于直觀化水平，這啟發(fā)教師課上要激活舊知，做好知識(shí)技能和思想方法的鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷面積度量從粗略到精準(zhǔn)的過(guò)程;66.0%的學(xué)生無(wú)法成功推導(dǎo)圓面積，課上需要直觀展示化曲為直的過(guò)程、引導(dǎo)學(xué)生想象和理解抽象的“無(wú)限等分”，實(shí)現(xiàn)思維從描述分析向抽象關(guān)聯(lián)過(guò)渡;17.3%的學(xué)生對(duì)圓面積的探索有多元方式，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)開(kāi)放的探究空間，提供豐富的研究素材，讓學(xué)生經(jīng)歷多種操作活動(dòng)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，內(nèi)化“轉(zhuǎn)化”思想。

二、策略改進(jìn)，有的放矢

經(jīng)過(guò)理論引領(lǐng)、教材梳理、學(xué)情分析，如何讓學(xué)生經(jīng)歷度量過(guò)程，深化轉(zhuǎn)化思想呢？筆者提出“經(jīng)歷估測(cè)、聯(lián)想推理、多元轉(zhuǎn)化”教學(xué)策略。

（一）經(jīng)歷估測(cè)，迂回驗(yàn)證，凸顯轉(zhuǎn)化價(jià)值

之前平面圖形面積公式推導(dǎo)中的轉(zhuǎn)化，都是由直邊圖形轉(zhuǎn)化為直邊圖形，可圓作為一種曲線圖形，要怎樣才能轉(zhuǎn)化成直邊圖形呢？筆者認(rèn)為可以在“圓的面積”公式推導(dǎo)前，先猜一猜圓的面積會(huì)與什么有關(guān)呢？使學(xué)生在猜想中，圓面積和圓各部分大小、長(zhǎng)短的關(guān)系，感受“化曲為直”的思想。

第一次估測(cè)：直接延續(xù)，猜測(cè)圓面積和半徑的關(guān)系

師：（出示半徑為3、4、5厘米的圓）要知道這些圓的面積，有什么方法？

生：先數(shù)出[14]圓的面積，那么就可以×4計(jì)算整個(gè)圓的面積。

第二次估測(cè)：遷移比較，否定圓面積和直徑的關(guān)系

師：用圓的面積除以相應(yīng)圓的直徑呢？同桌之間互相說(shuō)一說(shuō)。

生討論，并反饋。

第三次估測(cè)：觀察轉(zhuǎn)化，想象圓面積和半徑平方的關(guān)系

師：那么圓的面積與什么有關(guān)呢？（師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圓的面積與小正方形之間的關(guān)系）

生猜測(cè)：圓的面積與半徑的平方之間的倍數(shù)關(guān)系是不是不變的呢？

利用圓內(nèi)接和外切正方形估計(jì)面積，既有利于學(xué)生對(duì)圓面積與半徑關(guān)系的理解，得出圓面積的取值范圍，又滲透了用“逼近”思想探究圓面積計(jì)算公式的方法，體現(xiàn)了極限的思想。學(xué)生三次提出猜想，在迂回中不斷接近問(wèn)題的本質(zhì)，具有探索性的設(shè)問(wèn)，每一次都助推著學(xué)生思維向更深處延伸，為進(jìn)一步探究圓的面積公式指明方向。

（二）聯(lián)想推理，化曲為直，突破轉(zhuǎn)化難點(diǎn)

對(duì)于圓能否轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的直邊圖形來(lái)推導(dǎo)其公式，學(xué)生非常難理解。當(dāng)教師給出分割圖后，大部分學(xué)生認(rèn)為不能轉(zhuǎn)化，也不知道從哪里入手才能把圓拼成學(xué)過(guò)的圖形，如何在操作中如何“化曲為直”是學(xué)生思維最大的“絆腳石”。

【片段一】動(dòng)手剪拼，逐步呈現(xiàn)圓面均分、遞增現(xiàn)象

在理解圓的面積的意義之后，通過(guò)對(duì)比復(fù)習(xí)平面圖形的面積推導(dǎo)方法，感受直線和曲線平面圖形推導(dǎo)方法的不一致，引出化曲為直的方法。

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出課前準(zhǔn)備好的6張圓形紙片，把它分成4等份、8等份、16等份、32等份，剪開(kāi)后，用這些近似的等腰三角形的小紙片拼一拼、擺一擺，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？

通過(guò)對(duì)比幾組的作品，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把圓平均分的份數(shù)越多，這個(gè)圖形就越接近于長(zhǎng)方形。

【片段二】直觀演示，實(shí)現(xiàn)量變到質(zhì)變的跨越

師：如果把圓分成64等份、128等份、256等份……一直這樣分下去，你們覺(jué)得會(huì)是怎樣的圖形？請(qǐng)大家發(fā)揮想象。（師用課件演示，印證學(xué)生的想象）

用課件演示細(xì)分的過(guò)程，形象直觀，讓學(xué)生感受極限的思想，當(dāng)把圓一直分，到不能再分時(shí)，拼成的圖形真的就最接近長(zhǎng)方形了。

【片段三】聯(lián)想推理，尋找轉(zhuǎn)化前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系

師：拼成的近似長(zhǎng)方形與圓有何關(guān)系？圓的面積到底怎么計(jì)算呢？（生觀察自己拼成的圖形，結(jié)合課件演示，獨(dú)立推導(dǎo)出圓的面積）

必要的操作是推理的基礎(chǔ)。在課件演示后重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生思考勾連圓和長(zhǎng)方形之間的聯(lián)系，提升聯(lián)想推理能力。這樣由扶到放、由表面現(xiàn)象到本質(zhì)的引導(dǎo)，使學(xué)生始終參與到如何把圓轉(zhuǎn)化為近似的長(zhǎng)方形中來(lái)，從而真切地經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程。

把圓轉(zhuǎn)化成“近似的長(zhǎng)方形”，學(xué)生對(duì)“近似的長(zhǎng)方形”充滿了疑惑，所以教學(xué)時(shí)通過(guò)比較直觀的“有限等分”引導(dǎo)學(xué)生逐漸去理解“無(wú)限等分”。學(xué)生經(jīng)歷了猜想、操作、推理、轉(zhuǎn)化的過(guò)程，把圓轉(zhuǎn)化成已知圖形，從而推導(dǎo)出圓的面積公式。

（三）多元轉(zhuǎn)化，打開(kāi)時(shí)空，觸及轉(zhuǎn)化本質(zhì)

為聚焦轉(zhuǎn)化前后圖形之間的關(guān)系，教師可以讓學(xué)生自主選題，介紹另外的推導(dǎo)方式，還可以適時(shí)安排一些能體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化前后圖形之間關(guān)系的題目加以練習(xí)，數(shù)形結(jié)合加深對(duì)抽象公式的理解，培養(yǎng)發(fā)散性思維，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的魅力。

【片段一】各異方式，讓轉(zhuǎn)化思想生根發(fā)芽。

前測(cè)表明，學(xué)生能想出不一樣的轉(zhuǎn)化方式。課前教師引導(dǎo)學(xué)生展示思維的最原始狀態(tài)，在課堂適時(shí)呈現(xiàn)：

師：動(dòng)手剪一剪圓紙片，把它平均分成16份，拼一拼：試著轉(zhuǎn)化成熟悉的圖形，并計(jì)算出相應(yīng)的面積。

教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納：圓是曲線圍成的圖形，將圓轉(zhuǎn)化成三角形、梯形、平行四邊形、長(zhǎng)方形等都是線段圍成的圖形，而化曲為直是轉(zhuǎn)化的運(yùn)用與體現(xiàn)。另有學(xué)生想出更多的轉(zhuǎn)化方式：

【片段二】及時(shí)鞏固，讓轉(zhuǎn)化思想根深蒂固。

上述方法都把一個(gè)未知的、尚未建立面積公式的圓，轉(zhuǎn)化成為一個(gè)已經(jīng)能求出面積的基本圖形，根據(jù)剪拼前后的圖形關(guān)系，求出圓的面積。這種轉(zhuǎn)化思想是基于“化曲為直”、變“有限”為“無(wú)限”的思考，不同的推導(dǎo)思路讓學(xué)生感受方法的多樣性和一致性，加深對(duì)轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)，同時(shí)感悟“無(wú)限逼近”和“等積變形”的含義。

三、著眼未來(lái)，任重道遠(yuǎn)

“圓的面積”一課所承載的思想方法延續(xù)到圓柱的體積一課：

把一個(gè)圓柱沿半徑分成若干等份，然后拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，已知轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方體的高為6厘米，長(zhǎng)方體的表面積比圓柱多48平方厘米。那么，這個(gè)圓柱的體積是（? ?）立方厘米。

延伸變式把原命題中圓的面積問(wèn)題改為圓柱的體積問(wèn)題，是對(duì)原命題設(shè)計(jì)理念的一種延伸應(yīng)用，旨在評(píng)價(jià)解題者對(duì)圓柱體積公式推導(dǎo)過(guò)程的理解。

轉(zhuǎn)化思想的習(xí)得與運(yùn)用不是一蹴而就的，而應(yīng)該是循序漸進(jìn)，為提升學(xué)生思維能力服務(wù)的。轉(zhuǎn)化思想的滲透與運(yùn)用，要注重完善轉(zhuǎn)化思想在圖形與幾何教學(xué)中的情感構(gòu)建，要基于學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維方式的個(gè)體差異，逐步感悟“轉(zhuǎn)化”的魅力，收獲數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的快樂(lè)。