車輛系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展

袁蒙蒙

（西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都610031）

1 概述

隨著車輛運(yùn)行速度的提高，車輛動(dòng)力學(xué)研究得到了快速發(fā)展。考慮到實(shí)際工作狀況下存在很多非線性的影響因素，以往對(duì)實(shí)際工作情況簡(jiǎn)化的模型存在很多局限性。因此對(duì)車輛系統(tǒng)運(yùn)行性能分析與優(yōu)化的過(guò)程中，就很有必要結(jié)合非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行簡(jiǎn)化分析。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對(duì)車輛系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)作了大量研究。曾京等人已經(jīng)對(duì)鐵路客車系統(tǒng)的橫向穩(wěn)定性進(jìn)行了研究[1]。通過(guò)理論分析和滾動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)，得到了車輛系統(tǒng)的蛇行運(yùn)動(dòng)的兩種主要分岔圖。又通過(guò)一系列數(shù)值模擬，仿真計(jì)算，得出線性臨界速度只能描述平衡位置小范圍內(nèi)的局部穩(wěn)定性，而只有非線性臨界速度才能描述系統(tǒng)大范圍內(nèi)的穩(wěn)定性問(wèn)題。通常非線性臨界速度要低于線性臨界速度，又考慮到實(shí)際工況中存在很多非線性因素且不可忽略，故采用非線性臨界速度來(lái)作為衡量系統(tǒng)穩(wěn)定性的標(biāo)準(zhǔn)。尤其是對(duì)系統(tǒng)作定量分析時(shí)，以非線性臨界速度作為系統(tǒng)穩(wěn)定性的評(píng)判依據(jù)顯得十分重要。因?yàn)橥ㄟ^(guò)實(shí)例計(jì)算得出，客車系統(tǒng)蛇行失穩(wěn)后將分岔處極限環(huán)振動(dòng)，且極限環(huán)的復(fù)制是隨車速的提高而增大的，直至出現(xiàn)輪對(duì)的脫軌。

2 車輛系統(tǒng)及零部件的蛇行運(yùn)動(dòng)及Hopf 分岔的研究

2.1 車輛系統(tǒng)零部件的Hopf 分岔研究

國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者從車輛系統(tǒng)的零部件包括輪對(duì)、轉(zhuǎn)向架等到整個(gè)車輛系統(tǒng)做了分析研究，對(duì)于車輛系統(tǒng)性能及其零部件的規(guī)格尺寸的優(yōu)化提供了大量可靠的依據(jù)。高國(guó)生、張雪峰、楊紹普等人對(duì)車輛系統(tǒng)的零部件作了分析研究[2～3]。這對(duì)不同車型的設(shè)計(jì)和優(yōu)化都有一定指導(dǎo)意義。而曾京、劉宏友、高學(xué)軍、丁旺財(cái)、王勇等人，分別針對(duì)整個(gè)車輛系統(tǒng)作了Hopf 分岔和蛇行運(yùn)動(dòng)研究，包括機(jī)車、高速客車、貨車等車輛系統(tǒng)，其結(jié)論的一致與相似性，都反映了非線性動(dòng)力學(xué)在車輛系統(tǒng)性能分析優(yōu)化過(guò)程中具有很重要的作用。

國(guó)外的一些學(xué)者早在上世紀(jì)80 年代已通過(guò)數(shù)值模擬，得到了輪對(duì)的典型分岔圖，并且得出分岔圖的形狀與軌距和輪軌接觸參數(shù)有關(guān)[4～5]。高國(guó)生等人針對(duì)輪對(duì)在直線軌道上運(yùn)行狀態(tài)，分析了速度與極限環(huán)幅值之間的關(guān)系。通過(guò)數(shù)值計(jì)算得出了該系統(tǒng)蛇形運(yùn)動(dòng)的臨界速度VC為40.15m/s。當(dāng)V＜VC時(shí)，機(jī)車橫向振動(dòng)的平衡位置是漸進(jìn)穩(wěn)定的，機(jī)車受到擾動(dòng)后，機(jī)車振動(dòng)逐漸衰減。當(dāng)V＞VC時(shí)，機(jī)車受到任意小的橫向擾動(dòng)，機(jī)車橫向振動(dòng)逐漸增大趨近于分岔解。

車輛系統(tǒng)的亞臨界Hopf 分岔特性發(fā)現(xiàn)的較早[6]。張雪峰等人針對(duì)Cooperrider 簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)向架模型，通過(guò)數(shù)值模擬，仿真計(jì)算得出了轉(zhuǎn)向架亞臨界Hopf 分岔圖并且研究了轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)中一些重要非線性力對(duì)Hopf 分岔點(diǎn)的影響。通過(guò)分岔理論的數(shù)值方法結(jié)合變步長(zhǎng)的四階龍格-庫(kù)塔法求解出轉(zhuǎn)向架的亞臨界Hopf 分岔圖，如圖1 所示。得出如下與前文相似的結(jié)論：轉(zhuǎn)向架以小于非線性臨界速度運(yùn)行時(shí)是穩(wěn)定的，輪對(duì)、轉(zhuǎn)向架橫向機(jī)搖頭位移均趨于零，其相圖為一漸進(jìn)穩(wěn)定的焦點(diǎn)，如圖2 所示。當(dāng)速度超過(guò)線性臨界速度VC時(shí)，任何微小的橫向擾動(dòng)都將引起大振幅極限環(huán)振動(dòng)。如圖3 所示，通過(guò)后續(xù)的數(shù)值模擬分析出輪軌蠕滑力及輪緣接觸的非線性是引起轉(zhuǎn)向架亞臨界Hopf 分岔的重要因素。二系縱向抗攝像阻尼減震器的阻尼，蠕滑力模型中斜率與非線性臨界速度成正相關(guān)。踏面斜率、摩擦系數(shù)與非線性臨界速度成負(fù)相關(guān)。該結(jié)論與Ahmadian 等用漸進(jìn)法研究單個(gè)轉(zhuǎn)向架的穩(wěn)定性得出的結(jié)論高度一致。

圖1 亞臨界Hopf 分岔圖

圖2 漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)

圖3 極限環(huán)振動(dòng)

2.2 對(duì)整體車輛系統(tǒng)作蛇行運(yùn)動(dòng)及Hopf 分岔研究

學(xué)者不僅僅從車輛系統(tǒng)的零部件作Hopf 分岔研究，也從整體車輛系統(tǒng)做了蛇行運(yùn)動(dòng)分岔研究。姚加?xùn)|和高學(xué)軍等人對(duì)于機(jī)車車輛系統(tǒng)做了研究，劉宏友和丁旺才等人對(duì)高速客車車輛系統(tǒng)做了研究。曾京，王勇等人對(duì)貨車車輛系統(tǒng)做了研究。不同的車輛系統(tǒng)對(duì)應(yīng)不同的臨界速度，但是其Hopf 分岔特性是一致的。這對(duì)沿街整列車的運(yùn)動(dòng)特性及速度選擇具有一定的指導(dǎo)意義。

在以前很多關(guān)于車輛橫向穩(wěn)定性分岔問(wèn)題中，往往側(cè)重Hopf 分岔的參數(shù)條件，對(duì)Hopf 分岔后周期解的變化過(guò)程研究較少，學(xué)者高學(xué)軍運(yùn)用延續(xù)算法對(duì)Hopf 分岔及分岔后極限環(huán)的解分支進(jìn)行連續(xù)追蹤，討論Hopf 分岔的類型和分岔過(guò)程中出現(xiàn)的多種非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象[7]。從中不但確定了系統(tǒng)的穩(wěn)定解曲線，同時(shí)也確定了系統(tǒng)的不穩(wěn)定解分支曲線。如圖4 和圖5 所示，通過(guò)分析得出車輛系統(tǒng)無(wú)論是在低速或高速的情況下，在某些速度區(qū)間內(nèi)，存在多種擺振形式共存現(xiàn)象。此時(shí)就應(yīng)該采取相應(yīng)措施控制其初始擾動(dòng)。丁旺才等人針對(duì)某高速客車車輛系統(tǒng)的半車模型進(jìn)行了數(shù)值模擬與仿真計(jì)算，得到了車輛系統(tǒng)發(fā)生蛇行運(yùn)動(dòng)時(shí)的臨界速度及分岔后各運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)變過(guò)程[8]。結(jié)果表明系統(tǒng)超過(guò)臨界速度后會(huì)發(fā)生復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，包括單周期、兩周期、混沌運(yùn)動(dòng)等。在輪軌碰撞方面，系統(tǒng)超過(guò)臨界速度以后，先由對(duì)稱碰撞轉(zhuǎn)變?yōu)椴粚?duì)稱碰撞最后又轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)稱碰撞，運(yùn)動(dòng)形式十分復(fù)雜。有可能出現(xiàn)跳軌和脫軌情況，所以為保證行車安全，車輛行駛速度一定不能超過(guò)臨界速度。

圖4 1 位輪對(duì)最大橫向位移分岔

圖5 1 位輪對(duì)橫向位移

根據(jù)過(guò)去的研究，非線性車輛系統(tǒng)的蛇行運(yùn)動(dòng)一般會(huì)出現(xiàn)如圖6 所示的分岔情況[9-10]。圖6 中，A 點(diǎn)為Hopf分岔點(diǎn)，這時(shí)系統(tǒng)有一對(duì)純虛根存在，而其余特征根均具有負(fù)實(shí)部，A 點(diǎn)的車速值則定義為線性臨界速度。拐點(diǎn)C為系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔點(diǎn)，是極限環(huán)出現(xiàn)和消失的分界點(diǎn)，其車速值定義為非線性臨界速度。但是從以往對(duì)車輛系統(tǒng)的穩(wěn)定性的數(shù)值計(jì)算來(lái)看，極限環(huán)和非線性臨界速度的計(jì)算耗費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)，不宜進(jìn)行參數(shù)變化的研究。還有某些因素導(dǎo)致車輛系統(tǒng)中存在一些強(qiáng)非線性環(huán)節(jié)，很難進(jìn)行線性化處理，從而無(wú)法計(jì)算Hopf 分岔點(diǎn)來(lái)確定線性臨界速度。因此，鄔平波等人針對(duì)車輛系統(tǒng)普遍具有磁滯現(xiàn)象這一特點(diǎn)，提出了一種快速計(jì)算線性和非線性臨界速度的新方法。曾京等利用該方法針對(duì)以高速客車進(jìn)行了懸掛參數(shù)對(duì)車輛系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的研究，驗(yàn)證了該方法的可行性，并得知抗蛇形減振器阻力、二系橫向減震器阻尼值均與非線性臨界速度成正相關(guān)。

在實(shí)際運(yùn)行的狀況下，由于車輛的輪軌關(guān)系，車輛會(huì)關(guān)于軌道中心線存在對(duì)稱和不對(duì)稱的兩種狀態(tài)。高學(xué)軍等人定義了對(duì)稱系統(tǒng)對(duì)稱性分岔概念，并且提出了“合成分岔圖”的構(gòu)造方法[11]。由數(shù)值積分得到系統(tǒng)的時(shí)間相應(yīng)并建立對(duì)稱輪軌系統(tǒng)的離散動(dòng)態(tài)Poincare 映射截面及其對(duì)稱截面，然后將通過(guò)Poincare 截面和其對(duì)稱界面構(gòu)造的分插圖通過(guò)一定的方式疊合在一起。利用該方法構(gòu)造的分插圖不僅可全面分析對(duì)稱輪軌系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)形式及其演化過(guò)程，而且也可確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)關(guān)于軌道中心線的對(duì)稱/不對(duì)稱運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。然后又針對(duì)某一具體的轉(zhuǎn)向架，利用該方法進(jìn)行了大范圍內(nèi)的對(duì)稱/不對(duì)稱分岔行為和混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析研究。研究表明，對(duì)稱的非線性輪軌接觸關(guān)系下轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)會(huì)存在不對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，包括周期運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)以及夾雜其間的若干多周期運(yùn)動(dòng)。這種多運(yùn)動(dòng)狀態(tài)共存的情況會(huì)引起系統(tǒng)振動(dòng)幅值的突然變化，增加旅客的不舒適度，因此要盡量避免。

圖6 車輛系統(tǒng)的分岔與極限環(huán)圖

3 展望

過(guò)去研究者們對(duì)運(yùn)行在直線軌道上的車輛系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值模擬與仿真計(jì)算，而對(duì)曲線軌道上運(yùn)行的車輛很少涉足。這是因?yàn)檩^小玩到往往出現(xiàn)輪緣貼靠現(xiàn)象，車輛系統(tǒng)不會(huì)發(fā)生蛇行失穩(wěn)。但隨著車速的提高，軌道的最小曲率半徑也在不斷提高。線路的最小曲率半徑也隨之提高，但是在大半徑曲線上，車輛系統(tǒng)在各種因素的組合下仍有可能發(fā)生蛇行失穩(wěn)。因此研究車輛系統(tǒng)的蛇行失穩(wěn)情況不僅僅局限于直線軌道，也應(yīng)該考慮到實(shí)際運(yùn)營(yíng)情況，研究車輛系統(tǒng)在大半徑曲線上的失穩(wěn)也是有必要的。后續(xù)應(yīng)該再對(duì)這兩種不同道路上蛇行失穩(wěn)進(jìn)行對(duì)比分析，探究具體的失穩(wěn)機(jī)理是否一致。

在日常的運(yùn)行中，車輛運(yùn)行速度通常不會(huì)高于車輛臨界速度，然而因多種因素嚴(yán)重磨損的車輪胎可能導(dǎo)致車輛實(shí)際的臨界速度低于車輛運(yùn)行速度的情況，因此不能僅僅側(cè)重研究Hopf 分岔的參數(shù)條件，同時(shí)也要注重Hopf 分岔后周期解的變化過(guò)程，充分了解車輛運(yùn)行速度高于臨界速度是車輛系統(tǒng)的相關(guān)動(dòng)力學(xué)行為。