考慮鐵損的永磁同步電機(jī)無位置傳感器控制算法

曾小華， 陳虹旭， 崔 臣， 宋大鳳

(吉林大學(xué) 汽車仿真與控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 吉林 長春 130025)

面對日益嚴(yán)峻的能源危機(jī)和環(huán)境問題，汽車行業(yè)正經(jīng)歷著從傳統(tǒng)內(nèi)燃機(jī)汽車向新能源汽車的轉(zhuǎn)變，永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor，PMSM)因其效率高、調(diào)速范圍寬等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于車用驅(qū)動電機(jī)領(lǐng)域[1].為實(shí)現(xiàn)對永磁同步電機(jī)的精確控制，常在電機(jī)中安裝高精度位置傳感器，如霍爾傳感器、光電編碼器等，但是位置傳感器的使用會提高電機(jī)系統(tǒng)成本，還易受振動、噪聲等因素影響降低系統(tǒng)的可靠性[2].因此，在電機(jī)控制系統(tǒng)的軟件層面開發(fā)無位置傳感器算法可以有效地降低成本、提高系統(tǒng)可靠性.

無位置傳感器算法可分為兩類：高頻注入法和觀測器法.高頻注入法主要適用于零速和低速工況，通過外加高頻激勵(lì)實(shí)現(xiàn)對轉(zhuǎn)子位置的估計(jì)，該方法需設(shè)計(jì)多個(gè)濾波器，控制復(fù)雜且運(yùn)算量大[3-4].

滑模觀測器(sliding mode obsever，SMO)算法通過設(shè)計(jì)合理的趨近律使觀測量估計(jì)值與測量值的差值趨近于零，根據(jù)觀測出的反電動勢值計(jì)算轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速[5].該方法具有魯棒性強(qiáng)、對模型參數(shù)變化的敏感性低等優(yōu)點(diǎn)，許多學(xué)者對基于SMO的無位置傳感器算法展開了研究.Peng等[6]在SMO算法的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)鎖相環(huán)從反電動勢中解算轉(zhuǎn)子位置和速度信號，以降低信號中的高頻抖振；Kim等[7]為克服傳統(tǒng)SMO算法中由于低通濾波器引入而產(chǎn)生的時(shí)間延遲問題，采用Sigmoid飽和函數(shù)代替開關(guān)函數(shù)獲得了良好的觀測效果；陳煒等[8]提出一種自適應(yīng)滑模觀測器算法對反電動勢進(jìn)行估計(jì)，改善了低速下轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的估計(jì)效果；劉震等[9]采用二階滑模理論設(shè)計(jì)反電動勢觀測器，減輕了觀測系統(tǒng)的抖振并提高了響應(yīng)速度.但上述這些無位置傳感器算法的研究均是基于簡化的PMSM等效電路模型，該模型以定子銅損作為電機(jī)運(yùn)行中的唯一損耗而忽略鐵芯損耗，基于簡化模型開發(fā)的無位置傳感器算法易造成轉(zhuǎn)子位置定位不準(zhǔn)、定子電壓易飽和等問題[10]，苑婷等[11]重構(gòu)PMSM鐵損模型，在此模型的基礎(chǔ)上應(yīng)用SMO算法觀測擴(kuò)展反電動勢實(shí)現(xiàn)無位置傳感器控制.目前考慮PMSM鐵損的無位置傳感器算法的研究還比較少.

基于以上的研究現(xiàn)狀，本文根據(jù)考慮鐵損的PMSM等效電路模型，得到扭矩電流的狀態(tài)微分表達(dá)式；分別在d-q軸系和α-β軸系下設(shè)計(jì)滑模觀測器，估計(jì)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和位置，在穩(wěn)態(tài)條件和動態(tài)條件下進(jìn)行了仿真分析；對不同軸系下得到的觀測結(jié)果進(jìn)行對比，提出了基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的融合算法，通過仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的觀測效果.

1 永磁同步電機(jī)鐵損模型

1.1 鐵損產(chǎn)生機(jī)理

電機(jī)在運(yùn)行過程中，轉(zhuǎn)子鐵芯和定子鐵芯中產(chǎn)生的損耗即為鐵芯損耗，簡稱鐵損.由Bertotti鐵損分離模型可知，鐵損按產(chǎn)生機(jī)理分為：渦流損耗、磁滯損耗和異常損耗[12]，只考慮鐵芯中磁感應(yīng)強(qiáng)度在大小上的變化，得到單位體積上的鐵芯損耗功率為

(1)

式中:Ph為磁滯損耗，W/m3；Pc為渦流損耗，W/m3；Pa為異常損耗，W/m3；kh為鐵芯的磁滯損耗系數(shù)，與材料和加工工藝相關(guān)；f為外加磁場的變化頻率，Hz；Bm為磁感應(yīng)強(qiáng)度幅值，T；kc為渦流損耗系數(shù)，與硅鋼片的電導(dǎo)率、厚度和密度有關(guān)；ka為異常損耗系數(shù).

由式(1)可見，鐵芯損耗隨外加磁場頻率的增大而增大，即隨電機(jī)轉(zhuǎn)速的升高，鐵芯損耗增大.且當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速逐漸升高時(shí)，鐵芯損耗占電機(jī)總損耗的比重會越來越大[11]，這也是對調(diào)速性能要求更嚴(yán)格、電機(jī)控制系統(tǒng)不能忽略鐵損的原因.

1.2 考慮鐵損的PMSM等效電路模型

將鐵芯損耗等效成在一鐵芯內(nèi)阻上產(chǎn)生的損耗，這個(gè)等效內(nèi)阻即為鐵損電阻.得到考慮鐵損電阻的永磁同步電機(jī)在d-q軸上的等效電路模型如圖1所示.圖中d-q軸電流分量id/iq一部分流經(jīng)鐵損電阻Rf產(chǎn)生鐵芯損耗，稱為鐵損電流idf/iqf；另一部分產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩，稱為扭矩電流idt/iqt.

圖1 考慮鐵損電阻的PMSM等效電路圖

根據(jù)圖1分別寫出d，q軸下的電壓方程和電流方程為

(2)

(3)

式中：Rc為銅損電阻；L為d，q軸上的電感，表貼式轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的d，q軸電感相同；ωe為電機(jī)電角速度；ψf為永磁體磁鏈.

由式(2)和式(3)得到扭矩電流的微分方程為

(4)

該狀態(tài)微分方程是考慮鐵損的永磁同步電機(jī)無位置傳感器控制算法研究的基礎(chǔ).

2 d-q軸系下的無位置傳感器算法

滑模觀測器算法的基本思路是以電流誤差作為滑模面函數(shù)的輸入，以反電動勢E作為觀測值，根據(jù)反電動勢的觀測值計(jì)算得到轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置信息.由于考慮鐵損的PMSM模型建立在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(d-q軸系)下，本節(jié)在該軸系下設(shè)計(jì)滑模觀測器進(jìn)行無位置傳感器算法研究.

2.1 滑模觀測器設(shè)計(jì)

根據(jù)式(4)，將電流狀態(tài)微分方程改寫為

(5)

(6)

選取電流估計(jì)誤差作為滑模面函數(shù)，如式(7)所示：

(7)

傳統(tǒng)的滑模觀測器選取開關(guān)函數(shù)構(gòu)造反電動勢觀測值，但由于開關(guān)函數(shù)是一個(gè)不連續(xù)的函數(shù)，會造成反電動勢觀測結(jié)果的高頻抖振，常增加低通濾波器以獲得光滑的觀測信號，但低通濾波器的引入會造成觀測結(jié)果延遲，因此本文采用連續(xù)飽和的Sigmoid函數(shù)代替開關(guān)函數(shù)，該函數(shù)的表達(dá)式為

(8)

式中，α為一正實(shí)數(shù).

反電動勢觀測值的表達(dá)式為

(9)

對式(6)和式(5)作差，得到電流誤差的微分方程為

(10)

(11)

若想滿足收斂條件，只需滿足式(11)第二項(xiàng)恒小于等于0即可.將式(9)代入，式(11)的第二項(xiàng)可表示為

(12)

(13)

2.2 仿真結(jié)果分析

本文仿真所用電機(jī)為一臺31 W的表貼式永磁同步電機(jī)，電機(jī)的部分參數(shù)：定子電阻為2.1 Ω，電感為1.4 mH，極對數(shù)為4，額定直流電壓為24 V，額定電流為1.8 A，鐵損電阻為(0.06ωe+50)(由試驗(yàn)測得)，應(yīng)用Matlab/Simulink搭建的PMSM無位置傳感器控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真.

其中，由電流傳感器得到定子三相電流ia，ib，ic，經(jīng)坐標(biāo)變換得到id，iq，根據(jù)式(14)得到扭矩電流的測量值idt和iqt.

(14)

首先給定目標(biāo)轉(zhuǎn)速3 000 r/min，得到電機(jī)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置的觀測結(jié)果如圖2所示.

由圖2可以看出，轉(zhuǎn)速觀測值能夠很好地跟隨實(shí)際值，最大誤差只有1 r/min，轉(zhuǎn)子位置觀測值由轉(zhuǎn)速觀測值積分得到，存在-0.12°的微小誤差.

設(shè)定目標(biāo)轉(zhuǎn)速為500 r/min，驗(yàn)證電機(jī)控制系統(tǒng)在低速時(shí)的轉(zhuǎn)速跟隨情況，得到電機(jī)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置的觀測結(jié)果和誤差如圖3所示.對比圖3與圖2，在保證參數(shù)kq和α不變的前提下，目標(biāo)轉(zhuǎn)速較低時(shí)收斂相對緩慢，轉(zhuǎn)速的觀測誤差在0.5 r/min以內(nèi)，且轉(zhuǎn)子位置的觀測誤差在-0.22°左右，精度足夠，算法的魯棒性較好.

圖2 3 000 r/min目標(biāo)轉(zhuǎn)速下觀測結(jié)果及誤差

圖3 目標(biāo)轉(zhuǎn)速為500 r/min下觀測結(jié)果及誤差

為了進(jìn)一步驗(yàn)證滑模觀測器的動態(tài)特性，分別在目標(biāo)轉(zhuǎn)速為0～3 000 r/min斜坡變化和3 000～500 r/min階躍變化下進(jìn)行仿真，得到無位置傳感器算法的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置觀測結(jié)果如圖4，圖5所示.

圖4 目標(biāo)轉(zhuǎn)速為0～3 000 r/min斜坡變化下觀測結(jié)果及誤差

由圖4可看出，斜坡輸入下轉(zhuǎn)速觀測值能持續(xù)跟隨目標(biāo)轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速誤差最大為-0.5 r/min，轉(zhuǎn)子位置誤差最大為-0.15°.圖5中在轉(zhuǎn)速突然變化后，轉(zhuǎn)速的估計(jì)值也能很好地跟隨實(shí)際值，最大誤差為-1 r/min，轉(zhuǎn)子位置誤差在-0.2°左右，不會影響到電機(jī)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，說明d-q軸系下設(shè)計(jì)的無位置傳感器算法具有良好的動態(tài)特性.

圖5 目標(biāo)轉(zhuǎn)速為3 000～500 r/min階躍變化下觀測結(jié)果及誤差

3 α-β軸系下的無位置傳感器算法

3.1 α-β軸系下的電機(jī)模型

首先推導(dǎo)α-β軸系下的扭矩電流狀態(tài)微分表達(dá)式.根據(jù)式(2)和式(3)，得到電壓狀態(tài)方程的矩陣形式為

(15)

對式(15)進(jìn)行反Park變換，反Park變換矩陣如式(16)所示，得到α-β軸系下的電壓狀態(tài)方程見式(17).

(16)

(17)

對式(17)進(jìn)一步整理得到α-β軸系下的扭矩電流iαt和iβt的狀態(tài)微分表達(dá)式為

(18)

對比式(18)和式(5)，α-β軸系下的扭矩電流狀態(tài)方程沒有兩軸間的電流耦合，兩軸上的反電動勢既包含轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速信號，也包含位置信號，因此通過觀測該軸系下的反電動勢計(jì)算得到的轉(zhuǎn)子位置信號，可以避免由轉(zhuǎn)速積分帶來的累計(jì)誤差.

其中，針對扭矩電流的測量值iαt，iβt，由傳感器直接測量的ia，ib和ic經(jīng)過坐標(biāo)變換得到iα和iβ后推導(dǎo)計(jì)算得到.其表達(dá)式為

(19)

3.2 滑模觀測器設(shè)計(jì)

根據(jù)式(18)，兩軸上的反電動勢分量分別為Eα=-ωeψfsinθe，Eβ=ωeψfcosθe.根據(jù)式(18)建立觀測器模型為

(20)

選取扭矩電流估計(jì)誤差作為滑模面函數(shù)s，其微分表達(dá)式為

(21)

參照2.1節(jié)的設(shè)計(jì)思路，使用Sigmoid函數(shù)f(x)表示反電動勢的估計(jì)值為

(22)

根據(jù)收斂準(zhǔn)則，得到可調(diào)參數(shù)kα，kβ的收斂條件為kα，kβ≥ωeψf.

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和位置的觀測值通過式(23)計(jì)算得到：

(23)

3.3 仿真結(jié)果分析

當(dāng)目標(biāo)轉(zhuǎn)速為3 000 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和位置的觀測結(jié)果如圖6所示.由圖可見，α-β軸系下的觀測結(jié)果中存在較大幅值的高頻抖動現(xiàn)象.對比d-q軸系下的反電動勢表達(dá)式，α-β軸系下的反電動勢為一正弦(余弦)信號.由式(22)可知，由于鐵損電阻的引入和電機(jī)控制系統(tǒng)中電流環(huán)的調(diào)節(jié)作用，難以保證扭矩電流誤差信號為一標(biāo)準(zhǔn)的正弦信號，因此由電流誤差信號觀測得到的反電動勢及由此算出的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置信號存在高頻抖振.

圖6 3 000 r/min目標(biāo)轉(zhuǎn)速下觀測結(jié)果及誤差

圖7為α-β軸上的電流信號及誤差，由圖7e,圖7f放大圖可以看出，電流信號中摻雜著不規(guī)則諧波.對比圖2所示d-q軸系下的轉(zhuǎn)速觀測結(jié)果，d-q軸系下反電動勢為一正比于轉(zhuǎn)速的穩(wěn)定信號，其電流估計(jì)誤差也為穩(wěn)定信號，因此轉(zhuǎn)速觀測信號穩(wěn)定，觀測效果較好.雖然α-β軸系下轉(zhuǎn)速觀測結(jié)果較差，但由于轉(zhuǎn)子位置信號的觀測值通過反三角函數(shù)計(jì)算得到，不依賴于轉(zhuǎn)速信號，且在設(shè)計(jì)觀測器時(shí)，兩軸上并無耦合關(guān)系，因此轉(zhuǎn)子位置的觀測結(jié)果對比圖2中d-q軸系下的觀測結(jié)果，其觀測誤差最大值為0.06°，在0.02 s后，雖然存在高頻抖振，但抖振幅值在0.005°左右，與實(shí)際信號誤差很小，準(zhǔn)確性較高.

3.4 基于EKF的融合觀測算法

根據(jù)2.2節(jié)和3.3節(jié)的仿真分析結(jié)果可知，在d-q軸系下設(shè)計(jì)的算法可以較準(zhǔn)確地觀測出轉(zhuǎn)速信號，但轉(zhuǎn)子位置信號的觀測值易產(chǎn)生累計(jì)誤差；而在α-β軸系下得到的觀測信號中含有不規(guī)則抖振，難以直接應(yīng)用在電機(jī)控制系統(tǒng)，但位置觀測信號的準(zhǔn)確性較高.因此設(shè)計(jì)基于擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)的融合觀測算法，將α-β軸系下的轉(zhuǎn)子位置信號中的抖振信號視作噪聲，對其進(jìn)行濾波處理獲得可信性更高的轉(zhuǎn)子位置信號.該方法首先將電機(jī)模型離散化，然后通過預(yù)測、計(jì)算卡爾曼增益、修正等環(huán)節(jié)得到轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速信號[14-15].

圖7 電流信號觀測結(jié)果及誤差

(24)

(25)

根據(jù)式(24)和式(25)，EKF算法可以表示為

(26)

P(k|k-1)=P(k-1|k-1)+Q,

(27)

(28)

(29)

P(k|k)=[1-K(k)]P(k|k-1).

(30)

其中：式(26)，式(27)為預(yù)測階段方程；P(k|k-1)為第k步下誤差協(xié)方差的預(yù)測值；Q為預(yù)測過程噪聲的方差；式(28)為卡爾曼增益計(jì)算方程，R為V的方差；式(29)，式(30)為修正階段方程.

式(29)即為卡爾曼濾波器最終輸出的轉(zhuǎn)子位置信號，轉(zhuǎn)速信號仍采用d-q軸系下的觀測值.為驗(yàn)證融合觀測算法在電機(jī)長時(shí)間運(yùn)行、工況發(fā)生改變后的觀測效果，設(shè)置仿真時(shí)間為1 s的多變工況，采用d-q軸系下設(shè)計(jì)的觀測算法與基于EKF的融合觀測算法觀測結(jié)果如圖8和圖9所示.

圖8 基于d-q軸系的無位置傳感器算法觀測結(jié)果

圖9 基于EKF的融合觀測算法觀測結(jié)果

由觀測結(jié)果可見，該仿真條件下基于d-q軸系的觀測算法的轉(zhuǎn)速觀測誤差最大值為1.2 r/min，轉(zhuǎn)子位置觀測誤差最大值為-1.1°；采用融合觀測算法得到轉(zhuǎn)速觀測誤差最大值為0.1 r/min，位置觀測誤差最大值為-0.08°，誤差縮小到原誤差的10%以下.

4 實(shí)驗(yàn)分析

基于圖10所示的硬件系統(tǒng)對基于EKF的融合觀測算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，電機(jī)為仿真所用31 W表貼式永磁同步電機(jī)，內(nèi)裝有混合式光電編碼器，用于驗(yàn)證無位置傳感器觀測算法的準(zhǔn)確性.

圖10 永磁同步電機(jī)實(shí)驗(yàn)硬件系統(tǒng)

首先應(yīng)用Simulink軟件搭建PMSM無位置傳感器控制系統(tǒng)的各模塊；然后進(jìn)行數(shù)據(jù)管理與參數(shù)配置，對各模塊進(jìn)行編譯生成代碼；最后將生成的代碼在CCS(code composer studio)軟件環(huán)境下進(jìn)行集成，編譯進(jìn)仿真器進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

在轉(zhuǎn)速控制模式下，PMSM的控制目標(biāo)、傳感器測量和由無位置傳感器觀測到的轉(zhuǎn)速對比曲線及其細(xì)節(jié)放大圖如圖11所示，由傳感器測得的轉(zhuǎn)子位置與融合觀測算法得到的轉(zhuǎn)子位置誤差曲線如圖12所示.

圖11 轉(zhuǎn)速結(jié)果對比

圖12 轉(zhuǎn)子位置誤差

在電機(jī)的實(shí)際控制系統(tǒng)中，由于逆變器的死區(qū)效應(yīng)、電機(jī)本體永磁體磁場的設(shè)計(jì)偏差與工藝限制等影響，都會在電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速中引入諧波，從而導(dǎo)致電機(jī)實(shí)際輸出轉(zhuǎn)速在目標(biāo)轉(zhuǎn)速附近存在波動，而在電機(jī)的仿真系統(tǒng)中這些因素的影響均被忽略，同時(shí)，傳感器也會存在一定的測量誤差.由傳感器測得和基于EKF融合觀測算法得到的轉(zhuǎn)子位置誤差在±3°范圍內(nèi)，電機(jī)轉(zhuǎn)速實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表1所示.由表1可見，傳感器測量轉(zhuǎn)速相比于目標(biāo)轉(zhuǎn)速的平均誤差率為0.299%，基于EKF融合觀測算法觀測轉(zhuǎn)速相比于目標(biāo)轉(zhuǎn)速的平均誤差率為0.32%，傳感器與融合觀測算法的相對誤差率為0.021%，對比圖9的仿真結(jié)果，轉(zhuǎn)速誤差率最大值為0.01%，實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比仿真結(jié)果誤差增大，但仍保證了較高的準(zhǔn)確性.實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明所提出的基于EKF的融合觀測算法能達(dá)到與傳感器相當(dāng)?shù)男Ч捎糜趯?shí)際的電機(jī)控制系統(tǒng).

表1 機(jī)械轉(zhuǎn)速實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)

5 結(jié) 論

1) 針對考慮鐵損的PMSM等效電路模型，分別在d-q軸系和α-β軸系設(shè)計(jì)滑模觀測器進(jìn)行無位置傳感器算法研究.在兩軸系下搭建了觀測器模型并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證.結(jié)果表明，d-q軸系下的無位置傳感器算法得到的轉(zhuǎn)速觀測信號準(zhǔn)確度高、魯棒性好、動態(tài)特性良好，但轉(zhuǎn)子位置信號易產(chǎn)生累計(jì)誤差；α-β軸系下的無位置傳感器算法得到的觀測信號存在高頻抖振，難以應(yīng)用于電機(jī)控制系統(tǒng)，但轉(zhuǎn)子位置信號的準(zhǔn)確度更高.

2) 采用卡爾曼濾波器對兩軸系下的觀測信號進(jìn)行融合，得到可信度更高的轉(zhuǎn)子位置信號.仿真結(jié)果表明：基于EKF的融合觀測算法對比d-q軸系下的SMO算法，觀測結(jié)果誤差小，觀測信號中不存在高頻抖振.融合觀測算法實(shí)驗(yàn)表明：由傳感器測量和融合觀測算法得到的轉(zhuǎn)速其相對轉(zhuǎn)速誤差率較小，驗(yàn)證了基于EKF的融合觀測算法的有效性，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.