為什么要引入復(fù)數(shù)

二、虛數(shù)的爭(zhēng)議

虛數(shù)產(chǎn)生之后，在數(shù)學(xué)界引起了巨大的爭(zhēng)議，主要分成三派.一派認(rèn)為虛數(shù)是存在的，比如微積分的先驅(qū)者之一沃利斯，他試圖用幾何方法解釋虛數(shù).另一派是以數(shù)學(xué)家笛卡爾為代表的學(xué)派，他們不承認(rèn)或反對(duì)虛數(shù)，認(rèn)為虛數(shù)是想象的、虛構(gòu)的.第三派是以萊布尼茨為代表的學(xué)派，萊布尼茲在1702年曾說：復(fù)數(shù)“猶如存在和不存在的兩棲物”.

虛數(shù)的名稱是笛卡爾給出的，他不能接受復(fù)根.于是，在他1637年出版的《幾何》這本書中解釋復(fù)根時(shí)說“但它們始終是虛的”.在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，歐拉是第一個(gè)使用虛數(shù)符號(hào)i來表示√-1的，并寫在他1777年提交給圣彼得堡科學(xué)院的論文中，這篇論文直到1794年才發(fā)表，那是在歐拉逝世后11年.但是，歐拉并沒有確切地掌握復(fù)數(shù)運(yùn)算，在他1770年出版地《代數(shù)》一書中認(rèn)為√（-1）·√（-4）=√（-1）·2=2，其中理由是√a·√b=√ab.歐拉盡管在許多地方用了虛數(shù)，但又說：“一切形如，√（-1），√（-2）的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因?yàn)樗鼈兯硎镜氖秦?fù)數(shù)的平方根.對(duì)于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻.”

歐拉

有了虛數(shù)的符號(hào)，就可以定義復(fù)數(shù)了，用C表示復(fù)數(shù)的集合.虛數(shù)與實(shí)數(shù)一起組合成了復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)通常用a+bi的形式表示，其中a和b都是實(shí)數(shù)，而i=√（-1），也稱為“虛數(shù)單位”.實(shí)數(shù)a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，而b叫做復(fù)數(shù)的虛部.實(shí)數(shù)可以被認(rèn)為是虛部為零的復(fù)數(shù).

與實(shí)數(shù)不同，在復(fù)數(shù)集合中不存在大小關(guān)系，也就是說兩個(gè)復(fù)數(shù)之間不能比較大小.這并不以外，因?yàn)槿魏螖?shù)對(duì)（包括向量）都不能在通常意義下比較大小.但是，復(fù)數(shù)集合卻包含實(shí)數(shù)集合，因?yàn)橹恍枰趶?fù)數(shù)中令虛數(shù)i前面的系數(shù)為0就可以了.對(duì)復(fù)數(shù)可以定義運(yùn)算.

三、復(fù)數(shù)的解釋

高斯

那么復(fù)數(shù)在現(xiàn)實(shí)中怎么可視化呢？最早發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題的是數(shù)學(xué)家韋塞爾（Wessel），他給了復(fù)數(shù)幾何和向量的解釋，使得復(fù)數(shù)能通過XY平面實(shí)現(xiàn)可視化.后來高斯在1831年也提出這樣的平面表示法，系統(tǒng)地完善了復(fù)數(shù)理論，他第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個(gè)名詞，還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法——直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合，統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，擴(kuò)展為平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng).高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點(diǎn)，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法，如圖.

四、復(fù)數(shù)的結(jié)構(gòu)

復(fù)數(shù)中包含了群、環(huán)、域、線性空間等結(jié)構(gòu).加減乘除運(yùn)算法則和實(shí)數(shù)域中的一樣，有交換律、結(jié)合律、分配律.不同的地方是，復(fù)數(shù)可以進(jìn)行開方運(yùn)算，后來逐漸發(fā)展出了四元數(shù)、八元數(shù)等.但四元數(shù)的乘法運(yùn)算中不再有交換律;八元數(shù)的運(yùn)算中連結(jié)合律都沒有.

實(shí)數(shù)域中有一個(gè)重要的結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)，可以用來比較兩個(gè)數(shù)的大小.對(duì)于復(fù)數(shù)，雖然可以給它一個(gè)序，但是這個(gè)序一定不會(huì)和代數(shù)結(jié)構(gòu)相容，就是與域結(jié)構(gòu)不相容.所謂與域結(jié)構(gòu)相容（即有序域）就是說，對(duì)于序a

復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域的維數(shù)也不同，一個(gè)是1維，一個(gè)是2維.復(fù)數(shù)中還有共軛結(jié)構(gòu).復(fù)數(shù)中的代數(shù)、幾何、拓?fù)洹⒎治鼋Y(jié)構(gòu)以及復(fù)合結(jié)構(gòu)，是最基本、最簡(jiǎn)單的具有復(fù)合結(jié)構(gòu)的復(fù)流形及復(fù)李群.

五、復(fù)數(shù)的奇妙之處

復(fù)數(shù)起初可能看起來很奇怪，但我們完全可以把虛單位i看作一個(gè)代數(shù)，把復(fù)數(shù)的加減乘除看作一元多項(xiàng)式的加減乘除.例如，對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行加減，你只需把實(shí)部和虛部彼此結(jié)合起來即可，這類似于對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行合并同類項(xiàng);復(fù)數(shù)的乘法，可以借助適用于分配律來完成的.對(duì)于除法，我們完全可以將其轉(zhuǎn)換為乘法，只不過乘上去的是除數(shù)的倒數(shù).

跟實(shí)數(shù)一樣，復(fù)數(shù)的乘法遵循乘法交換律，這意味著當(dāng)你以任意順序乘以兩個(gè)復(fù)數(shù)時(shí)，其結(jié)果是相同的.此外，復(fù)數(shù)的乘法也遵循乘法結(jié)合律，這意味著將兩個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘時(shí)，你可以自由選擇先乘哪一對(duì).

虛數(shù)的引入，開啟了一個(gè)全新的數(shù)學(xué)世界.這是一個(gè)奇怪的世界，平方可以是負(fù)的，但是它的算法與我們熟悉的實(shí)數(shù)非常相似.但對(duì)實(shí)數(shù)的擴(kuò)展，這只是一個(gè)開始.

高斯引進(jìn)復(fù)整數(shù)解決了兩個(gè)數(shù)的平方和問題，即哪些正整數(shù)可以表示成兩個(gè)整數(shù)的平方和，有多少表示方法？因?yàn)橐粋€(gè)整數(shù)寫成a2+b2，那就等于a+bi乘上a-bi，后來他證明這種數(shù)有跟整數(shù)類似的性質(zhì)：任何一個(gè)自然數(shù)都可以分解成素?cái)?shù)的乘積.利用這樣一個(gè)基本的虛數(shù)關(guān)系就把兩個(gè)數(shù)的平方和問題完全解決了.

庫默爾（Kummer）通過引入分圓域（有理數(shù)域添加單位根這樣的虛數(shù)而生成的數(shù)域）來研究費(fèi)馬大定理，這是代數(shù)數(shù)論的一個(gè)源頭.上世紀(jì)90年代解決費(fèi)馬大定理，要用到模形式、橢圓曲線，這也是離不開復(fù)數(shù)的.這個(gè)猜想看上去是和復(fù)數(shù)一點(diǎn)關(guān)系也沒有，但到最后解決它仍離不開復(fù)數(shù).

陳省身

陳省身先生說過，復(fù)數(shù)的引進(jìn)是數(shù)學(xué)史上的一件大事情.第一屆菲爾茲獎(jiǎng)獲得者阿爾福斯（Ahlfors）也說，對(duì)精準(zhǔn)函數(shù)作分析，通常需要考慮它們?cè)趶?fù)數(shù)域上的性質(zhì)，因?yàn)閺?fù)數(shù)域是一個(gè)代數(shù)閉域.求3次方程的根在實(shí)數(shù)域上求不出，用虛數(shù)自然就能求出.這是一個(gè)很重要的思想.

六、“虛數(shù)”不虛

“虛數(shù)”不虛也反映了一個(gè)非常重要的一個(gè)理念，就是“無用之用”.在最初研究復(fù)數(shù)時(shí)，人們覺得它沒有實(shí)用，但現(xiàn)在應(yīng)用非常廣泛.在前蘇聯(lián)，拉夫連季耶夫（Лаврентьев）和沙巴特（Шабат Б）寫了一本書《復(fù)變函數(shù)論方法》.兩位杰出的數(shù)學(xué)家在這本書里舉出很多例子，反映了復(fù)變函數(shù)的重要應(yīng)用，包括在流體力學(xué)、氣體動(dòng)力學(xué)、彈性力學(xué)、電磁學(xué)、電工學(xué)、電路計(jì)算、機(jī)翼設(shè)計(jì)等方面.

愛因斯坦狹義相對(duì)論在闡述四維時(shí)空中的距離時(shí)，引入虛數(shù)，更容易讓人接受;在電磁學(xué)、通信領(lǐng)域引入虛數(shù)更容易理解.當(dāng)然這些理論，不一定非要引入虛數(shù)來解釋.但是量子力學(xué)不得不引入虛數(shù)了，根據(jù)海森堡不確定性原理，沒有進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，單個(gè)原子所處的位置是不確定的，引入虛數(shù)后計(jì)算電子位置的概率，概率分布用具有復(fù)數(shù)值的波函數(shù)來表示的.

通過添加一個(gè)或多個(gè)“虛構(gòu)”的數(shù)，我們可以把實(shí)數(shù)拓展為復(fù)數(shù)、四元數(shù)和八元數(shù).這些數(shù)系看似遠(yuǎn)離了現(xiàn)實(shí)，但是它們能給我們帶來思考數(shù)學(xué)世界的新的方式，而且，我們總能給它們找到用武之地.

隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對(duì)于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù).

經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈——虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛呵.虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而使實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集.