關(guān)于易腐產(chǎn)品的M/M/1 生產(chǎn)服務(wù)庫存模型的最優(yōu)控制

王 賽, 岳德權(quán), 張媛媛, 田瑞玲

(燕山大學(xué)理學(xué)院，秦皇島 066004)

1 引言

隨著經(jīng)濟的迅速發(fā)展，企業(yè)面臨的市場競爭越來越激烈，生產(chǎn)制造企業(yè)需要盡可能的降低庫存管理成本才能有可觀的經(jīng)濟效益.對于生產(chǎn)制造企業(yè)來說，庫存不僅用來減少顧客需求，也可以用來調(diào)節(jié)生產(chǎn)，使得生產(chǎn)能夠平穩(wěn)的進行.因此生產(chǎn)庫存模型及其庫存的控制管理一直是庫存理論的重要研究內(nèi)容.

生產(chǎn)庫存策略是生產(chǎn)庫存系統(tǒng)的重要研究問題.施文武等[1]研究了一種多周期隨機需求的生產(chǎn)庫存控制系統(tǒng)，給出了費用函數(shù)，并設(shè)計算法求得最優(yōu)控制策略.Benjaafar 等[2]研究了帶有不耐煩顧客的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)，確定了最佳生產(chǎn)策略，分析了最優(yōu)庫存控制策略對于各項性能指標的影響.Krishnamoorthy 和Viswanath[3]研究了具有(s,S)策略的帶有隨機服務(wù)時間的生產(chǎn)服務(wù)庫存系統(tǒng)，利用擬生滅過程方法得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分布和費用函數(shù).Baek 和Moon[4]研究了具有(s,S)策略的多個服務(wù)員的生產(chǎn)服務(wù)庫存系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)的性能指標和費用函數(shù)，并通過數(shù)值例子確定了系統(tǒng)最優(yōu)控制策略.Axs¨ater[5]研究了具有(s,S)策略且容量有限的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)，假設(shè)系統(tǒng)生產(chǎn)時間服從伽馬分布，利用M/G/1 的相關(guān)理論，得到了最優(yōu)的生產(chǎn)策略.Nair 和Jose[6]研究了具有(s,S)策略，兩種服務(wù)模式和重試需求的生產(chǎn)系統(tǒng)，求出了系統(tǒng)的性能指標，并建立了費用函數(shù).

在上述關(guān)于生產(chǎn)庫存系統(tǒng)的研究中，都沒有考慮產(chǎn)品的易腐性.我國每年因為易腐性產(chǎn)品造成的損失之和高達千億[7]，所以易腐庫存系統(tǒng)的分析是很重要的.易腐性產(chǎn)品是指那些必須在有限時間內(nèi)售出，否則將發(fā)生變質(zhì)、損壞、揮發(fā)、過期且必須進行清倉處理的商品，如生鮮食品、水果、蔬菜、海鮮等.其顯著特點是在儲存和流通的過程中產(chǎn)品的數(shù)量會因腐爛變質(zhì)、揮發(fā)、失效等逐漸減少.

易腐品的庫存問題已經(jīng)引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注.Kouki 等[8]研究了具有多種類型產(chǎn)品的易腐庫存問題，并且給出了系統(tǒng)的最優(yōu)庫存控制策略.Sivakumar[9]研究了具有(s,S)策略，帶有有限個顧客的易腐品庫存系統(tǒng)，根據(jù)穩(wěn)態(tài)方程求出了穩(wěn)態(tài)概率向量，并建立了費用函數(shù).Vijaya Laxmi 和Soujanya[10]分析了帶有服務(wù)中斷、重試需求和負顧客的易腐品庫存模型，并利用矩陣分析法求出了模型在穩(wěn)態(tài)下的聯(lián)合概率分布，討論了系統(tǒng)的各項性能指標，確定了費用函數(shù)并得到了庫存的最優(yōu)控制方案.Shophia Lawrence 等[11]研究了顧客有限的易腐產(chǎn)品的庫存系統(tǒng).假設(shè)服務(wù)時間服從位相分布，產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布，利用拉普拉斯變換方法推導(dǎo)出了系統(tǒng)的性能指標，構(gòu)建了費用函數(shù).Manuel 等[12]研究了具有(s,S)策略的兩類客戶的易腐產(chǎn)品庫存系統(tǒng)，求得了穩(wěn)態(tài)概率向量，并給出了費用函數(shù)的表達式.

在上述關(guān)于易腐產(chǎn)品的庫存控制文獻中，都是關(guān)注庫存系統(tǒng)的性能分析和庫存策略問題.目前在生產(chǎn)服務(wù)庫存系統(tǒng)中，關(guān)于易腐產(chǎn)品的生產(chǎn)庫存策略的研究工作較少.Sangeetha 等[13]研究了帶有重試需求的易腐品生產(chǎn)庫存系統(tǒng).假設(shè)系統(tǒng)的顧客數(shù)量有限，基于(s,S)策略建立半馬爾可夫過程，利用線性規(guī)劃方法求出系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)速率，并給出數(shù)值例子進行分析.本文討論了易腐產(chǎn)品的M/M/1 生產(chǎn)服務(wù)庫存模型.假設(shè)顧客數(shù)量是無限的，規(guī)定當系統(tǒng)庫存為零時，允許顧客進入系統(tǒng).根據(jù)擬生滅過程理論，我們求得了系統(tǒng)的平衡條件，進一步得到了穩(wěn)態(tài)概率向量矩陣幾何解，性能指標及成本函數(shù).最后給出數(shù)值例子，利用遺傳算法實現(xiàn)最優(yōu)解的有效搜索，得到了系統(tǒng)的最優(yōu)控制策略.

2 模型描述

我們考慮具有(s,S)生產(chǎn)策略的易腐產(chǎn)品的馬爾可夫生產(chǎn)服務(wù)庫存模型，可描述為：

顧客需求的到達服從參數(shù)為λ 的泊松過程，顧客到達系統(tǒng)后形成一個隊列，每位顧客的庫存需求量為一個單位庫存.系統(tǒng)中只有一個服務(wù)員，服務(wù)過程需要一定的時間，系統(tǒng)服務(wù)時間服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，服務(wù)規(guī)則為FCFS.

系統(tǒng)采用(s,S)生產(chǎn)策略，即當系統(tǒng)的庫存水平下降到s 時，生產(chǎn)系統(tǒng)立即啟動，并且每次只生產(chǎn)一個，直至庫存水平達到最大值S 時，才停止生產(chǎn)，其中s < S.生產(chǎn)時間服從參數(shù)為η 的指數(shù)分布.

產(chǎn)品壽命服從參數(shù)為γ 的指數(shù)分布，變質(zhì)后的產(chǎn)品將不再具有價值.系統(tǒng)是無損失的，即當系統(tǒng)庫存為零時，顧客可以進入系統(tǒng)等待.假設(shè)需求到達過程，服務(wù)過程和生產(chǎn)過程是相互獨立的.

3 系統(tǒng)平衡條件

3.1 狀態(tài)過程

定義系統(tǒng)的狀態(tài)過程為ψ = {(N(t),I(t),C(t)); t ≥0}，其中N(t)表示時刻t 系統(tǒng)中的顧客數(shù)，I(t)表示時刻t 系統(tǒng)的庫存水平，C(t)表示時刻t 系統(tǒng)的生產(chǎn)狀態(tài)，其中C(t) = 0 表示生產(chǎn)系統(tǒng)關(guān)閉，C(t) = 1 表示生產(chǎn)系統(tǒng)開啟.根據(jù)(s,S)策略，C(t)應(yīng)滿足如下關(guān)系

過程ψ ={(N(t),I(t),C(t)); t ≥0}的狀態(tài)空間為

將狀態(tài)按字典序排列可得過程ψ ={(N(t),I(t),C(t)); t ≥0}的無窮小生成元如下

其中

其中

D1是(2S ?s)×S 維矩陣，D2是(2S ?s)×(S ?s)維矩陣，C 是(2S ?s)×(2S ?s)維矩陣，I 是(2S ?s)維單位陣，I1是(2S ?s ?1)維單位陣.

3.2 系統(tǒng)平衡條件

由矩陣Q 的結(jié)構(gòu)可知過程ψ = {(N(t),I(t),C(t)); t ≥0}是擬生滅過程[14].令H =C+B+A，則有

H =(H1H2),

其中

L1(i)=?(η+μ+iγ), 1 ≤i ≤S ?1,

L2(i)=?(μ+iγ), s+1 ≤i ≤S, G(i)=iγ+μ, 1 ≤i ≤S,

H1是(2S ?s)×S 維矩陣，H2是(2S ?s)×(S ?s)維矩陣.

定義H 的平穩(wěn)概率向量為

π =(π(0,1),π(1,1),··· ,π(S ?1,1),π(s+1,0),π(s+2,0),··· ,π(S,0)),

平穩(wěn)概率向量π 滿足如下條件

其中e1是所有元素為1 的(2S ?s)維列向量.通過計算整理，概率向量π 的各個分量可表示為

其中

由文獻[14]知，過程ψ ={(N(t),I(t),C(t)); t ≥0}正常返的充分必要條件為πAe1<πCe1.經(jīng)計算整理可得

通過計算，πAe1<πCe1等價于

所以，公式(1)就是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平衡的充分必要條件.

注1 根據(jù)給出的πAe1和πCe1的表達式，可以看出πAe1表示系統(tǒng)的到達率，πCe1表示當庫存非零時系統(tǒng)的服務(wù)率，即系統(tǒng)的有效服務(wù)率.根據(jù)排隊論的知識，當系統(tǒng)的到達率λ 小于系統(tǒng)的有效服務(wù)率時，系統(tǒng)達到平衡狀態(tài).

4 矩陣幾何解

本節(jié)利用擬生滅過程理論，首先給出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布的矩陣幾何解，然后討論率陣R 和邊界狀態(tài)概率的計算問題.定義穩(wěn)態(tài)概率為

在穩(wěn)態(tài)條件ρ < 1 下，Q 的平穩(wěn)概率向量P 存在.相應(yīng)于Q 的分塊結(jié)構(gòu)，穩(wěn)態(tài)概率向量P 分塊如下

P =(P0,P1,··· ,Pi,···),

其中

Pi={P(i,0,1),P(i,1,1),··· ,P(i,S ?1,1),P(i,s+1,0),··· ,P(i,S,0)}, i ≥0.

穩(wěn)態(tài)向量P 滿足如下平衡方程

其中e 是元素都為1 的適當維數(shù)的列向量.根據(jù)公式(2)，我們可以得到如下方程組

由文獻[15]知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率向量有矩陣幾何解

其中R 是矩陣二次方程

的最小非負解，其譜半徑sp(R)<1.P0是方程組的唯一正解，其中0 矩陣是元素都是0 的(2S ?s)維行向量，I 是(2S ?s)維單位矩陣.

為了計算系統(tǒng)的平穩(wěn)向量，我們需要求出方程(7)的最小非負解R.在計算R 時，我們采用改進的循環(huán)簡約算法.循環(huán)簡約算法在文獻[16,17]中有詳細的介紹，循環(huán)簡約算法步驟如下：

步驟1 令

步驟2 矩陣^B(j)和率陣R 由以下循環(huán)迭代方法求得

直至迭代得到R 值的差的范數(shù)滿足‖R(j+1)?R(j)‖≤ε，從而求得率陣R；

步驟3 由方程(8)及Pi=P0Ri, i ≥0，即可求得平穩(wěn)分布.

注2 為計算系統(tǒng)的平穩(wěn)概率向量，我們需要求解矩陣二次方程(7)的最小非負解.在本文中，矩陣B、矩陣C 和矩陣A 均不是特殊矩陣，若直接利用方程(7)求解率陣R 則計算過程過于復(fù)雜，不易直接求出.例如，當采用(1,2)策略時，為求解R 需要求解一個九元二次方程組，求解過程相當復(fù)雜.因此我們使用上述算法，可近似求出率陣R 的數(shù)值計算結(jié)果.

例1 給定系統(tǒng)的參數(shù)值s = 1, S = 2, λ = 3.5, η = 5, γ = 0.05, μ = 8，根據(jù)率陣R 的計算方法，可近似求出R 如下

利用方程組(8)求解向量P0，結(jié)果如下

P0=(0.04132849666420,0.07048216383424,0.09789189421422),

再由公式(6)可以計算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率向量.

5 穩(wěn)態(tài)性能指標及成本分析

5.1 穩(wěn)態(tài)指標

根據(jù)上述穩(wěn)態(tài)概率向量的表達式，易得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能指標，具體如下：

1) 平均隊長

其中δ1是元素為1 的(2S ?s)維列向量.

2) 平均等待隊長

3) 平均庫存

其中δ2為(2S ?s)維列向量，且δ2=(0,1,2,··· ,S ?1,s+1,s+2,··· ,S)T.

4) 平均易腐率

5) 平均生產(chǎn)率

其中δ3=(a b)T，a 是元素都為1 的S 維行向量，b 是元素都為0 的(S ?s)維行向量.

6) 平均生產(chǎn)啟動率

其中δ4為第(S+1)個元素為1，其余元素為0 的(2S ?s)維列向量.

5.2 成本函數(shù)分析

假設(shè)該庫存系統(tǒng)的成本主要由庫存保管成本、生產(chǎn)成本、設(shè)備啟動所需要的固定成本、產(chǎn)品腐爛的損失成本以及系統(tǒng)中每個顧客的等待成本組成.令單位時間單位庫存的保管成本為Cinv，單位時間的生產(chǎn)成本為Crp，每單位產(chǎn)品腐爛的成本損失為Cp，系統(tǒng)中每個顧客的等待成本Clq，每次重啟設(shè)備所需要的固定成本為K，則系統(tǒng)的成本函數(shù)C(s,S)為

顯然，系統(tǒng)的成本函數(shù)是關(guān)于庫存控制決策變量s, S 的非線性函數(shù)，且決策變量是離散的整數(shù)型變量.因為成本函數(shù)的表達式具有高復(fù)雜性，所以對于最小值的計算有一定難度.對于具體的數(shù)值例子，本文采用遺傳算法求解最優(yōu)值.

5.3 遺傳算法

遺傳算法(GA)是模擬自然界遺傳、變異、適者生存的進化思想來求解優(yōu)化問題，對目標函數(shù)和約束條件的要求較低.對于存在有限的可行解空間的純整數(shù)規(guī)劃問題，可采用適當?shù)倪z傳算法得到最優(yōu)解，本文采用了豐建榮等[18]提出的利用二進制編碼的遺傳算法，具體步驟如下：

步驟1 隨機產(chǎn)生初始種群，個體數(shù)目一定.如果個體無效，那么重新隨機生成初始個體，直至有效；

步驟2 評價群體的適應(yīng)度，找到最好的染色體；

步驟3 用輪盤賭策略對每一代種群中的染色體進行選擇；

步驟4 進行個體交叉操作，判斷個體的有效性.如果是無效個體，則隨機生成一個交叉位置進行交叉，直至有效；

步驟5 進行個體變異操作.如果產(chǎn)生無效個體，則重新進行變異操作，直至有效個體產(chǎn)生；

步驟6 由選擇、交叉和變異產(chǎn)生新一代種群；

步驟7 對新種群適應(yīng)度評價，找到最好的染色體，將它與上一次進化中最好的染色體比較，記錄每一代進化中最好的適應(yīng)度和平均適應(yīng)度；

步驟8 如果不滿足算法終止的條件，轉(zhuǎn)到步驟3.否則，輸出當前最優(yōu)個體，算法結(jié)束.

6 數(shù)值分析

本節(jié)通過數(shù)值例子來考察系統(tǒng)參數(shù)的敏感性.根據(jù)上一節(jié)設(shè)置的遺傳算法，設(shè)置種群大小為50，交叉率為0.6，變異率為0.01，算法終止條件為100 次(通過反復(fù)實驗，程序迭代100 次結(jié)束，穩(wěn)定收斂到最優(yōu)解)，并用Matlab R2014a 編程進行數(shù)值實驗.

表1 給出了參數(shù)λ 取不同的值時，系統(tǒng)的最優(yōu)控制策略和一些性能指標的取值變化，其中參數(shù)設(shè)置為η = 5, γ = 0.05, μ = 8, Cinv= 10, Crp= 20, Cp= 50, Clq=200, K =2500.

表1 參數(shù)λ 的敏感性分析

由表1 可見，隨著參數(shù)λ 的增大，系統(tǒng)的安全庫存水平和最大庫存水平都呈上升趨勢.系統(tǒng)的平均庫存、平均易腐率、平均生產(chǎn)速率、平均等待隊長逐漸增加，平均生產(chǎn)啟動率逐漸減小，最終成本函數(shù)逐漸增加.對于企業(yè)來說，在系統(tǒng)成本參數(shù)確定的條件下，市場需求增加時，庫存控制的最優(yōu)策略應(yīng)相應(yīng)的上調(diào)安全庫存水平和最大庫存水平.

表2 給出了參數(shù)η 取不同的值時，系統(tǒng)的最優(yōu)控制策略和一些性能指標的取值變化，其中參數(shù)為λ=3.5, γ =0.05, μ=8, Cinv=10, Crp=20, Cp=50, Clq=200, K =2500.

表2 參數(shù)η 的敏感性分析

由表2 可見，隨著參數(shù)η 的增加，系統(tǒng)的安全庫存水平，最大庫存水平均呈下降趨勢.系統(tǒng)的平均庫存、平均生產(chǎn)率、平均易腐率先減后增，平均等待隊長逐漸減小，平均生產(chǎn)啟動率逐漸增大，最終導(dǎo)致系統(tǒng)的成本逐漸增大.對于企業(yè)來說，可以通過技術(shù)改進，更新設(shè)備等方法提高生產(chǎn)率.同時當生產(chǎn)效率提高時，庫存控制的最優(yōu)策略需要下調(diào)安全庫存水平和最大庫存水平，企業(yè)在調(diào)整時還需要注意生產(chǎn)效率過高會造成產(chǎn)品堆積.

表3 給出了參數(shù)γ 取不同的值時，系統(tǒng)的最優(yōu)控制策略和一些性能指標的取值變化，參數(shù)為λ=3.5, η =5, μ=8, Cinv=10, Crp=20, Cp=50, Clq=200, K =2500.

表3 參數(shù)γ 的敏感性分析

由表3 可見，隨著γ 的增加，系統(tǒng)最大庫存水平逐漸減少.系統(tǒng)的平均庫存、平均生產(chǎn)啟動率逐漸減少，平均生產(chǎn)率、產(chǎn)品的平均易腐率逐漸增加，平均等待隊長先增后減，最終導(dǎo)致系統(tǒng)費用增加.易腐產(chǎn)品的壽命參數(shù)γ 越小，產(chǎn)品的腐爛速度則越慢，系統(tǒng)成本越小.對于企業(yè)來說，可優(yōu)化易腐品的保存方法，延長產(chǎn)品壽命，進而降低庫存成本.

表4 給出了參數(shù)μ取不同的值時，系統(tǒng)的最優(yōu)控制策略和一些性能指標的取值變化，參數(shù)設(shè)置為λ=3.5, η =5, γ =0.05, Cinv=10, Crp=20, Cp=50, Clq=200, K =2500.

表4 參數(shù)μ的敏感性分析

由表4 可見，隨著參數(shù)μ的增加，系統(tǒng)的安全庫存和最大庫存水平保持穩(wěn)定.系統(tǒng)平均生產(chǎn)啟動率逐漸增加，但增幅很小.平均生產(chǎn)率、平均庫存和平均易腐率、平均等待隊長逐漸減小，系統(tǒng)成本逐漸減小.在系統(tǒng)成本參數(shù)確定的條件下，服務(wù)速率越高，系統(tǒng)的成本則越低.所以對于企業(yè)而言，應(yīng)該提高員工的服務(wù)效率，進而降低系統(tǒng)的庫存成本.

7 結(jié)論

本文研究了有關(guān)易腐產(chǎn)品的M/M/1 生產(chǎn)服務(wù)庫存模型，建立了關(guān)于系統(tǒng)中的顧客數(shù)、庫存水平和生產(chǎn)狀態(tài)三個隨機變量的三維擬生滅過程.利用擬生滅過程理論，求出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平衡條件，給出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率的矩陣幾何解，并求出一些系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的性能指標.進一步構(gòu)建了成本函數(shù)，針對系統(tǒng)成本函數(shù)的非線性、整數(shù)型變量的特點，運用遺傳算法，實現(xiàn)了最優(yōu)解的有效搜索.通過數(shù)值實驗分析了系統(tǒng)參數(shù)的敏感性，這些分析結(jié)果，有助于生產(chǎn)型企業(yè)在外部參數(shù)發(fā)生變化時，根據(jù)實際情況及時調(diào)節(jié)庫存控制策略，對庫存管理實踐具有指導(dǎo)借鑒意義.