具有時(shí)滯和脈沖捕獲、污染物脈沖輸入的捕食-食餌-環(huán)境模型

章培軍, 王 震, 陳 恒

(西京學(xué)院理學(xué)院，西安 710123)

1 引言

害蟲(chóng)爆發(fā)常常會(huì)引發(fā)嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)和生態(tài)問(wèn)題，我國(guó)作為一個(gè)農(nóng)業(yè)大國(guó)，害蟲(chóng)治理問(wèn)題一直是關(guān)注的熱點(diǎn)，如何有效地控制害蟲(chóng)也是大家最關(guān)心的問(wèn)題.人們采取了各種措施控制害蟲(chóng)的爆發(fā)，如化學(xué)控制(噴灑農(nóng)藥)和生物控制(脈沖投放天敵)等，農(nóng)業(yè)部門(mén)和研究學(xué)者們提出了害蟲(chóng)綜合控制策略，要求合理有效地使用這兩種控制手段.

捕食-食餌模型是種群動(dòng)力學(xué)中重要的模型，也是生態(tài)學(xué)與生物數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究課題，很多學(xué)者研究了影響捕食-食餌模型動(dòng)態(tài)特性的因素，如功能反應(yīng)、時(shí)滯、階段結(jié)構(gòu)和收獲等，特別是這些因素的共同作用[1-4].然而，種群動(dòng)力學(xué)中有許多自然現(xiàn)象和人為干預(yù)因素的作用都可以用脈沖微分方程來(lái)刻畫(huà)，脈沖效應(yīng)在生態(tài)學(xué)系統(tǒng)中描述某些運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的快速變化和跳躍，如生物種群個(gè)體的出生、人類(lèi)對(duì)生物資源的脈沖捕獲與投放等[5-8]，它能更真實(shí)地反映自然界的發(fā)展過(guò)程.

隨著工業(yè)、農(nóng)業(yè)的快速發(fā)展，環(huán)境污染日益嚴(yán)重，研究環(huán)境中污染物或毒素對(duì)種群乃至生態(tài)系統(tǒng)的影響成為生態(tài)數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題，早在20 世紀(jì)80 年代，Hallam 等[9-11]假設(shè)種群的增長(zhǎng)率線(xiàn)性依賴(lài)于對(duì)毒素的吸收，研究了這種毒素排放到環(huán)境中對(duì)生物種群的影響，揭開(kāi)了此方面的研究序幕.后來(lái)，很多學(xué)者在此領(lǐng)域進(jìn)行了大量的工作，取得了很多研究成果[12-16].其中，李冬梅等[14]研究污染環(huán)境下脈沖輸入毒素對(duì)具有階段結(jié)構(gòu)的單種群的影響，得到了種群滅絕和持久生存的充分條件，為控制環(huán)境中毒素對(duì)種群生長(zhǎng)的影響提供了理論依據(jù).然而，在實(shí)際生態(tài)系統(tǒng)中，幾乎沒(méi)有獨(dú)立的單種群存在，而是多種群共同存在，故考慮捕食-食餌關(guān)系的兩種群生態(tài)模型更符合實(shí)際.并且在污染的環(huán)境中，有些天敵受污染物或毒素的影響，使其數(shù)量減少，甚至滅絕，這使得我們需要控制污染物排放的數(shù)量和周期，保證天敵種群可以持續(xù)生存.另一方面，農(nóng)藥噴灑過(guò)多，會(huì)使害蟲(chóng)大量減少，但同時(shí)也對(duì)環(huán)境造成了嚴(yán)重的污染，在毒殺害蟲(chóng)的同時(shí)，也殺害了天敵.為了保持生態(tài)平衡，不需要使害蟲(chóng)完全滅絕，當(dāng)害蟲(chóng)不會(huì)帶來(lái)非常大的經(jīng)濟(jì)損失時(shí)，我們希望害蟲(chóng)和天敵能夠持續(xù)生存.

2 模型的建立及預(yù)備知識(shí)

綜上所述，本文研究脈沖污染的環(huán)境中，捕食者具有階段結(jié)構(gòu)、食餌具有脈沖收獲的時(shí)滯捕食-食餌-環(huán)境模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，包括捕食者滅絕周期解的全局吸引性和系統(tǒng)持久性，考慮如下模型

由于系統(tǒng)(1)的第一、三、四方程都不顯含y1(t)，所以考慮系統(tǒng)

系統(tǒng)(2)的初始條件是

且在?kT(k ∈N)處不連續(xù)，而是左連續(xù)，即

考慮到系統(tǒng)的生物意義，我們假設(shè)φ1(0)>0, φ3(0)>0, φ4(0)>0.

引理1[17]對(duì)于系統(tǒng)(1)的所有解，當(dāng)t 足夠大時(shí)，存在一個(gè)常數(shù)Q>0，使得x(t)≤

Q, y1(t)≤Q, y2(t)≤Q, c(t)≤Q.

引理2[5]考慮脈沖系統(tǒng)

其中r >0, K >0, 0<θ <1，則系統(tǒng)(3)存在唯一正周期解

且全局漸近穩(wěn)定.

引理3[15]考慮脈沖系統(tǒng)

其中d3>0, δ >0，則系統(tǒng)(4)存在唯一正周期解

且全局漸近穩(wěn)定.

引理4[18]考慮下列微分方程

x′(t)=ax(t ?τ)?bx(t),

其中a, b, τ >0，當(dāng)?τ ≤t ≤0 時(shí)，x(t)>0，則：

1) 如果a

2) 如果a>b，則limt→∞x(t)=∞.

3 捕食者滅絕周期解的全局吸引性

在系統(tǒng)(2)中，令y2(t)=0, t ≥?τ，則可得到如下系統(tǒng)

由引理2、3，得到系統(tǒng)(5)的周期解為

且全局漸漸穩(wěn)定.

定理1 如果R1< 1 時(shí)，則系統(tǒng)(2)的捕食者滅絕周期解((t),0,(t))是全局吸引的，其中

證明 由于R1<1，選擇充分小的ε0, ε1>0，使

從系統(tǒng)(2)的第一個(gè)方程，得到

考慮帶有脈沖的比較系統(tǒng)

由引理2，得到系統(tǒng)的周期解為

由比較原理[19]，存在n1∈N 和任意小的整數(shù)ε0，對(duì)任意t>n1T，滿(mǎn)足

即

從系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程，得

考慮如下的比較系統(tǒng)

由引理4，得到limt→∞y(t)=0，因此，limt→∞y2(t)=0，對(duì)充分小的ε2> 0，存在整數(shù)n2>n1，任意t>n2T，有y2(t)<ε2.

對(duì)任意t>n2T，由系統(tǒng)(2)的第一個(gè)方程，得到

考慮帶有脈沖的比較系統(tǒng)

由引理2，得到系統(tǒng)的周期解

由比較原理，則存在整數(shù)n3>n2，使得對(duì)任意t>n3T，滿(mǎn)足

由于ε0與ε2充分小，得到

是全局吸引的，又由引理3 知，當(dāng)t →∞時(shí)，c(t) →(t)，從而系統(tǒng)(2)的捕食者滅絕周期解((t),0,(t))是全局吸引的.

推論1 如果θ =0 且τ >τ?1或δ >δ?，則系統(tǒng)(2)的捕食者滅絕周期解((t),0,(t))是全局吸引的，其中

推論2 如果δ =0 且τ >τ?2或θ >θ?，則系統(tǒng)(2)的捕食者滅絕周期解((t),0,(t))是全局吸引的，其中

4 持久性

定理2 如果R2> 1 且t 足夠大時(shí)，則存在正常數(shù)M，使得系統(tǒng)(2)的每一個(gè)正解(x(t),y2(t),c(t))都滿(mǎn)足y2(t)≥M，其中

證明 系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程，可寫(xiě)成

定義

由系統(tǒng)(2)，得到F(t)的導(dǎo)數(shù)

考慮帶有脈沖的比較系統(tǒng)

得到系統(tǒng)的周期解為

其中

根據(jù)脈沖微分方程的比較原理，則存在t1(t1> t0+ τ)和充分小的ε > 0，使得t>t1時(shí)，x(t)≥2(t)?ε，從而

由式(6)和(7)可知，對(duì)所有的t>t1，有

根據(jù)定理2 和以上討論，我們不難得出：當(dāng)R2>1 時(shí)，系統(tǒng)(1)是持久的.

5 結(jié)論與數(shù)值仿真

本文建立了一個(gè)在污染環(huán)境中，捕食者具有階段結(jié)構(gòu)、食餌具有脈沖收獲的時(shí)滯捕食-食餌模型，并且污染物被脈沖地輸入到環(huán)境中，導(dǎo)致捕食者的數(shù)量減少.為了得到捕食者滅絕周期解的全局吸引性和系統(tǒng)持久性的充分條件，定義了兩個(gè)閾值R1和R2，當(dāng)1 ?θ ?e?rT>0 時(shí)，明顯有R1>R2.

當(dāng)R1< 1 時(shí)，由定理1 可知，系統(tǒng)的捕食者滅絕周期解是全局吸引的，捕食者在一段時(shí)間后滅亡，食餌種群及污染物的濃度呈周期波動(dòng).

當(dāng)R2>1 時(shí)，由定理3 可知，系統(tǒng)是持久的，種群是持續(xù)生存的.

當(dāng)R2< 1 < R1時(shí)，系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)會(huì)發(fā)生改變，例如，取r = 0.8, K =2, β =1, m=0.5, α=0.8, d1=0.3, d2=0.4, γ =0.1, d3=0.8, θ =0.5, δ =2, τ =0.5, T =1.5，經(jīng)計(jì)算得到R1=1.0272, R2=0.4445，有R2<1

圖1 捕食者滅絕

圖2 系統(tǒng)是持續(xù)的

根據(jù)定理1 和3 可知，種群能否持續(xù)生存，主要依賴(lài)于食餌的捕獲率θ，污染物的脈沖輸入量δ 和脈沖作用的周期T.如果食餌的捕獲率θ、污染物的脈沖輸入量δ 過(guò)大，或者脈沖作用的周期T 過(guò)小，捕食者是滅絕的.選擇參數(shù)值r = 0.8, K = 2, β = 2, m =0.5, α=1.2, d1=0.3, d2=0.4, γ =0.1, d3=0.8, θ =0.5, δ =2, τ =0.5, T =1.5，經(jīng)計(jì)算得到R2= 1.3335 > 1，由定理3 可知系統(tǒng)是持續(xù)生存的，如圖3 所示.在其它參數(shù)不變的情況下，當(dāng)增加食餌的捕獲率至θ = 0.68 時(shí)，R1= 0.6592 < 1，由定理1 可知捕食者滅絕，如圖4 所示；當(dāng)增加污染物的脈沖輸入量至δ = 30 時(shí)，R1= 0.8849 < 1，由定理1 可知捕食者也滅絕，如圖5 所示；當(dāng)減少脈沖作用的周期至T = 0.9 時(shí)，R1=0.3439 < 1，由定理1 可知捕食者還是滅絕的，如圖6 所示.為了保持系統(tǒng)的持續(xù)生存，我們應(yīng)該控制污染物輸入的周期和數(shù)量，同樣也要合理控制食餌的捕獲.這些為我們今后對(duì)生物資源的開(kāi)發(fā)、種群數(shù)量的收獲及環(huán)境的控制提供了寶貴的理論依據(jù).

圖3 系統(tǒng)是持續(xù)的

圖4 增加食餌的捕獲率至0.68 時(shí)，捕食者滅絕

圖6 減少脈沖作用的周期至0.9 時(shí)，捕食者滅絕