r-特殊首尾和循環(huán)矩陣的行列式及其逆矩陣的算法

曾慧程，蔡 靜

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院, 浙江 湖州 313000)

0 引 言

循環(huán)矩陣作為一類特殊矩陣被廣泛應(yīng)用于圖象處理、編碼理論、線性預(yù)測等方面[1-3].很多學(xué)者對其進行了研究和推廣，并提出了許多特殊的循環(huán)矩陣.首尾和循環(huán)矩陣就是其中一類，在糾錯碼理論中頻繁出現(xiàn).2003年，黃德超等[4]提出了首尾和循環(huán)矩陣求逆的快速算法；同年江兆林[5]提出了首尾和r-循環(huán)矩陣及首尾和r-向后循環(huán)矩陣的概念.相比首尾和循環(huán)矩陣，首尾和r-循環(huán)矩陣出現(xiàn)了參數(shù)r，結(jié)構(gòu)更為特殊.2004年，朱泉涌等[6]提出了r-首尾和循環(huán)矩陣的新概念，并運用多項式矩陣?yán)碚撚嬎懔嗽摼仃嚨哪妫?016年，師白娟[7]在r-首尾和循環(huán)矩陣的基礎(chǔ)上，研究了包含切比雪夫多項式的循環(huán)矩陣行列式的計算.關(guān)于首尾和循環(huán)矩陣的研究已較充分，但對r-首尾和循環(huán)矩陣的研究還相對較少.本文在r-首尾和循環(huán)矩陣的基礎(chǔ)上,提出一種特殊的r-首尾和循環(huán)矩陣(記為SFLSCM)，并運用多項式理論給出其行列式、逆矩陣或群逆的有效算法.

1 預(yù)備知識

定義1 若矩陣A∈n×n有如下形狀：

則稱A為r-特殊首尾和循環(huán)矩陣，記A=SFLSCr(a1,a2,…,an)∈SFLSCM.

本文定義如下矩陣Δ作為基本r-特殊首尾和循環(huán)矩陣:

(1)

易知g(x)=xn-r(xn-1+1)是矩陣Δ的特征多項式.此外,根據(jù)基本r-特殊首尾和循環(huán)矩陣的結(jié)構(gòu),可以得到Δn=r(Δn-1+E).

定義2[8]若矩陣A∈n×n,稱滿足rank(Ak+1)=rank(Ak)的最小非負整數(shù)k為矩陣A的指標(biāo),記作ind(A)=k.

定義3[9]若A∈n×n,ind(A)=k,如果n階方陣X滿足AkXA=Ak,XAX=X,AX=XA,則稱X是A的Drazin逆;當(dāng)ind(A)=1時，Drazin逆又稱為群逆.

證明設(shè)

ωi是g(x)=xn-r(xn-1+1)的n個不同的根,則有：

所以矩陣V(ω1,ω2,…,ωn)是一個非奇異矩陣.

所以

AV(ω1,ω2,…,ωn)=V(ω1,ω2,…,ωn)diag(f(ω1),f(ω2),…,f(ωn)),

V(ω1,ω2,…,ωn)-1AV(ω1,ω2,…,ωn)=diag(f(ω1),f(ω2),…,f(ωn)),

即證得A的特征值為f(ωi),i=1,2,…,n.

則(f(x),g(x))=d(x),且滿足f(x)·u(x)+g(x)·v(x)=d(x).

2 主要結(jié)論

有：

所以

a1E+a2Δ+a3Δ2+…+anΔn-1=A,

即f(Δ)=A.

反之,A=f(Δ)=a1E+a2Δ+a3Δ2+…+anΔn-1=SFLSCM(a1,a2,…,an)∈SFLSCM.

定理3 若A,B∈SFLSCM,則AB=BA∈SFLSCM.

證明根據(jù)定理2,有：

A=f(Δ),B=u(Δ),

故有：

要證AB=BA∈SFLSCM,應(yīng)先證明：AΔ=ΔA當(dāng)且僅當(dāng)A∈SFLSCM.

必要性顯然成立，充分性證明如下：

由AΔ=ΔA得:

ai1=rai-1,n,i=2,3,…,n,

ain=ai-1,n-1+rai-1,n,i=2,3,…,n,

aij=ai-1,j-1,i=2,3,…,n,j=2,3,…,n-1.

故有：

所以A∈SFLSCM.

下證AB=BA∈SFLSCM.

因為A,B∈SFLSCM,所以AΔ=ΔA,BΔ=ΔB.故有:

ABΔ=AΔB=ΔAB,BAΔ=BΔA=ΔBA.

即證得.

定理4A∈SFLSCM,矩陣A可逆的充要條件是矩陣A的特征根f(ωi)≠0,i=1,2,…,n.

證明由定理1知:

因為矩陣A可逆,所以

故有f(ωi)≠0,i=1,2,…,n;反之亦成立.

定理5A∈SFLSCM,矩陣A可逆的充要條件是(f(x),g(x))=1，其中g(shù)(x)同引理1.

證明因為矩陣A可逆,所以f(ωi)≠0,又g(ωi)=0,故f(x)與g(x)無相同零點,即證得(f(x),g(x))=1;反之,若(f(x),g(x))=1,則存在u(x),v(x),使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.由于f(Δ)=A,g(Δ)=0,則有u(Δ)A=E.因此矩陣A可逆且A-1=u(Δ)，由定理2可得A-1∈SFLSCM.

證明由引理2可得:

f(x)·u(x)+g(x)·v(x)=d(x),

因為矩陣A非奇異,由定理5可得:(f(x),g(x))=1,即d(x)=1.所以

f(x)·u(x)+g(x)·v(x)=1.

當(dāng)x=Δ時,f(Δ)=A,g(Δ)=0,故有Au(Δ)=E.

令B=u(Δ),由定理2得B∈SFLSCM.顯然B是唯一的，故得證.

證明由引理2可得:

f(x)·u(x)+g(x)·v(x)=d(x), ?d(x)>0.

令

f(x)=f′(x)d(x),g(x)=g′(x)d(x),

則有:

(f′(x),g′(x))=1, (d(x),g′(x))=1,

根據(jù)多項式性質(zhì)得:

(f(x)d(x)d(x),g(x))=1,

即(f(x)d(x),g′(x))=1.

因此，根據(jù)行初等變換有:

f(x)d(x)u(x)+g′(x)v(x)=1.

(2)

在式(2)右邊同乘f(x),令x=Δ,C=d(Δ)u(Δ),整理得:

ACA=A.

(3)

在式(2)左邊同乘d(x)u(x),整理得:

CAC=C.

(4)

因為C∈SFLSCM,根據(jù)定理3得AC=CA,滿足定義3，故C是A的群逆.

下證唯一性.

若C不是A唯一的群逆,則設(shè)存在C′∈SFLSCM,使得

AC′A=A,C′AC′=C′,AC′=C′A.

(5)

故有:

C=CAC=CAC′AC=CC′AAC=C′ACAC=C′AC=C′AC′AC=C′AC′=C′.

即證得.

3 求逆算法

根據(jù)定理6和定理7獲得求解r-特殊首尾和循環(huán)矩陣逆或群逆的快速算法，具體如下：

(1) 根據(jù)r-特殊首尾和循環(huán)矩陣A得出f(x)和g(x)；

(2) 求出f(x)和g(x)的最大公因式d(x)；

(3) 若d(x)=1,根據(jù)行初等變換求出u(x),則A-1=u(Δ)；

4 數(shù)值算例

解A=SFLSC2(1,2,0,-1),f(x)=-x3+2x+1,g(x)=x4-2x3-2,d(x)=1.

所以

所以

5 結(jié) 論

本文通過一個基本循環(huán)矩陣，將r-特殊首尾和循環(huán)矩陣與多項式建立聯(lián)系，并充分運用多項式的性質(zhì)定理對矩陣的行列式及逆矩陣進行快速求解.同時，本文將r-特殊首尾和循環(huán)矩陣分為奇異和非奇異兩種情況，充分討論矩陣的逆和群逆.最后分別給出了非奇異和奇異矩陣的逆和群逆的算例，驗證得出本文給出的快速算法是有效的.