數(shù)學(xué)分析教學(xué)初探

李志剛 范玉雙 趙明 馬兆海

摘要：本文從教學(xué)角度初步探討了如何教學(xué)能使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析及提高解題能力的一些想法作法。以極限概念，定積分概念，一致收斂概念的講述為例指導(dǎo)學(xué)生如何學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)分析數(shù)學(xué)的本質(zhì)及如何進(jìn)行某種程度研究工作。文章認(rèn)為將數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)研究在某種程度上統(tǒng)一起來是必要的。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析;極限;確界;定積分;一致收斂

一、引言

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)系學(xué)生的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，是后續(xù)分析課程的基礎(chǔ)，大部分后續(xù)分析課程的思想方法在數(shù)學(xué)分析課中都有所體現(xiàn)，數(shù)學(xué)分析部分內(nèi)容也是某些后續(xù)分析課程中一些抽象概念的具體實(shí)例。同時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析也可以很好地訓(xùn)練學(xué)生的觀察分析能力，邏輯思維能力，以及一般的解決數(shù)學(xué)問題的能力。如何教學(xué)能使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析及提高解題能力，如何教學(xué)能使學(xué)生認(rèn)識(shí)分析數(shù)學(xué)的本質(zhì)及提高研究能力，這是本文要探討的問題。

二、如何講述概念

數(shù)學(xué)分析作為近代數(shù)學(xué)的主干，內(nèi)容極其繁雜，但其主要內(nèi)容卻是與極限概念相關(guān)的。極限概念大約從2，3000年前開始發(fā)端，大約500年前開始進(jìn)入爆發(fā)期，在數(shù)學(xué)方面產(chǎn)生了豐碩成果，但其嚴(yán)格定義及完整的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)卻是在二，三百年前才完全建立起來的，這就是實(shí)數(shù)理論及極限的定義。其中語言具有普遍意義，在后續(xù)課程中直接大量運(yùn)用，是學(xué)生首先要掌握的，是最重要的教學(xué)內(nèi)容。

在進(jìn)行極限概念教學(xué)時(shí)，主要遵循先具體直觀，再抽象概括的教學(xué)方法，以體現(xiàn)從具體問題中抽象出一般概念的數(shù)學(xué)方法。下面以數(shù)列極限教學(xué)為例進(jìn)行說明。函數(shù)極限教學(xué)方法與數(shù)列極限教學(xué)方法類似。

由于學(xué)生在中學(xué)已經(jīng)簡單地學(xué)過極限概念，因此主要教學(xué)內(nèi)容是從具體例子中提煉出抽象的數(shù)列極限定義。

有上述具體例子后，就可以抽象出數(shù)列極限的一般定義了：已知數(shù)列及常數(shù)，若在的變化過程中，的值無限接近常數(shù)，即在的變化過程中，的值無限變小、無限接近0，即，在的變化過程中，可以變得<，即若>0，總，使得>時(shí)，總有<成立，則稱時(shí)，的極限為。接下來就是用極限的抽象定義證明具體的極限了，包括直接解不等式和適當(dāng)放大法等方法，題目不宜過多過難，主要目的是使學(xué)生了解適應(yīng)極限的抽象概念。常見典型題目比如主要用于理解極限定義，=主要用于說明適當(dāng)放大法，主要用于說明適當(dāng)放大法的放大程度，主要用于說明適當(dāng)放大法中不等式的形成等等。

實(shí)數(shù)理論是極限存在的理論基礎(chǔ)，由于學(xué)時(shí)所限，本課程不嚴(yán)格講述實(shí)數(shù)理論，只是簡單地把實(shí)數(shù)定義為無限十進(jìn)小數(shù)，并在此基礎(chǔ)上證明實(shí)數(shù)集合的確界原理。確界概念與原理在數(shù)學(xué)分析后續(xù)章節(jié)及后續(xù)課程中有廣泛應(yīng)用，是一年級(jí)上學(xué)期教學(xué)另一大重點(diǎn)。在教學(xué)中也要遵循先具體直觀，再抽象概括的教學(xué)方法，應(yīng)該重點(diǎn)講述實(shí)數(shù)集合的上下界，上下確界及其等價(jià)概念。首先，以集合為例，說明非空實(shí)數(shù)集合的上下界概念，然后從中抽象出上下界的一般概念。其次再以集合為例，說明非空實(shí)數(shù)集合上下確界概念即最準(zhǔn)確上下界的概念，然后從中抽象出上下確界的一般定義及其等價(jià)定義并通過證明集合的上下確界分別為3，1，使學(xué)生了解如何證明集合的上下確界從而加深對(duì)集合上下界及上下確界的理解。再次以集合為例說明在有理數(shù)域內(nèi)有上下界的集合可以在有理數(shù)域內(nèi)沒有上下確界，因此需要將有理數(shù)域拓廣為實(shí)數(shù)域。而在實(shí)數(shù)域內(nèi)可以證明確界原理即有上下界的非空實(shí)數(shù)集合在實(shí)數(shù)域內(nèi)必有上下確界，由此出發(fā)可以證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限及滿足柯西收斂準(zhǔn)則的數(shù)列必有極限。另外確界性質(zhì)在極限理論及積分理論，級(jí)數(shù)理論中也有廣泛應(yīng)用，應(yīng)該作為教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容。在講述確界性質(zhì)時(shí)，也應(yīng)以簡單證明為主，盡量避免繁瑣細(xì)節(jié)，使學(xué)生盡快了解內(nèi)容主線，掌握主導(dǎo)思想。下面以題目“設(shè)為非空有界實(shí)數(shù)集合，證明”為例來說明。主要是要證明集合的上確界為。分兩步：第一證明，總有;第二證明使得，使學(xué)生充分理解上（下）確界概念。再以題目“設(shè)為實(shí)數(shù)集合上有界函數(shù)，證明不等式”為例子來說明如何證明確界不等式。重點(diǎn)在于將看成兩個(gè)數(shù)，只要證明即可。為什么要這樣證明呢？主要是要讓學(xué)生在開始就觀察到不等式，均有，，由此可以推出，這樣按照下確界定義，不等式就成立了。

在教學(xué)中除了要遵循先具體直觀，再抽象概括的教學(xué)方法外，還應(yīng)該充分重視問題產(chǎn)生的背景以及前人為了解決此問題究竟作了哪些探索，產(chǎn)生了什么想法，獲得了什么成果，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及研究欲望，更好地掌握相關(guān)概念和知識(shí)主線。下面以定積分為例作說明。定積分概念是數(shù)學(xué)分析中最復(fù)雜的概念之一，直接講述學(xué)生難以理解，因此在講述此概念時(shí)應(yīng)該從概念產(chǎn)生的背景比如求平面圖形面積開始。求平面圖形面積及立體體積是一個(gè)古老的問題，古希臘時(shí)期人們就開始探索，由于時(shí)代的局限，沒能產(chǎn)生一般理論。文藝復(fù)興時(shí)期許多研究者用了巧妙的方法得到了許多具體圖形的面積，但也沒產(chǎn)生一般理論。比如用表示軸、拋物線及直線所圍曲邊三角形面積，為了求將閉區(qū)間等分成個(gè)長度相等的小閉區(qū)間，用個(gè)寬為，高為的矩形的面積之和作為的不足近似值，用個(gè)寬為，高為的矩形的面積之和作為的過剩近似值，則有，簡化后得到，即，但由于沒有極限理論，人們只能用反證法證明。而且這種方法也有很多疑問，比如為什么要等分區(qū)間，不等分時(shí)還能說明嗎？為什么取或?yàn)樾【匦蔚母?，取介于與之間的正數(shù)作矩形的高時(shí)還能說明嗎？等等。并且常常是不同的圖形要用差異很大的方法計(jì)算。有沒有一般的方法呢？人們繼續(xù)探索，到17世紀(jì)中葉牛頓萊布尼茲時(shí)代時(shí)，人們才認(rèn)識(shí)到求積與求導(dǎo)的互逆關(guān)系，問題的解決才得到了一些進(jìn)展。比如用表示軸、拋物線及直線所圍曲邊三角形面積，則可以很直觀看出，但還沒有產(chǎn)生面積的一般概念和求面積的一般方法及定積分的嚴(yán)格定義。直到19世紀(jì)20年代，法國數(shù)學(xué)家柯西引入了極限概念，才從根本上澄清了諸如“無窮多個(gè)無窮小量之和”之類的混亂概念，采用“分割，求近似，取極限”的統(tǒng)一方法求曲邊梯形的面積，從而產(chǎn)生了定積分的初步概念，但僅僅對(duì)連續(xù)函數(shù)或柯西認(rèn)為的連續(xù)曲線才有意義。19世紀(jì)30年代，一般的函數(shù)概念才完全形成，從而為德國數(shù)學(xué)家黎曼定義一般的定積分概念創(chuàng)造了條件。隨后法國數(shù)學(xué)家達(dá)布對(duì)定積分內(nèi)容進(jìn)行了深入仔細(xì)研究，形成了達(dá)布和等等概念，為研究面積和定積分的存在性打下了基礎(chǔ)。法國數(shù)學(xué)家勒貝格進(jìn)一步改進(jìn)了面積和定積分概念，形成了勒貝格測(cè)度和勒貝格積分概念，大大擴(kuò)展了定積分內(nèi)容，使之具有更高的適用性和完備性，為近現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。從定積分的發(fā)展歷史可以看出，一個(gè)重要數(shù)學(xué)概念的形成，往往要經(jīng)過數(shù)代數(shù)學(xué)家的努力。

下面就可以對(duì)學(xué)生具體講述黎曼積分及達(dá)布和的主要想法了。

先講一個(gè)具體例子：求曲邊梯形面積，然后從中抽象出定積分概念。設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)非負(fù)，求由曲線、軸、直線及直線所圍曲邊梯形面積。具體方法如下：第一步分割：在中任意插入分點(diǎn)，滿足，將分成個(gè)小區(qū)間（），記為第個(gè)小區(qū)間長度，用直線將曲邊梯形分成個(gè)窄曲邊梯形，相應(yīng)的也被分成部分，，其中表示第個(gè)窄曲邊梯形面積。第二步求近似：，用以為在此處鍵入公式。寬、為高的矩形面積作為的近似值，即，每個(gè)窄曲邊梯形均如此求近似值，相加，則有。第三步取極限：從直觀上看，每個(gè)的長度越小，近似程度越好，因此若對(duì)無限細(xì)分，則可以認(rèn)為近似值會(huì)無限接近曲邊梯形面積的真正值，即認(rèn)為=，其中。這種形式的極限還常常在其他一些數(shù)學(xué)和物理問題中出現(xiàn)，這樣把它抽象出來就形成了定積分的一般定義，只需要將函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)非負(fù)改為在區(qū)間上有定義即可。由此得到如下定積分定義：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，為常數(shù)，若，，使得對(duì)的任何分劃，任意的插點(diǎn)組，只要，就有成立，則稱為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。從這個(gè)定義可以看出，已經(jīng)去掉了對(duì)函數(shù)連續(xù)性的要求只要求函數(shù)有定義，去掉了對(duì)區(qū)間等分的要求而可以任意分割區(qū)間，去掉了只取區(qū)間端點(diǎn)的要求而可以在小區(qū)間上任意取值，這樣作的好處在于可以使研究的問題、研究的對(duì)象、研究的方法更加一般化，不在局限于面積問題而變成一個(gè)一般的極限問題，從而更易于形成可以處理廣泛問題的一般理論，充分體現(xiàn)了從具體問題中提取抽象概念以形成進(jìn)一步處理一般問題的理論的方法。定積分定義是一個(gè)復(fù)雜的概念，為了幫助學(xué)生理解其意義，還應(yīng)該向?qū)W生講述如下內(nèi)容：首先是與的關(guān)系，可以說明，但是不能說明;其次是定積分極限定義與函數(shù)極限定義的區(qū)別聯(lián)系，說明當(dāng)分劃的模確定后，積分和是不確定的;再次，說明定積分是一個(gè)數(shù)，此數(shù)只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，與表示積分變量的字母無關(guān);再次，說明當(dāng)定積分存在時(shí)，可以選取對(duì)區(qū)間的特殊分法及插點(diǎn)的特殊取法來具體計(jì)算定積分的值等等。

定積分定義具有高度的抽象性、廣泛的適用性，充分體現(xiàn)了語言極端嚴(yán)密高度概括的特點(diǎn)，與函數(shù)極限定義相比更加復(fù)雜。函數(shù)極限定義中除了以外只有一個(gè)任意，而定積分定義中除了以外還具有兩個(gè)任意，一個(gè)是任意給定一個(gè)分劃，另一個(gè)是任意給定插點(diǎn)組，這兩個(gè)任意使得定積分概念比函數(shù)極限概念復(fù)雜得多，是第二學(xué)期重要教學(xué)內(nèi)容，可以提高學(xué)生掌握語言的能力和抽象思維能力，使學(xué)生能夠進(jìn)入更加復(fù)雜的分析知識(shí)中。首先在教學(xué)中為了幫助學(xué)生掌握運(yùn)用定積分概念，可以通過與函數(shù)極限類比的方法。比如證明定積分的唯一性，此時(shí)可以用固定分劃、固定插點(diǎn)組的方法。再比如證明可積函數(shù)必定有界，此時(shí)就可以用固定分劃、固定插點(diǎn)組中除一個(gè)插點(diǎn)以外其他插點(diǎn)的方法。定積分的否定概念也是需要學(xué)生了解掌握的。比如意味著使得，都存在分劃及插點(diǎn)組，使得且成立;而不存在意味，存在分劃及插點(diǎn)組，使得且成立。這個(gè)說法比較復(fù)雜，如果與函數(shù)或數(shù)列極限不存在的說法類比，可以把它敘述成：存在區(qū)間的兩列分劃及相應(yīng)插點(diǎn)組，使分劃的模趨于0，但相應(yīng)的積分和趨向于不同的實(shí)數(shù)或存在區(qū)間的一列分劃及相應(yīng)插點(diǎn)組，使分劃的模趨于0，但相應(yīng)的積分和無極限。然后以在上不可積為例說明上述方法，使學(xué)生充分理解定積分否定概念。

三、如何提高解題及研究能力

定積分的存在性是第二學(xué)期教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。在教學(xué)中主要介紹達(dá)布和的內(nèi)容和一些簡單的證明，以使學(xué)生掌握內(nèi)容主線，避免陷入繁瑣細(xì)節(jié)之中。達(dá)布的主要想法是采用類似于函數(shù)極限迫斂性的方法將定積分定義中兩個(gè)任意轉(zhuǎn)化成一個(gè)任意就是對(duì)分劃的任意從而有效簡化了極限過程。具體說明如下：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界（此為定積分存在必要條件），任意給定的分劃，記

以上就是我們對(duì)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)改革的一些初步探索。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.第四版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]張筑生編著.數(shù)學(xué)分析新講.北京：北京大學(xué)出版社，1990.

注：本文受中國地質(zhì)大學(xué)（北京）2020年度本科教育質(zhì)量提升計(jì)劃建設(shè)項(xiàng)目資助