“微元與求和思想”在高中物理解題中的應(yīng)用

莫桂華

【摘要】“科學(xué)思維”是新課程標(biāo)準(zhǔn)中物理學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成，物理教學(xué)中不僅要重視概念與規(guī)律的傳授，也要重視科學(xué)思維方法的培養(yǎng)?！拔⒃c求和思想”在高中物理教學(xué)中經(jīng)常使用，比如，瞬時(shí)速度的定義與測(cè)量、勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的推導(dǎo)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移的求解、物體沿曲線運(yùn)動(dòng)重力的做功等?！拔⒃c求和思想”是中學(xué)階段學(xué)生必須理解和掌握的物理學(xué)科思想方法之一，在高中階段各類型的考試中，也常有考查。本文將通過典型題目，探討 “微元與求和思想”在高中物理解題中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】微元;求和;高中物理;應(yīng)用

一、什么是“微元與求和思想”

“微元與求和思想”實(shí)際上就是數(shù)學(xué)里面的微積分思想，在解題應(yīng)用中稱為微元法。“微元與求和”的具體操作就是把整體或整個(gè)過程進(jìn)行無限的細(xì)分和逼近，找出微元及其所遵循的規(guī)律，然后進(jìn)行累計(jì)求和，最終找到宏觀的物理規(guī)律，從而解決問題。

“微元與求和思想”是分析和研究連續(xù)分布的對(duì)象，或受到非線性變化的外力作用，或經(jīng)歷不均勻變化過程等情況的強(qiáng)有力的手段，是中學(xué)階段學(xué)生必須理解和掌握的物理學(xué)科思想方法之一。

二、“微元與求和”的解題應(yīng)用步驟

典型例題：長(zhǎng)為L(zhǎng)的船靜止在平靜的水面上，立于船頭的人質(zhì)量為m，船的質(zhì)量為M，不計(jì)水的阻力，人從船頭走到船尾的過程中，問：船的位移為多大？

1.微元的選取

把人從船頭走到船尾的過程無限分割，任取其中一段無限短的時(shí)間△t作為微元來研究，可認(rèn)為人和船在此時(shí)間內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)人與船在△t內(nèi)速度分別為。

2.建立微元方程

以人船整體為研究對(duì)象，人從船頭走到船尾的過程中，整體所受合外力為零，由動(dòng)量守恒可得，兩邊同時(shí)乘以△t，可得 ，在這極短的時(shí)間內(nèi)可認(rèn)為人和船的速率不變，可以求得人和船位移大小分別為， ，代入可得微元方程：。

3.累積求和

把所有的元位移分別相加有：，即，其中分別為全過程中人和船對(duì)地位移的大小，由幾何關(guān)系可得? ，最終求得船的位移。

三、“微元與求和思想”在高中物理解題中的應(yīng)用

1.微元求和應(yīng)用于求轉(zhuǎn)動(dòng)切割導(dǎo)體棒電動(dòng)勢(shì)

例題1： 一根長(zhǎng)為l，以角速度w繞其一端點(diǎn)O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的導(dǎo)體棒OA，試求導(dǎo)體棒兩端電動(dòng)勢(shì)的大小。

解析：將OA細(xì)分為n（n無窮大）段，取第i段微元分析，其切割速度大小為，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為累積求和可得導(dǎo)體棒OA的電動(dòng)勢(shì)：

評(píng)析：用微元求和的方法求解此題，數(shù)學(xué)難度會(huì)大一些，但比起課本里面構(gòu)建回路，使用法拉第電磁感應(yīng)定律求解，或者直接告訴學(xué)生用平均速度計(jì)算，學(xué)生反而更容易理解。

2.微元求和應(yīng)用于求非點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度

例題2：半徑為R、電量為Q的圓環(huán)上電荷均勻分布，求圓環(huán)軸線上距離圓心O為x的P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解析：帶電圓環(huán)不能看作電荷量集中在圓心的點(diǎn)電荷，故使用微元求和的方法來求解。選電荷元 它在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)沿x軸的分量為：

，求和并根據(jù)對(duì)稱性可得：

且電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿軸線方向。

評(píng)析：題目是“微元與求和思想”在靜電場(chǎng)中的典型應(yīng)用。通過靈活選取微元，利用點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式進(jìn)行矢量疊加求和，實(shí)現(xiàn)了問題的解決。更重要的是，通過思想方法的選取，把看似不能解決的問題，轉(zhuǎn)化為可以用已有的規(guī)律解決的問題。

3.微元求和應(yīng)用于變加速直線運(yùn)動(dòng)求位移

例題3：某研究小組經(jīng)查閱資料了解到，在空氣中低速下落的物體所受的空氣阻力可認(rèn)為與物體速度大小成正比關(guān)系（比例系數(shù)k為0.75），因此，下落的物體最終會(huì)達(dá)到一個(gè)恒定的速度，稱之為收尾速度.如圖所示為小球由靜止開始，在低速下落過程中速度隨時(shí)間變化的一部分圖象。已知小球的質(zhì)量m = 0.5 kg，，求小球在0～0.5 s內(nèi)的位移大小。

解析：選取時(shí)間微元，由牛頓第二定律可得，公式兩邊同時(shí)乘以，，累積求和：，其中，，，可得：，代入數(shù)據(jù)，可以解得 。

4.微元求和應(yīng)用于變化的電流求電荷量

例題4：兩根間距為L(zhǎng)，足夠長(zhǎng)的水平放置的光滑平行金屬導(dǎo)軌通過電阻R連接，導(dǎo)軌間存在垂直導(dǎo)軌平面向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一質(zhì)量為m且與導(dǎo)軌接觸良好的導(dǎo)體棒以初速度向右運(yùn)動(dòng)，求通過電阻R的總電荷量q。

解析：選取時(shí)間微元△t，由動(dòng)量定理可得，累積求和，可得，其中，，解得。

5.微元求和應(yīng)用于求變力做功

例題5：兩個(gè)帶異號(hào)電荷的小球A和B，電荷量分別為q與Q，質(zhì)量分別為m和M。A在B的右方，且與B相距。 初始時(shí)刻，B的速度為0，A具有向右的速度，同時(shí)A還受到一個(gè)向右的作用力f而保持勻速運(yùn)動(dòng)，求從開始到兩球間距離最大的過程中f所做的功及兩球的最大距離（A和B均可視為點(diǎn)電荷）。

解析：隨著兩帶電小球距離變化，它們之間庫(kù)侖力發(fā)生改變，所以f為變力，在相對(duì)B球靜止的參考系S中考察問題。初始時(shí)，A球的速度為，B球的速度為0，當(dāng)兩球的距離達(dá)到最大值時(shí)，兩球速度相等，都是，根據(jù)動(dòng)量定理與功能關(guān)系有， 式中I和W分別是在所考察過程中變力f的沖量和功。在所考察的過程中某一小段時(shí)間間隔內(nèi)，的沖量為，在所考察的過程中，f的總沖量為，在時(shí)間內(nèi)，A球的位移，力做的功為，在所考察的過程中，f的總功為，聯(lián)立解得。

6.微元求和應(yīng)用于求變力沖量

例題6：如圖所示，電源的電動(dòng)勢(shì)為E，電容器的電容為C，同一水平面上有兩根間距為L(zhǎng)，不計(jì)電阻的平行光滑長(zhǎng)直導(dǎo)軌MN、PQ，導(dǎo)軌內(nèi)部存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于兩導(dǎo)軌所在平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng). 把兩根電阻相同、質(zhì)量分別為和（）的導(dǎo)體小棒和無初速地橫放在導(dǎo)軌上，且它們?cè)趯?dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)與導(dǎo)軌保持垂直并接觸良好?，F(xiàn)將單刀雙擲開關(guān)開關(guān)S先合向1，待電路穩(wěn)定后再合向2。求兩根小棒最終的速度大小。

解析：設(shè)兩小棒最終的速度的大小為v，則分別為、為研究對(duì)象得：， ，① 同理得： ②由①、②得：又因?yàn)?、、、，所以累積求和可得：

而Q=CE，q=CU′=CBLv ，所以解得小棒的最終速度

評(píng)析：從上面例題3到例題6四個(gè)題目的解答過程可以看出，如果遇到求解一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的積累的問題，比如功是力在位移上的積累，沖量是力對(duì)時(shí)間的積累，位移是速度對(duì)時(shí)間的積累，電量是電流對(duì)時(shí)間的積累，微元與求和是一種非常好用的方法。

四、結(jié)束語(yǔ)

“微元與求和思想”作為高中物理教學(xué)中提高學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的核心思想方法之一，在力學(xué)和電磁學(xué)等模塊都有廣泛的應(yīng)用，教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該予以重視。目前，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容涵蓋了微積分的初步知識(shí)，“微元與求和的思想”在物理中的應(yīng)用一方面可以與數(shù)學(xué)的內(nèi)容呼應(yīng)，加深對(duì)微積分初步知識(shí)的理解;另外一方面也有利于加強(qiáng)物理過程分析的嚴(yán)密性。

參考文獻(xiàn)：

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