淺談常微分方程教學(xué)中解的存在唯一性定理

薛帥帥 鄧海云

摘要物理、生物、化學(xué)以及工程技術(shù)中的大量問題，如果用數(shù)學(xué)語言加以精確描述，常常會出現(xiàn)微分方程，而解的存在唯一性定理又是解微分方程的前提和理論基礎(chǔ)。本文主要探討在常微分方程課程教學(xué)中證明解的存在唯一性定理的證明思路，目的是通過補充說明使證明更容易理解。解的存在唯一性定理的證明過程，提供了一個全面鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維習(xí)慣與能力的契機，希望學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能更加深刻的理解其中所包含的想法，培養(yǎng)善于思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

關(guān)鍵詞 常微分方程 解 存在性 唯一性

中圖分類號：G424文獻(xiàn)標(biāo)識碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.27.039

On the Existence and Uniqueness Theorem of Solutions in the Teaching of Ordinary Differential Equations

XUE Shuaishuai， DENG Haiyun

（School of Statistics and Data Science， Nanjing Audit University， Nanjing， Jiangsu 211815）

AbstractIf a large number of problems in physics， biology， chemistry and engineering technology are accurately described in mathematical language， differential equations often appear， and the existence and uniqueness theorem of solutions is the premise and theoretical basis for solving differential equations. This paper mainly discusses the proof idea of proving the existenceand uniqueness theorem ofsolution intheteachingofordinarydifferentialequation，inordertomake theproofeasier to understand through supplementary explanation. The proof process of the existence and uniqueness theorem of solution providesanopportunitytocomprehensivelyexercisestudents’mathematicalthinkinghabitsandabilities.Itishopedthatstudents canmoredeeplyunderstandtheideascontained initandcultivatethinkinglearninghabitsinthelearningprocess.

Keywordsordinary differential equation； solution； existence； uniqueness

常微分方程是一門非常重要且實用的課程，與分析學(xué)有著天然的血緣關(guān)系，常微分方程是伴隨微積分的發(fā)展而產(chǎn)生并逐步完善的。尤其當(dāng)今時代計算機的迅速發(fā)展，更是為這門課的理論研究以及實際應(yīng)用提供了強有力的工具。同時，常微分方程還與控制、彈道計算，導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性、生態(tài)學(xué)等其他學(xué)科領(lǐng)域交叉發(fā)展，應(yīng)用常微分方程理論取得了豐富的發(fā)展

我們知道，常微分方程發(fā)展初期確實是希望用初等函數(shù)甚至用超越函數(shù)去表示微分方程的解。但是，常微分方程能用初等解法求解的類型少之又少，大量的常微分方程是不能用固定的方法進(jìn)行求解的。然而，實際往往又需要我們對這些方程進(jìn)行求解，常微分方程開始轉(zhuǎn)而求定解。那么在求定解之前，首先我們就要考慮兩個非常重要的問題，方程是否有解？解是否唯一？如果這個方程存在唯一解，但是很難求解出來，我們可不可以退而求其次找到它的近似解，計算機使得微分方程的近似解法具有了重要的現(xiàn)實意義。本文談及的解的存在唯一性定理恰恰又是這些問題的理論基石，解存在是進(jìn)行近似計算的前提條件，解唯一又保證近似計算所得的解即是所需要的解。本文目的主要幫助學(xué)生理清證明解的存在唯一性定理的證明思路，尤其強調(diào)證明過程中所包含的求近似解的迭代方法。

解的存在唯一性定理一直是本門課程的一個重點以及難點，究其原因在于定理證明過程中涉及很多相關(guān)知識點的靈活運用。這五個步驟分散了理解定理的難度，同時又是一個有機的整體。這也需要我們在今后的教學(xué)中，更加注重適應(yīng)學(xué)生的思維習(xí)慣。當(dāng)然，除了本文所講的方法之外，還有其他方法，比如使用壓縮映像原理證明，都是非常經(jīng)典的方法，但是后者可能需要后續(xù)課程泛函分析關(guān)于完備性，距離等概念的使用，鼓勵數(shù)學(xué)系學(xué)生在學(xué)完相關(guān)概念后，再次研究一下解的存在唯一性定理的其他證明方法，會發(fā)現(xiàn)證明過程會更加簡潔。當(dāng)然，關(guān)于放寬定理條件，能得到什么結(jié)論，同樣是數(shù)學(xué)系學(xué)生應(yīng)該去琢磨思考的問題。

由于課程課時的限制，本節(jié)內(nèi)容，一般在4個課時左右，先給學(xué)生講述定理的實際意義，接著陳述定理的內(nèi)容，在證明過程中，分散難點，在整體結(jié)構(gòu)上去理解五個命題的一致性，先從思想上引導(dǎo)學(xué)生去深入思考，突出其中蘊含的迭代的想法，根據(jù)面向的不同層次的學(xué)生，強調(diào)相應(yīng)的細(xì)節(jié)證明，既保證了授課效果，同時也節(jié)省了課時。在引導(dǎo)學(xué)生思考，打開思路的過程中，要善于肯定學(xué)生的奇思妙想，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，鼓勵學(xué)生共同參與證明細(xì)節(jié)的補充，教師要善于通過上課教學(xué)的節(jié)奏變化，使用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段和方法，充分調(diào)動學(xué)生的上課學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生從被動聽講到積極主動參與到學(xué)習(xí)思考。在學(xué)生掌握定理的本質(zhì)想法后，通過追加注記的方式，通過具體的例題，[5]再次加深理解的存在唯一性定理的條件，結(jié)論以及應(yīng)用等內(nèi)容。

*通訊作者：鄧海云

基金項目：2020年度國家自然科學(xué)基金項目“非線性薛定諤方程的可約化的KAM環(huán)面”（12001275）

參考文獻(xiàn)

[1]王高雄.常微分方程.第3版[M].高等教育出版社，2006：75-102.

[2]孫清華，李金蘭，孫昊.常微分方程內(nèi)容、方法與技巧[M].華中科技大學(xué)出版社，2006：96-131.

[3]葉彥謙.常微分方程講義[M].人民教育出版社，1982：73-103.

[4]丁同仁，李承治.常微分方程教程（第2版）[M].高等教育出版社， 2004：63-89.

[5]莊萬.常微分方程習(xí)題解[M].山東科學(xué)技術(shù)出版社，2003：170-207.