一種涉及大地坐標(biāo)的大角度三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法

馬 雷 邵先鋒 楊泰朋

(國網(wǎng)安徽省電力有限公司建設(shè)分公司，安徽 合肥 230022)

1 概述

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)求解作為經(jīng)典大地測量問題，通?；谄邊?shù)模型求解出不同坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)[1]。三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的7個參數(shù)包含3個平移參數(shù)、1個尺度參數(shù)以及3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)，而精確并可靠地估計轉(zhuǎn)換參數(shù)是三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的核心問題[2]。通常利用3個及以上的公共點的坐標(biāo)，將七參數(shù)模型轉(zhuǎn)換為經(jīng)典最小二乘理論的Gauss-Markov模型進行求解，然后根據(jù)求解的轉(zhuǎn)換參數(shù)再將非公共點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到目標(biāo)坐標(biāo)系下[3]。

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角較小且尺度比接近1時，常采用Bursa-Wolf模型進行描述。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角較大時，應(yīng)采用相似變換Helmert模型。姚宜賓采用Taylor級數(shù)對Helmert模型進行線性化，提出了適用于大角度和任意尺度比的轉(zhuǎn)換方法[4]。陳義根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣的正交特征，構(gòu)建了附有約束的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型[5]。另外，空間坐標(biāo)的表現(xiàn)形式有很多種，最常見的形式是空間直角坐標(biāo)系。但在某些領(lǐng)域的原始坐標(biāo)觀測值常采用大地坐標(biāo)的形式，比如三維點云數(shù)據(jù)、導(dǎo)航數(shù)據(jù)等。當(dāng)存在大地坐標(biāo)時，常用的方法是將公共點的大地坐標(biāo)變換為同坐標(biāo)系下的直角坐標(biāo)，然后利用兩套直角坐標(biāo)進行轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解[6]。在上述過程中，大地坐標(biāo)可以很容易變換成相應(yīng)的直角坐標(biāo)，但是由于轉(zhuǎn)換過程是非線性的，點位精度的損失難以避免。因此，在存在大地坐標(biāo)的情況下，傳統(tǒng)方法存在一定的缺陷，因此，如何避免大地坐標(biāo)變換成直角坐標(biāo)的精度損失具有重要的理論研究意義。

綜上所述，本文以涉及大地坐標(biāo)時的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為研究對象，研究混合大地坐標(biāo)與直角坐標(biāo)進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換算法，避免大地坐標(biāo)變換相應(yīng)直角坐標(biāo)產(chǎn)生的精度損失，進而提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度。

2 涉及大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換方法

大地坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間具有如下函數(shù)關(guān)系：

(1)

式中：X，Y，Z——點位直角坐標(biāo)；

B，L，H——點位的大地緯度、大地精度及大地高；

N——橢球卯酉圈曲率半徑；

o——橢球第一偏心率。

根據(jù)Helmert轉(zhuǎn)換模型，涉及大地坐標(biāo)時，對于單個點的觀測方程表達如下：

(2)

式中：下標(biāo)“T”和“C”——目標(biāo)坐標(biāo)系和源坐標(biāo)系；

e——相應(yīng)的隨機誤差項；

ΔX,ΔY,ΔZ——平移參數(shù)；

s——尺度參數(shù)；

R——旋轉(zhuǎn)矩陣，具體形式如下：

R=R(εz)R(εy)R(εx);

根據(jù)Taylor級數(shù)對式(2)進行展開可得：

(3)

其中：

將式(3)整理可得誤差方程：

l+Je=Adβ

(4)

其中：

當(dāng)有n個公共點時，根據(jù)式(4)構(gòu)建誤差方程，根據(jù)經(jīng)典最小二乘的Gauss-Markov模型，轉(zhuǎn)換參數(shù)的最小二乘解為：

dβ=(ATPA)-1ATPl

(5)

其中，P=(JQJT)-1，Q為誤差的先驗協(xié)因數(shù)矩陣。

3 仿真實驗

假設(shè)有15個點，選取其中10個點作為公共點，剩余5個點作為檢核點。

轉(zhuǎn)換參數(shù)的真值設(shè)定為：β=[1 000 m 896 m 956 m 1.3 0.046 rad -0.032 rad -0.065 rad]T。以CSCG2000橢球為例，在[-π π],[-0.45π 0.45π]以及[20 m 600 m]范圍分別生成目標(biāo)框架下的緯度、經(jīng)度和大地高，根據(jù)Helmert轉(zhuǎn)換模型的逆變換生成源框架下的三維直角坐標(biāo)。在[1.5 3]×10-7范圍內(nèi)生成經(jīng)緯度的標(biāo)準(zhǔn)差，在[1 m 5 m]范圍內(nèi)生成大地高的標(biāo)準(zhǔn)差(見圖1)。

執(zhí)行1 000次Monte Carlo實驗，每次實驗的參數(shù)真值和坐標(biāo)是固定的，但每次實驗的隨機誤差是通過上述的標(biāo)準(zhǔn)差采用零均值高斯分布獨立生成，分別采用以下兩種方法求解：

1)傳統(tǒng)方法；

2)本文提出的直接采用大地坐標(biāo)進行解算。

根據(jù)不同方案的計算結(jié)果，分別計算轉(zhuǎn)換七參數(shù)以及5個非公共點在目標(biāo)框架下三維坐標(biāo)的RMS，具體計算公式如下：

(6)

轉(zhuǎn)換參數(shù)的均方根誤差見表1。非公共點解算的差值序列統(tǒng)計見表2。

表1 轉(zhuǎn)換參數(shù)的均方根誤差

表2 非公共點解算的差值序列統(tǒng)計

根據(jù)表1，表2以及圖2可以發(fā)現(xiàn)：

1)在轉(zhuǎn)換參數(shù)求解方面，兩種求解方法的精度都較高。但相比之下，直接采用大地坐標(biāo)進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方案2與傳統(tǒng)方法的方案1相比，平移、尺度和旋轉(zhuǎn)參數(shù)的RMS分別提高23%，28%，19%，15%，27%，10%以及8%。

2)在5個非公共站的轉(zhuǎn)換精度方面，相比較于方案2，在X方向上最大值、最小值以及均方根誤差平均提高11%，23%以及16%；在Y方向上最大值、最小值以及均方根誤差平均提高26%，17%以及24%；在Z方向上最大值、最小值以及均方根誤差平均提高23%，14%以及16%。

通過上述分析1 000次Monte Carlo實驗的結(jié)果表明：直接采用大地坐標(biāo)的方法獲得結(jié)果均優(yōu)于傳統(tǒng)方法，驗證了在大地坐標(biāo)變換為直角坐標(biāo)時，由于非線性影響導(dǎo)致點位精度傳播時出現(xiàn)了損失，導(dǎo)致轉(zhuǎn)換參數(shù)以及非公共點的轉(zhuǎn)換的精度降低。因此，當(dāng)涉及大地坐標(biāo)時，應(yīng)采用本文提出的方法進行求解。

4 結(jié)語

由于大地坐標(biāo)變換為同框架下的直角坐標(biāo)時，點位精度的傳播受非線性影響較大，導(dǎo)致點位精度出現(xiàn)損失。本文提出的直接采用大地坐標(biāo)進行轉(zhuǎn)換參數(shù)求解方法，相比較于傳統(tǒng)方法，轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度以及非公共站的轉(zhuǎn)換精度都優(yōu)于傳統(tǒng)方法。另外，本文方法的理論依據(jù)是經(jīng)典最小二乘的Gauss-Markov模型，通過本文推導(dǎo)的公式可以發(fā)現(xiàn)，系數(shù)矩陣A中也是存在大地坐標(biāo)觀測值，但該部分的誤差并未考慮。因此，針對系數(shù)矩陣含有的觀測值需要采用整體最小二乘的思想進行進一步研究。