如何不用復(fù)數(shù)講解常系數(shù)線性微分方程

嚴(yán)質(zhì)彬， 包益欣

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳) >理學(xué)院， 廣東 >深圳518055)

1 引 言

關(guān)于常系數(shù)線性微分方程的教學(xué)， 文獻中有很多有趣的研究[1-5]. 本文討論高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實踐中， 關(guān)于常系數(shù)線性微分方程的一個與復(fù)數(shù)有關(guān)的問題.

考慮二階常系數(shù)齊次線性微分方程

y″+py′+qy=0.

(1)

這里y=y(x)是待求的未知函數(shù)(x是實的自變量)，p和q是已知實數(shù). 關(guān)于未知數(shù)r的實系數(shù)二次代數(shù)方程

r2+pr+q=0

(2)

稱為(1)的特征方程. 為了得到(1)的解， 通常用含有待定未知數(shù)r的指數(shù)函數(shù)y=erx來試解. 由于對一般的系數(shù)p和q， 特征方程(2)可能無實數(shù)根， 為了得到完整的理論， 要允許r是復(fù)數(shù). 當(dāng)r=a+bi為復(fù)數(shù)時(b≠0)， 關(guān)于實自變量x的復(fù)值函數(shù)y=e(a+bi)x的定義， 導(dǎo)數(shù)公式(erx)′=rerx，復(fù)指數(shù)的性質(zhì)ez1+z2=ez1ez2(z1，z2為復(fù)數(shù))及歐拉公式

e(a+bi)x=eax(cosbx+isinbx)

的確切含義及證明， 要等到后面講函數(shù)項級數(shù)(冪級數(shù)的乘法、逐項求導(dǎo)等)時才能學(xué)到. 目前的教學(xué)實踐中， 留給函數(shù)項級數(shù)的教學(xué)課時往往不多， 復(fù)指數(shù)函數(shù)的知識經(jīng)常不講解或者一帶而過. 所以說高等數(shù)學(xué)課程中， 常系數(shù)線性微分方程的教學(xué)在邏輯上有些不足. 本文探討不用復(fù)數(shù)， 且用比復(fù)指數(shù)講解更少的課時， 如何自然地講解常系數(shù)線性微分方程.

2 復(fù)值函數(shù)解導(dǎo)出實值函數(shù)解的分析

在現(xiàn)有高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中， 用復(fù)指數(shù)函數(shù)來講解常系數(shù)線性微分方程， 其不足之處并不僅限于要用到后面很晚才學(xué)到的知識. 還有另外一點微妙的困難.

設(shè)a±bi(b≠0)是(2)的一對共軛復(fù)數(shù)根， 于是

y1=e(a+bi)x=eax(cosbx+isinbx)，y2=e(a-bi)x=eax(cosbx-isinbx)

是(1)的兩個(線性無關(guān)的)解. 這里的微妙之處在于：它們是實自變量x的復(fù)值(復(fù)因變量)函數(shù)解. 學(xué)習(xí)者在自覺不自覺中， 自然是期待實值函數(shù)解. 方程的物理意義(電感電容電阻電路， 或者彈簧質(zhì)量阻尼振動)也是要求實值函數(shù)解. 教學(xué)中都是通過y1和y2的復(fù)系數(shù)線性組合

(3)

(4)

根據(jù)疊加原理[6]來得到實值函數(shù)解. 整個過程形象地說， 是從實數(shù)領(lǐng)地的問題出發(fā)， 漫游到復(fù)數(shù)的王國， 最后又回到實數(shù)的領(lǐng)地. 在教學(xué)實踐中， 學(xué)生對這個過程經(jīng)常感到莫名其妙. 對于這種推導(dǎo)， 除了指出疊加原理的作用外， 認(rèn)為還有其他值得講解的重要細(xì)節(jié).

問題本身是要在實自變量的實值函數(shù)的范圍內(nèi)尋找(1)的解， 這樣的解的集合是實數(shù)域上的線性空間. 先在實自變量的復(fù)值函數(shù)的范圍內(nèi)尋找(1)的解，這樣的解的集合是復(fù)數(shù)域上線性空間. 把實值函數(shù)看作復(fù)值函數(shù)的特例， 則上述前一個集合是后一個集合的嚴(yán)格子集合. 但前者作為實數(shù)域上的線性空間和后者作為復(fù)數(shù)域上的線性空間有相同的維數(shù)， 都是2， 這和它們之間有嚴(yán)格子集關(guān)系并不矛盾. 復(fù)值函數(shù)e(a+bi)x和e(a-bi)x是復(fù)值函數(shù)解集合作為復(fù)線性空間的基底(基礎(chǔ)解系)， 它們不是實值函數(shù)解. 但這不妨礙它們的復(fù)值線性組合(當(dāng)然是解)有可能組合出實值函數(shù)解來: (3)和(4)就是這樣的特殊復(fù)值線性組合.

先在擴大的范圍內(nèi)尋找“廣義解”， 再研究如何從“廣義解”返回“狹義解”. 這種思想的重要性在數(shù)學(xué)及其應(yīng)用中十分重要， 只要有機會就應(yīng)該盡可能傳授給學(xué)生. 這并不是什么現(xiàn)代數(shù)學(xué)的深奧思想， 在中學(xué)數(shù)學(xué)中就有這種思想的種子: 例如整系數(shù)多項式分解因式， 可以在復(fù)系數(shù)多項式范圍內(nèi)分解， 可以在實系數(shù)范圍內(nèi)分解， 可以在有理系數(shù)范圍內(nèi)分解， 可以在整系數(shù)范圍內(nèi)分解. 先在大的范圍內(nèi)求解， 再根據(jù)問題的需要， 回到小范圍， 是中學(xué)生就懂得的道理.

3 不用復(fù)數(shù)推導(dǎo)出實值函數(shù)解的方法

這里給出不用復(fù)指數(shù)函數(shù)， 甚至完全不用復(fù)數(shù)的推導(dǎo)方法.

首先， 引導(dǎo)學(xué)生觀察下面的事實: 對任意給定的實數(shù)c和d， 實自變量x的實值函數(shù)

ecxcosdx， ecxsindx

的各階導(dǎo)數(shù)都是它們自己的線性組合. 為方便陳述， 把這個事實寫成引理的形式.

引理1ecxcosdx及ecxsindx的一階和二階導(dǎo)數(shù)為

(ecxcosdx)′=cecxcosdx-decxsindx，(ecxsindx)′=decxcosdx+cecxsindx，(ecxcosdx)″=(c2-d2)ecxcosdx-2cdecxsindx，(ecxsindx)″=2cdecxcosdx+(c2-d2)ecxsindx.

根據(jù)上述觀察， 可以用含有兩個待定的未知實數(shù)a和b的實自變量x的實值函數(shù)

y1=eaxcosbx，y2=eaxsinbx

來試解(1).由引理1， 經(jīng)簡單計算， 有

y″1+py′1+qy1=(a2+pa+q-b2)eaxcosbx-(2a+p)beaxsinbx，

(5)

y″2+py′2+qy2=(2a+p)beaxcosbx+(a2+pa+q-b2)eaxsinbx.

(6)

容易得到下面的定理.

定理1設(shè)a和b是實數(shù). 則實自變量x的實值函數(shù)y1=eaxcosbx是二階常系數(shù)齊次線性微分方程(1)的解的充要條件是a和b滿足

(7)

證充分性由(5)顯然. 下證必要性. 由y1=eaxcosbx是解及(5)有

(a2+pa+q-b2)eaxcosbx-(2a+p)beaxsinbx=0.

注意這是關(guān)于自變量x的函數(shù)等式， 也就是代入自變量x的任意值， 等式都成立. 以x=0代入并注意到對任意x，eax>0， 即得

a2+pa+q-b2=0.

于是得函數(shù)等式

(2a+p)beaxsinbx=0.

定理2設(shè)a和b是實數(shù). 則實自變量x的實值函數(shù)y2=eaxsinbx是二階常系數(shù)齊次線性微分方程(1)的非零解的充要條件是a和b滿足(7)且b≠0.

證充分性顯然. 下證必要性. 由y2=eaxsinbx是解及(6)有函數(shù)等式

(2a+p)beaxcosbx+(a2+pa+q-b2)eaxsinbx=0.

以x=0代入， 即得(2a+p)b=0及函數(shù)等式

(a2+pa+q-b2)eaxsinbx=0.

(10)

a2+pa+q-b2=0.

注意在定理2的陳述中有一個微妙的條件“非零解”， 而在定理1中沒有加這個條件. 對y2=eaxsinbx來說， 當(dāng)b=0時， 對任意的a，y2都是解(零解)， 但不是對任意的a， 方程組(7)都滿足.

有人可能會覺得， 一開始就用帶有兩個待定未知實數(shù)a和b的函數(shù)eaxcosbx及eaxsinbx去試解微分方程(1)“不自然”. 其實， 這種試解方法無非就是受到下述事實的啟發(fā): 所試用的函數(shù)類對于求導(dǎo)具有某種封閉性. 在教學(xué)實踐中， 注意啟發(fā)學(xué)生觀察引理1所蘊含的這種“封閉性”. 有了這個鋪墊， 則用eaxcosbx及eaxsinbx去試解， 不會比用erx去試解更“不自然”， 何況后者還要用到?jīng)]有學(xué)過的、其證明并非一蹴而就的復(fù)指數(shù)函數(shù)的知識. 反過來說， 如果對上面的“封閉性”不作啟發(fā)和強調(diào)， 則學(xué)生也會對用erx去試解感到“不自然”. 所以在這個問題上， 學(xué)生是否感到“自然”而不是覺得被牽著鼻子走， 并不取決于用了含多少個待定參數(shù)的函數(shù)來試解， 而是取決于對上面的“封閉性”是否作了啟發(fā)式的講解.

以a，b作為未知數(shù)， 求方程組(7)的實數(shù)解非常簡單， 其討論不會增加課時. 為方便起見，總結(jié)成下面的定理.

定理3設(shè)p和q是給定的實數(shù). 則以a和b為未知數(shù)的方程組(7)恒有實數(shù)解. 且有

(i) 若p2-4q≥0， 則(7)的實數(shù)解是

(ii) 若p2-4q<0， 則(7)的實數(shù)解是

4 與復(fù)數(shù)方法的關(guān)系

定理4設(shè)p和q是給定的實數(shù). 則(a，b)是方程組(7)的實數(shù)解的充要條件是r=a+bi是特征方程(2)的復(fù)數(shù)解.

證將r=a+bi代入(2)經(jīng)簡單計算， 比較復(fù)數(shù)等式兩邊的實部和虛部， 即得方程組(7).

容易看出， 上述第3節(jié)的討論完全不必以定理4為前提.

5 結(jié) 論

不用復(fù)指數(shù)函數(shù)， 甚至不用復(fù)數(shù)， 可以講解常系數(shù)線性微分方程的解的理論.

致謝感謝審稿人對本文的仔細(xì)閱讀和提出的修改意見.