初中數(shù)學(xué)線(xiàn)上教學(xué)的設(shè)計(jì)視角

趙建平, 韓建興, 黃 韜

(1.吳興區(qū)教育局研訓(xùn)中心, 浙江 湖州 313000；2.湖州四中教育集團(tuán)，浙江 湖州 313000；3.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000)

2020年因新型冠狀病毒疫情的影響，線(xiàn)上教學(xué)被廣泛應(yīng)用.但線(xiàn)上課程的單一性使學(xué)生、家長(zhǎng)和教師都產(chǎn)生了一定的疲倦.就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，不論是直播還是微課，教學(xué)內(nèi)容都以知識(shí)講授為主，面對(duì)冰冷的電子設(shè)備，缺少情感的交流和學(xué)習(xí)的氛圍，學(xué)生和教師的積極性受到了很大影響.而且數(shù)學(xué)本身具有的高度抽象性，更容易讓學(xué)生感到枯燥.此外，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的監(jiān)督、學(xué)習(xí)成果的評(píng)價(jià)也存在一定難度，部分自覺(jué)性較差的學(xué)生時(shí)常會(huì)出現(xiàn)掛機(jī)學(xué)習(xí)、搜題、互傳答案等不良現(xiàn)象，嚴(yán)重影響學(xué)習(xí)效果.因此線(xiàn)上教學(xué)必須采用不同于線(xiàn)下教學(xué)的設(shè)計(jì)策略.本文根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)從3方面談初中數(shù)學(xué)線(xiàn)上教學(xué)的設(shè)計(jì)視角.

1 以任務(wù)驅(qū)動(dòng)的視角設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)調(diào)動(dòng)多感官參與讓學(xué)生自覺(jué)學(xué)習(xí)

在設(shè)計(jì)課堂教學(xué)內(nèi)容時(shí)，教師往往會(huì)尋找許多教學(xué)資源，而數(shù)學(xué)學(xué)科的免費(fèi)網(wǎng)絡(luò)課程鋪天蓋地，令人眼花繚亂，而且這些課程良莠不齊.雖然里面有許多優(yōu)質(zhì)資源，但關(guān)鍵是如何取舍，如何有效地進(jìn)行資源整合，輔助學(xué)生自主學(xué)習(xí)，而又不給學(xué)生造成更大的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),是每位教師需要思考的問(wèn)題.資源整合是教學(xué)的第一步，教師備課中所選的資源必須符合學(xué)生的年齡特點(diǎn)，任務(wù)設(shè)計(jì)必須符合學(xué)生的學(xué)情特點(diǎn)，知識(shí)的難易程度必須恰當(dāng)適中.

例1 在線(xiàn)上教學(xué)平行四邊形及其性質(zhì)一課時(shí)，設(shè)計(jì)“拼圖游戲”，讓學(xué)生用兩塊相同的三角板拼成一個(gè)平行四邊形，并思考：

(1) 怎樣能拼出一個(gè)平行四邊形？你能拼出多少個(gè)形狀不同的平行四邊形？

(2) 怎樣證明你拼出的四邊形就是平行四邊形？

(3) 你發(fā)現(xiàn)平行四邊形有哪些性質(zhì)？你能證明嗎？

圖1為教師與學(xué)生的互動(dòng)情況.

線(xiàn)上教學(xué)時(shí)，教師要給予學(xué)生必要的方法指導(dǎo)，避免學(xué)生走彎路或無(wú)從下手.指導(dǎo)過(guò)程就是在滲透學(xué)習(xí)的方法.網(wǎng)課學(xué)習(xí)給學(xué)生提供了更多的自主學(xué)習(xí)平臺(tái)，教師要充分利用這些平臺(tái)幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，提升其自主學(xué)習(xí)的能力.線(xiàn)下教師應(yīng)布置適當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)，讓學(xué)生自主完成，通過(guò)作業(yè)反饋結(jié)果檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，從而避免學(xué)生盲目學(xué)習(xí).

本題較難，思維含量較高,教師即使慢慢講授學(xué)生可能也不易聽(tīng)懂.因此教師可以先不講授，而是讓學(xué)生自己探尋答案.教師可以給學(xué)生布置以下任務(wù)：

(1) 通過(guò)網(wǎng)課資源了解這類(lèi)問(wèn)題通常的解決方法.

(2) 這類(lèi)問(wèn)題被稱(chēng)為“胡不歸”問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生了解“胡不歸”問(wèn)題的典故.

(3) 解決這類(lèi)問(wèn)題的通式是什么樣的，該注意什么，請(qǐng)帶著這些問(wèn)題自主探索.

結(jié)果取得的教學(xué)效果很顯著.圖3為教師與學(xué)生的互動(dòng)情況.

課堂上教師可以讓學(xué)生扮演老師的角色講授相關(guān)問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生之間的互動(dòng)交流,這樣的教學(xué)方法可能學(xué)生更容易接受.教師千萬(wàn)不能低估學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，只要教師給予學(xué)生合適的機(jī)會(huì)，學(xué)生就會(huì)給你一個(gè)驚喜.網(wǎng)課教學(xué)這一新生事物必將給教學(xué)帶來(lái)新的思考，也給學(xué)生更多的學(xué)習(xí)平臺(tái)，教師應(yīng)勤學(xué)多思，則其優(yōu)點(diǎn)為生之力[1].

2 用拓展延伸的視角設(shè)計(jì)問(wèn)題串，讓學(xué)生經(jīng)歷線(xiàn)上教學(xué)的高階思維

線(xiàn)上教學(xué)的優(yōu)勢(shì)較直觀，問(wèn)題主要以文字的形式呈現(xiàn).用拓展延伸的視角進(jìn)行問(wèn)題串設(shè)計(jì)能激活學(xué)生思維，實(shí)現(xiàn)線(xiàn)上互動(dòng)教學(xué).如初二學(xué)生對(duì)規(guī)律型問(wèn)題總是較難掌握.規(guī)律型問(wèn)題屬于中考命題中的常見(jiàn)題型，就其形式而言，有數(shù)式變化規(guī)律、圖形變化規(guī)律、循環(huán)排列變化規(guī)律等.規(guī)律型問(wèn)題的解決往往需要學(xué)生通過(guò)分析、聯(lián)想、歸納、類(lèi)比、猜想、驗(yàn)證等一系列過(guò)程去探索思路和發(fā)現(xiàn)結(jié)論.教師可以就作業(yè)本中的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生再思考[2]，通過(guò)舉例層層推進(jìn)，讓學(xué)生深入思考，讓規(guī)律探尋類(lèi)問(wèn)題更有規(guī)律可循.

例3 如圖4(a)，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)橫坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序按(1，0)、(2，0)、(2，1)、(1，1)、(1，2)、(2，2)……這個(gè)規(guī)律排列,思考:

(1) 第9個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________,第25個(gè)9點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.

(2) 第2 019個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.

通過(guò)原題再現(xiàn)，讓學(xué)生動(dòng)手做一做，動(dòng)口說(shuō)一說(shuō)，總結(jié)這類(lèi)問(wèn)題的解決方法，從而讓學(xué)生進(jìn)入自覺(jué)、能動(dòng)、積極、愉悅的學(xué)習(xí)狀態(tài).同時(shí)教師可以給出如下拓展：

如圖4(b)，一只跳蚤在第一象限及x軸、y軸上跳動(dòng)，第1秒時(shí)它從原點(diǎn)跳動(dòng)到(1，0)，然后接著按圖中箭頭所示方向跳動(dòng)，即(0，0)→(1，0)→(1，1)→(0，1)→……且每秒跳動(dòng)一個(gè)單位，那么第99秒時(shí)跳蚤所在位置的坐標(biāo)是__________.

拓展設(shè)計(jì)的目的是讓學(xué)生的思維更上一層，靈活運(yùn)用.教學(xué)中教師可以采用小組合作的形式進(jìn)行探究.小組合作可以讓學(xué)生在自主探究中深刻體會(huì)作業(yè)本習(xí)題背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)價(jià)值[3]，激發(fā)學(xué)生的求知欲.最后教師讓各小組派代表講解：

A組:我們組不僅發(fā)現(xiàn)了x軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，還發(fā)現(xiàn)了y軸上點(diǎn)的特點(diǎn)：(0,2)是第4秒；(0,4)是第16秒；(0,6)是第36秒.

B組：求第幾秒的坐標(biāo)取決于這個(gè)數(shù).我們組分析得出y軸上點(diǎn)(0，10)是第100秒，所以第99秒就是(0,9).也就是“就近取材”.

此時(shí)學(xué)生們熱情高漲.

師：第80秒呢？教師特意請(qǐng)C生作答(成績(jī)一般，比較內(nèi)向).

C生：81秒是x軸上的(9,0)，80秒是它前面一個(gè)單位，即(8，0).

聽(tīng)到他完美的回答，同學(xué)們都給予鼓勵(lì)的掌聲.

師：第2 020秒的坐標(biāo)呢？

D組：我們組分析x軸得出，2 025秒坐標(biāo)是(45,0)，所以2 024秒就是(44,0)，再往上運(yùn)動(dòng)4秒，答案是(44,4).

師：這個(gè)方法簡(jiǎn)單快捷，易于接受，很棒！

E組：如圖5(a)，我們組通過(guò)分析得出，y軸上(44,0)是第442=1 936秒，分布走勢(shì)向右，最后一個(gè)點(diǎn)是1 936+44=1 980秒，再往下走40秒即為2 020秒的位置，答案是(44,4).

師：這個(gè)方法也很棒！

此時(shí)，一位男學(xué)生高高舉起手.

F男：如圖5(b),我的方法是看對(duì)角線(xiàn)，橫縱坐標(biāo)為1時(shí)是第2秒；橫縱坐標(biāo)為2時(shí)是第6秒；橫縱坐標(biāo)為3時(shí)是第12秒；橫縱坐標(biāo)為n時(shí)是第n(n+1)秒，所以代入n=44時(shí)，結(jié)果是1 980.同理再往下走40秒，位置就是2 020秒，答案也是(44,4).

師：這種方法給我們一種新思路，給他點(diǎn)贊！

培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、耐心細(xì)致的品質(zhì)很重要.教師要鼓勵(lì)學(xué)生敢于嘗試、耐心操作、勤于思考，同時(shí)發(fā)揮小組合作的優(yōu)勢(shì)和集體的智慧，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化[4]，問(wèn)題將迎刃而解.

教師在教學(xué)中還應(yīng)重視教材或作業(yè)本的原題，它們是教學(xué)中有效的教學(xué)資源.教師要避免輕過(guò)程重結(jié)果、記憶解題技巧、大量進(jìn)行機(jī)械式訓(xùn)練的教學(xué)方式.而是應(yīng)通過(guò)深挖原題，引導(dǎo)學(xué)生從拓展延伸中尋找不變的本質(zhì)和規(guī)律，并對(duì)題目進(jìn)行分類(lèi)和整理，力求做到舉一反三、觸類(lèi)旁通.

3 以數(shù)學(xué)基本模型的視角設(shè)計(jì)問(wèn)題解決路徑，讓學(xué)生構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)

問(wèn)題是引發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的根本原因.教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題是為學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題服務(wù)的，而線(xiàn)上教學(xué)能激發(fā)學(xué)生興趣和參與度的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)解決問(wèn)題路徑.在線(xiàn)上教學(xué)中，教師應(yīng)對(duì)教材及其配套作業(yè)本中出現(xiàn)的典型問(wèn)題增添一些元素，豐富問(wèn)題探究的內(nèi)容，增加問(wèn)題探究的趣味，從而有效驅(qū)動(dòng)學(xué)生積極參與問(wèn)題設(shè)計(jì).每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題往往蘊(yùn)含著一些數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)模型的視角來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題解決路徑能體現(xiàn)線(xiàn)上教學(xué)的優(yōu)勢(shì).

例4 如圖6(a)，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E在一條直線(xiàn)上，AD與BE相等嗎？證明你的結(jié)論.

師：你還能提出怎樣的問(wèn)題？

生1：你還能找到全等的三角形嗎？寫(xiě)出并說(shuō)明理由.

生2：求AD與BE夾角的度數(shù).

生3：連接FG，判斷FG與AE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

生4：如圖6(b)，連接PC,PC平分∠APE嗎？說(shuō)明理由.

生5：如圖6(c)，把△CDE圍繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，同學(xué)們提出的問(wèn)題還成立嗎？若成立，試說(shuō)明理由.

生6：如圖7(a)，把等邊三角形換成等腰直角三角形，你還能獲得哪些結(jié)論？

師：既然可以換成等腰直角三角形，那么還可以變換為其他圖形嗎？

生7：如圖7(b)，我猜想如果換成一般的等腰三角形，不知道還有沒(méi)有之前的全等？

生8：如圖7(c)，我想換成正方形.

師：同學(xué)們提出的問(wèn)題都很好.不管怎樣變換，我們發(fā)現(xiàn)這類(lèi)圖形都有一個(gè)共性,即共頂點(diǎn)的兩個(gè)形狀相同的圖形.我們給這類(lèi)問(wèn)題取一個(gè)名稱(chēng)吧？

生9：大三角形領(lǐng)著小三角形問(wèn)題.

師：不錯(cuò)，挺符合實(shí)際的.還有嗎？

生10：就叫“大手拉小手問(wèn)題”吧.

師：生動(dòng)形象，方便好記.贊！

通過(guò)本例題提煉的“手拉手”模型[3]是幾何中非常重要的一類(lèi)模型,對(duì)學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、提升數(shù)學(xué)思維和解決復(fù)雜問(wèn)題至關(guān)重要.幾何教學(xué)中教師應(yīng)更多地讓學(xué)生去歸納一些基本圖形，這才是幾何解題的關(guān)鍵.

例5 如圖8(a)，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC.

師：?jiǎn)栴}①經(jīng)過(guò)點(diǎn)A畫(huà)一條直線(xiàn)l(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C),CD⊥l，BE⊥l，垂足分別是點(diǎn)D,E；②根據(jù)所畫(huà)圖形，提出一個(gè)與全等三角形有關(guān)的問(wèn)題，并解決問(wèn)題.

生1：我畫(huà)的如圖8(b)所示，求證：AD=BE.

生2：我畫(huà)的如圖8(c)所示，試判斷線(xiàn)段DE與CD、BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

師：非常好！我們發(fā)現(xiàn)圖8(b)與圖8(c)具備共同特征，即三個(gè)直角、一組等邊，可證得△ACD≌△BAE,得出DE=CD+BE.在此題基礎(chǔ)上，你還能提出什么樣的問(wèn)題？

生3：如果題目沒(méi)有90°，而是換成三個(gè)等角，一組等邊，例5中的結(jié)論還成立嗎？

生4：按照生3的想法，我畫(huà)出的如圖9(a)所示，在直線(xiàn)l上，∠1=∠2=∠3，AC=AB，例5中的結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)說(shuō)明理由.

生5：仍然成立.根據(jù)外角性質(zhì)，∠CAE=∠1+∠C,即∠2+∠BAE=∠1+∠C,所以∠C=∠BAE.又因?yàn)椤?=∠3，AC=AB，所以△ACD≌△BAE.所以相關(guān)結(jié)論仍然成立.

師：生4將一個(gè)特殊三角形的直角相等換成三個(gè)一般的角相等，得到相關(guān)結(jié)論仍然成立，是不是很奇妙？你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：根據(jù)本節(jié)課經(jīng)驗(yàn)，我想把線(xiàn)段BE刪掉，得到圖9(b)，若知∠1=∠2，必有∠C=∠4.

師：我們來(lái)總結(jié)一下，這個(gè)特殊的模型，前面我們稱(chēng)為“K字型”.那么，又引進(jìn)圖9(b)，我們就統(tǒng)稱(chēng)為“一線(xiàn)三等角”問(wèn)題.

設(shè)計(jì)中以例5為基礎(chǔ)，把問(wèn)題進(jìn)一步延伸，由特殊走向一般，引導(dǎo)學(xué)生邊做、邊思、邊總結(jié).復(fù)習(xí)課上把典型例題與習(xí)題整合在一起，把學(xué)生零散的知識(shí)點(diǎn)連接成線(xiàn)，再把這些線(xiàn)連接成網(wǎng)，最終在學(xué)生頭腦中形成網(wǎng)狀的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.放手讓學(xué)生自主設(shè)計(jì)，提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，從而增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

4 結(jié) 語(yǔ)

數(shù)學(xué)線(xiàn)上教學(xué)的視角是多維的，在設(shè)計(jì)中必須依據(jù)學(xué)生居家學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，關(guān)注學(xué)生在線(xiàn)學(xué)習(xí)的趣味性與多樣性，利用線(xiàn)上教學(xué)比較直觀和資源快捷的優(yōu)勢(shì)，多視角設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容、問(wèn)題串及其解決路徑，真正體現(xiàn)線(xiàn)上教學(xué)與線(xiàn)下教學(xué)的不同，從而更高效地提升線(xiàn)上教學(xué)效果.