商不變，余數(shù)是否追隨

王曉敏

[摘 要]除法的基本意義分兩種，一種是包含除，一種是等分除，無論是哪一種，總存在不能整除的情況，也就是直觀操作中的不夠分、有剩余的現(xiàn)象。學(xué)生在沒有學(xué)習(xí)用分?jǐn)?shù)、小數(shù)表示商之前，用余數(shù)來作為整數(shù)商的后綴是必要的過渡手段，這時，商不變的定律對余數(shù)就失去了約束力。

[關(guān)鍵詞]除法;商;余數(shù);分?jǐn)?shù);小數(shù)

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）02-0027-02

四年級的期終考試有一道題：

在〇中填上“>”“<”或“=”。

85÷3〇（85×3）÷（3×3）

評閱試卷后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生有兩種截然不同的判斷。一部分學(xué)生判斷左右兩邊的式子相等，填“=”。根據(jù)四年級所學(xué)的除法算式中商不變的性質(zhì)，這里被除數(shù)和除數(shù)同時擴大3倍，因為被除數(shù)和除數(shù)的變化幅度相同，對商的作用兩相抵消，所以商不變。另一部分學(xué)生則判斷左邊的式子小于右邊的式子，填“<”，這是根據(jù)四則混合運算的基本法則，先分別計算出左右兩邊的得數(shù)，然后通過比較得數(shù)來判斷算式的大小，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，兩式的商相等，但余數(shù)有差別。

到底哪個符號才是這道題的正解，左右兩邊式子的值究竟誰大誰小，有待進(jìn)一步考證。這時，一些學(xué)生開始質(zhì)疑商不變性質(zhì)的權(quán)威性和可行性，他們認(rèn)為商不變的性質(zhì)可能只適用于能整除的算式，一旦無法整除，則不再適用。

一、一道除法算式判斷題引發(fā)的討論與思考

有教師堅稱兩個算式的得數(shù)有差異，因為余數(shù)不同：85÷3=28……1，而（85×3）÷（3×3）=28……3。也有教師持相反意見，堅信以上兩個算式是等值等價的，因為如果采用小數(shù)表示則結(jié)果相等：85÷3=28.3;（85×3）÷（3×3）=28.3。還有教師用分?jǐn)?shù)表示，結(jié)果也相等：85÷3=28[13]，（85×3）÷（3×3）=28[13]。

最后，大家達(dá)成共識：分析除法算式的結(jié)果時，不要緊盯余數(shù)不放，應(yīng)和除數(shù)聯(lián)系起來看問題。左邊的式子除完整數(shù)部分后所剩的余數(shù)雖然是1，但這個余數(shù)表示的意義是把85個物品平均分成3份，每份是28個，還余下1個，1個即占3份的[13]。而右邊的式子表示的意義是把255個物品平均分成9份，每份是28個，還余下3個，3個即占9份的[39]，而[39]=[13]，因此，這兩個除法算式的結(jié)果是等價的，即無論除法算式是否存在余數(shù)，商不變的性質(zhì)都是準(zhǔn)確可靠的。

二、數(shù)據(jù)變小后用直觀操作法來揭示真相

新問題又來了，四年級學(xué)生尚未學(xué)習(xí)用小數(shù)或分?jǐn)?shù)表示商，以上觀點就無法在學(xué)生現(xiàn)有的知識范圍內(nèi)闡述清楚。

我們不妨將原題中的數(shù)值改?。?/p>

5÷2〇（5×3）÷（2×3）

再把問題放到具體生活情境中來分析。左邊的式子：有5塊巧克力要平均分給2名小伙伴，每人分到2塊巧克力，還余下1塊。右邊的式子：現(xiàn)在巧克力的數(shù)量和分巧克力的人數(shù)都擴大到原來的3倍，即15塊巧克力平均分給6名小伙伴，每人分到2塊巧克力，還余下3塊。這時來看，每名小伙伴到手的巧克力數(shù)相等，都是2塊，對應(yīng)到除法算式里，就是商相等的情況。但是，剩下的無法平均分配的巧克力數(shù)則不相等，對應(yīng)到除法算式里，就是余數(shù)不相等的情況。

如果將巧克力切開，不斷繼續(xù)分配下去的話，會是怎樣的一幅景象呢？

圖1表示的是左邊的式子，將剩余的1塊巧克力再分成二等份，每人分到半塊巧克力，與之前分到的2塊巧克力合起來，最終每人分到兩塊巧克力加半塊巧克力。

圖2表示的是右邊的式子，將剩余的3塊巧克力分別二等分，再平均分給6人，每人分到半塊巧克力，與之前分到的2塊巧克力合起來，最終每人也分到兩塊巧克力加半塊巧克力。這樣一來，最終分配結(jié)果一目了然，兩種分法雖然余數(shù)不一樣，但因為除數(shù)也不一樣，所以繼續(xù)分配下去，每人最終分到的巧克力是相等的。因此，判斷兩個除法算式的結(jié)果是否等價，不能片面地僅從余數(shù)判斷，還應(yīng)綜合考慮除數(shù)的變化。

三、深入查清這道題背后隱藏的除法意義

回到主題，這么簡單的問題，為何會引發(fā)一番大討論呢？又為什么會出現(xiàn)兩種截然不同的觀點呢？究其原因，四年級學(xué)生所知有限，在有余數(shù)的除法算式中，表面上相等的商其實只代表真實商的整數(shù)部分，真實商的另一部分——小數(shù)部分，以余數(shù)的形式變成了整數(shù)商的后綴。這種用整數(shù)商和余數(shù)聯(lián)合的形式表示不能整除的除法算式的計算結(jié)果只是一種權(quán)宜之計，是學(xué)生在學(xué)習(xí)用小數(shù)和分?jǐn)?shù)表示商之前的過渡手段。如果商的完整性被忽略，單獨比較余數(shù)大小是沒有意義的，因為余數(shù)與除數(shù)有關(guān)，余數(shù)應(yīng)該平均分配給除數(shù)，所以應(yīng)將余數(shù)和除數(shù)結(jié)合起來看才客觀、全面。

85÷3〇（85×3）÷（3×3）這道題對于四年級學(xué)生來說，是否超綱有待商榷。有觀點認(rèn)為，四年級學(xué)生尚未學(xué)習(xí)用小數(shù)或分?jǐn)?shù)表示商，言下之意是按照小數(shù)商和分?jǐn)?shù)商的方法來判斷兩式商的大小不可行。顯然，四年級學(xué)生遇到兩個自然數(shù)無法整除時，只能用一個整數(shù)商和一個余數(shù)聯(lián)合表示計算結(jié)果，這時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)85÷3與（85×3）÷（3×3）的余數(shù)不一樣，為什么？因為85÷3按照包含除來理解，從85塊巧克力里每次取3塊裝一盒，裝了28盒后，還剩1塊不夠裝一盒，只夠[13]盒;而（85×3）÷（3×3）則要9塊裝一盒，裝了28盒后，還剩3塊不夠裝一盒，只夠[13]盒。前后對比，雖然后面剩下的巧克力多了（變成3塊），但是包裝的容量也大了（變成9塊），同樣只夠[13]盒。這種表達(dá)的不同需要借助分?jǐn)?shù)概念來討論，即“除以3余1”與“除以9余3”是否等價？這必然涉及分?jǐn)?shù)意義，而學(xué)生未曾學(xué)過，故通過分?jǐn)?shù)來判斷二者大小是強人所難。當(dāng)然，若堅持認(rèn)為“被除數(shù)與除數(shù)同時擴大相同的倍數(shù)，商不變”，那此題就輕松解決了。但是若有學(xué)生鉆牛角尖，偏要像某些教師那樣較真，以余數(shù)結(jié)果說話，那就肯定會遇到“超綱”的尷尬。

命題者出這道題有可能是要試探學(xué)生對定律的認(rèn)可度，是否“無條件服從”。雖然這道題放在四年級考察有欠考慮，但是也不失為一個重要的，能引起學(xué)生深入鉆研的教學(xué)資源。

（責(zé)編 李琪琦）