一個(gè)混合核的Hilbert型不等式及其應(yīng)用

有名輝，宋 維

(浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，浙江 杭州 310053)

0 引 言

100多年前，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家Hilbert提出了Hilbert不等式[1]：若f,g≥0,f,g∈L2(+),則有:

(1)

其中π為滿足式(1)的最佳常數(shù)因子.100多年來，數(shù)學(xué)家們通過對(duì)核函數(shù)不斷地變形改造、引進(jìn)參數(shù)，并通過構(gòu)造新的核函數(shù)，考慮其離散型、半離散型、系數(shù)加強(qiáng)及高維推廣，已使Hilbert不等式發(fā)展成為一個(gè)龐大的理論體系，產(chǎn)生了大量的新文獻(xiàn)[2-10].其中很多研究成果與指數(shù)函數(shù)有關(guān).2012年，楊必成[11]得到了如下齊次核的不等式：當(dāng)α>0，γ>-1時(shí),

(2)

2013年，文獻(xiàn)[12]～[13]給出了如下含雙曲正割核函數(shù)及雙曲余割核函數(shù)的非齊次Hilbert型不等式:

(3)

(4)

其中，sech(t)=2(et+e-t)-1，csch(t)=2(et-e-t)-1，c0=0.915 9……為Catalan常數(shù),μ(x)=x-3.

2019年，文獻(xiàn)[14]構(gòu)建了一個(gè)由多個(gè)雙曲函數(shù)組合的核函數(shù)，并建立了相應(yīng)的Hilbert型不等式，拓廣了式(3)和式(4)的結(jié)果.本文構(gòu)造一個(gè)與指數(shù)函數(shù)關(guān)聯(lián)的核函數(shù)：

k(x,y):=e-αxyarctane-βxy，

建立一個(gè)含最佳常數(shù)因子的Hilbert型不等式，并賦予參數(shù)特殊的值，得到一些有趣的特例.為行文方便，約定p>1，1/p+1/q=1.

1 引 理

引理1 設(shè)α≥0，β≥0，α+β>0，γ>-1，k(t):=e-αtarctane-βt，

(5)

則

(6)

證明把a(bǔ)rctane-βt展開為e-βt的麥克勞林級(jí)數(shù)，可得:

(7)

令

u=[(2k+1)β+α]t，

則有:

(8)

結(jié)合式(7)和式(8)，即可得式(6).

其中,n為充分大的自然數(shù).則當(dāng)n→+時(shí)，有:

(9)

證明作替換xy=t，并由Fubini定理，可知:

(10)

結(jié)合式(6)及Lebesuge控制收斂定理，可得式(9).

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)α≥0，β≥0，α+β>0，γ>-1，定義k(x,y):=e-αxyarctane-βxy.μ(x)=x-(pγ+1)，ν(x)=x-(qγ+1)，f(x)，g(x)≥0，且滿足f∈Lp,μ(+)，g∈Lq,ν(+)，則

(11)

其中,C(α,β,γ)由引理1定義，C(α,β,γ)Γ(γ+1)為滿足式(11)的最佳常數(shù)因子.

證明由H?lder不等式，可知：

(12)

其中,

令xy=t，由引理1可得:

(13)

同理

(14)

把式(13)和式(14)代入式(12)，得:

(15)

若式(15)可取等號(hào)，那么有不全等于零的實(shí)數(shù)A與B，使得

即

Ax-pγfp(x)=By-qγgq(y) a.e.于(0,)×(0,).

因而有常數(shù)C，使得

Ax-pγfp(x)=Ca.e.于(0,);

By-qγgq(y)=Ca.e.于(0,).

不失一般性，假定A≠0,則有:

這顯然與f∈Lp,μ(+)矛盾.因而式(15)不能取等.

最后證明C(α,β,γ)Γ(γ+1)是滿足式(11)的最佳常數(shù)因子.利用反證法，假如這一常數(shù)因子不為最佳，則必有0

(16)

令ε→0+，則有C(α,β,γ)Γ(γ+1)≤k，這顯然與假設(shè)矛盾.因此式(11)的常數(shù)因子最佳.

定理1證畢.

在定理1中,若令α=0，則有以下推論：

推論1 設(shè)β>0，γ>-1，μ(x)=x-(pγ+1)，ν(x)=x-(qγ+1)，f(x)，g(x)≥0，且滿足f∈Lp,μ(+)，g∈Lq,ν(+)，則

(17)

推論2 設(shè)α>0，γ>-1,μ(x)=x-(pγ+1)，ν(x)=x-(qγ+1),f(x)，g(x)≥0，且滿足f∈Lp,μ(+)，g∈Lq,ν(+)，則

(18)

從而有:

推論3 設(shè)α>0，μ(x)=x-1，ν(x)=x-1，f(x)，g(x)≥0，且滿足f∈Lp,μ(+)，g∈Lq,ν(+)，則

(19)

最后，在定理1中,令α=2β≠0，γ=0，此時(shí)

故有:

推論4 設(shè)β>0，μ(x)=x-1，ν(x)=x-1，f(x)，g(x)≥0，且滿足f∈Lp,μ(+)，g∈Lq,ν(+)，則

3 結(jié) 語(yǔ)

本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一個(gè)新的核函數(shù)，并借助麥克勞林展開等分析的技巧，建立了一個(gè)新的Hilbert型不等式.通過引入Catalan常數(shù)等特殊常數(shù)，得到了一些新的特殊形式的Hilbert型不等式.這些新建立的結(jié)果是以往文獻(xiàn)的拓展和補(bǔ)充，具有一定的理論意義和價(jià)值.