論體重分布Markov skeleton process的應(yīng)用 ①

魯 禹, 周 波

(佳木斯大學(xué)理學(xué)院,黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

肥胖癥在世界各國越來越受到關(guān)注。源于世界衛(wèi)生組織數(shù)據(jù)顯示，約有340萬人每年因肥胖死亡(主要由于引發(fā)的各種疾病)。根據(jù)英國醫(yī)學(xué)雜志《柳葉刀》的報(bào)道中國平均肥胖率達(dá)到12%，肥胖人口規(guī)模超2.5億，肥胖總?cè)藬?shù)高居世界第一。截止至2020年第一季度我國網(wǎng)民自身體重超重比占達(dá)36%。當(dāng)今減肥市場(chǎng)魚龍混雜，不乏無良商家，因此更加需要系統(tǒng)，科學(xué)的減肥方法幫助肥胖人群健康的減肥。運(yùn)用“減肥計(jì)劃模型”[1]，通過能量平衡原理：體重在某一時(shí)段內(nèi)發(fā)生變化的數(shù)值與人體內(nèi)能量變化數(shù)值相等，利用該階段內(nèi)攝入熱量數(shù)值與消耗熱量數(shù)值的差值，建立差分方程，表示這一時(shí)段內(nèi)關(guān)于人體重的函數(shù)。“減肥計(jì)劃模型”將體重僅僅看成是時(shí)間的函數(shù)，忽略不同人的身體情況(如年齡，性別，健康狀況等)；同時(shí)此模型無法表示出體重的瞬時(shí)分布。1997年,侯振挺教授等人首次提出馬爾可夫骨架過程(Markov skeleton process),并利用其理論合理應(yīng)用于排隊(duì)論、控制論等領(lǐng)域,解決了排隊(duì)論的瞬時(shí)分布、平穩(wěn)分布、遍歷性等一系列經(jīng)典難題。將減肥體重分布模型作為是隨機(jī)環(huán)境流體模型的推廣，借助馬爾可夫骨架過程將人類體重視作一類較為綜合隨機(jī)過程，進(jìn)一步考慮了不同人群之間的差異；同時(shí)對(duì)任一時(shí)刻的體重分布做出表述。

1 模型描述

利用馬爾可夫骨架過程及其極限分布考慮減肥過程中的的體重分布模型，根據(jù)相關(guān)生理特點(diǎn)，做出如下假設(shè):

(2)人在不同的代謝狀態(tài)下有著不同的能量攝入速度,V1,V2,…,VN,(例如在夏季和冬季人體的能量攝入速度就是不同的),能量攝入速度是被一個(gè)在有限狀態(tài)集E={1,2,…,N}中取值的半馬爾可夫過程{X(t);t≥0}所控制,在t時(shí)刻人體的攝入速度為VX(t)；

令

2 體重瞬時(shí)分布過程的數(shù)學(xué)建模

令θ(t)=inf{s≥0,X(t-s)≠X(t)}

θ(t)表示時(shí)刻t以前X(·)的最后一個(gè)斷點(diǎn)到t的時(shí)間間隔。

以T1表示X(t)在時(shí)刻0以后的第一個(gè)跳躍時(shí)刻，令

Fi,k(t)=

于是有：

考察W(t)的極限狀態(tài)，令

G(t)=(W(t),X(t),θ(t)),t>0；

以(EG,I)表示G(t)的狀態(tài)空間。假定P(W=0)=1(其直觀意義是體重可以以概率1減少)。

并設(shè){G(t),t≥0}是即約的,正常返的。取定i0∈E，這里i0表示W(wǎng)(t)=0,θ(t)=0時(shí)，X(t)所在狀態(tài)，令

r1=inf{t>0|G(t)=(0,i0,0)},r0≡0,

rn+1=rn+θrnrn,n=1,2,…

?x∈EG,t≥0,

令

易驗(yàn)證{G(t),t≥0}是以{rn}為骨架時(shí)序列的正常返的Doob骨架過程。且設(shè)X(t)在各狀態(tài)的逗留時(shí)間的分布函數(shù)是絕對(duì)連續(xù)的隨機(jī)變量,則可知D(x,·)是絕對(duì)連續(xù)的(?x∈EG),則{G(t),t≥0}是嚴(yán)正規(guī)的馬爾可夫骨架，得G(t)的極限分布P(·)如下:

A=W×E×{0,1}×R+×R+能確定{W(t),t≥0}的極限分布。

?i,j∈E,w,θ∈IR+,W,B∈B(IR+)，

令

=

P(W(t)∈W,X(t)=j,θ(t)∈

B,t

顯然有

(1-Fi,θ(t))I[0,S(w,i)](t)δijIB(t+θ)

由骨架過程的向后方程理論(參考[2])可得：

S(w,i),W,j,B,t-s(w,i))+

θ+s,W，j,B,t-s)

通過定理 1,可以唯一確定體重分布過程的有限維分布。

注意：

P(G(t)∈A,t

這里A=W×{j}×B,x=(w,i,θ)

3 結(jié) 語

馬爾可夫骨架過程屬綜合隨機(jī)過程，涵蓋面較廣，進(jìn)而其應(yīng)用前景十分寬廣，目前侯振挺等已在多個(gè)領(lǐng)域運(yùn)用馬爾可夫骨架過程理論體系均獲得成功。馬氏骨架過程理論研究最新成果顯示，通過進(jìn)一步探討馬爾可夫骨架過程的理論，對(duì)一類特殊的馬爾可夫骨架過程-Doob骨架過程并建立若干狀態(tài)下骨架過程，并應(yīng)用于馬爾可夫骨架過程的瞬時(shí)性態(tài)理論，獲得了體重分布模型的主要參量過程瞬時(shí)分布，便于減肥人群掌握各個(gè)時(shí)刻的體重情況。同時(shí)利用隨機(jī)流體模型可精準(zhǔn)衡量并記錄能量數(shù)值變化。

體重分布模型具有一定代表性，可適用于較多領(lǐng)域，其證明思路完全類似。尤其在經(jīng)濟(jì)方面可解決較多問題，如銀行存貸差，保險(xiǎn)公司盈利等。