函數(shù)列一致收斂性及其應(yīng)用

李 萌 范進(jìn)軍

( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，250358，濟南 )

1 引 言

函數(shù)列的一致收斂是數(shù)學(xué)分析教材中的重要概念，對研究其極限函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性和可積性具有重要的作用[1-3].目前一元函數(shù)列一致收斂的理論體系比較完善，已有一些學(xué)者對一元函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)的收斂性做了直觀刻畫[4-6].由此推廣可以得到多元函數(shù)列一致收斂的理論知識[7-9]，但是二元函數(shù)列一致收斂的過程對初學(xué)者來說不夠形象具體且難以理解.因此可以構(gòu)造適當(dāng)?shù)亩瘮?shù)列和二元函數(shù)項級數(shù)，運用MATLAB軟件畫出其函數(shù)圖像，通過直觀分析圖像規(guī)律加深對函數(shù)列一致收斂動態(tài)過程的理解，為進(jìn)一步探尋其極限函數(shù)的各種性質(zhì)做好準(zhǔn)備.另外函數(shù)列的一致收斂性可以推廣到函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性，因而借助MATLAB軟件的直觀刻畫，也可以探尋判斷函數(shù)項級數(shù)斂散性的新方法.

2 二元函數(shù)列一致收斂和MATLAB編程應(yīng)用

2.1預(yù)備知識本文對一元函數(shù)列的相關(guān)概念進(jìn)行推廣得到二元函數(shù)列一致收斂的定義及相關(guān)判斷方法，借助MATLAB軟件將具體函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化，幫助初學(xué)者增加對函數(shù)列收斂過程的認(rèn)識.為方便起見，給出下面的幾個引理.

引理1[1]設(shè)二元函數(shù)列{fn(x,y)}與二元函數(shù)f(x,y)定義在同一區(qū)域D∈R2上，若對任意的正數(shù)ε，總存在某一正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時，對一切的點(x,y)∈D都有

|fn(x,y)-f(x,y)|<ε，

引理2[1]函數(shù)列{fn(x,y)}在區(qū)域D∈R2上一致收斂于f(x,y)的充要條件為

引理3[1]二元函數(shù)列{fn(x,y)}一致收斂于f(x,y)的幾何意義：對任意的正數(shù)ε，存在某一正整數(shù)N，對于一切序號大于N的三維曲面y=fn(x,y)都落在以曲面y=f(x,y)+ε與y=f(x,y)-ε為上下邊界所夾擊形成的區(qū)域中.

2.2 MATLAB編程及應(yīng)用

2.2.1 用MATLAB判斷函數(shù)列一致收斂的方法

1) 方法1：依據(jù)函數(shù)列一致收斂的定義(引理1)及其幾何意義(引理3)判斷一致收斂性.根據(jù)函數(shù)列一致收斂的定義及幾何意義可知,對于某個事先給定的ε(0<ε<1),如果存在正整數(shù)N，使得n>N時，總有曲面gn(x,y)=fn(x,y)-f(x,y)落在曲面v(x,y)=ε與曲面v(x,y)=-ε之中，則說明函數(shù)列{fn(x,y)}在區(qū)域D∈R2上一致收斂，否則就不一致收斂.因此可以借助MATLAB畫出n=1∶24(或1∶m，m為充分大的正整數(shù))的函數(shù)圖像，觀察曲面gn(x,y)=fn(x,y)-f(x,y)是否落在曲面v(x,y)=ε與曲面v(x,y)=-ε之中，如果都被此區(qū)域包圍說明該函數(shù)列一致收斂，否則該函數(shù)列就不一致收斂.

2) 方法2:依據(jù)函數(shù)列一致收斂的充要條件(引理2)判斷一致收斂性.根據(jù)函數(shù)列一致收斂的充要條件,可以用MATLAB求出對每個正整數(shù)n，gn(x,y)=fn(x,y)-f(x,y)在區(qū)域D上所取得的絕對值的最大值gmax，然后畫出n與gmax的函數(shù)圖像.如果當(dāng)n趨于時gmax趨于0，就能說明該函數(shù)列{fn(x,y)}在區(qū)域D∈R2上一致收斂，否則就不一致收斂.

2.2.2 用MATLAB判斷函數(shù)列一致收斂的具體實例

證1)(直觀說明)分別用2.2.1中的方法1和方法2，借助MATLAB編程(實驗結(jié)果如圖1至圖6所示)，將具體函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化，說明其在特定區(qū)域上是一致收斂的.

圖1 n=1∶6所對應(yīng)的gn(x,y)函數(shù)整體圖像

圖2 n=7∶12所對應(yīng)的gn(x,y)函數(shù)局部圖像

圖3 n=13∶18所對應(yīng)的gn(x,y)函數(shù)局部圖像

圖4 n=19∶24所對應(yīng)的gn(x,y)函數(shù)局部圖像

圖5 n=19∶24所對應(yīng)的gn(x,y)函數(shù)整體圖像

圖6 n與的函數(shù)關(guān)系圖像

首先，運用2.2.1中的方法1(引理3)進(jìn)行編程，實驗結(jié)果如下所示.

MATLAB程序：

co=[0.5,0,0.5;0,1,0;0,0,1;1,1,0;1,0,0;0.5,1,1]; %構(gòu)造顏色矩陣

[thetar]=meshgrid(linspace(0,2*pi,100),linspace(0,1,20));

[x,y]=pol2cart(theta,r);

fori=1∶4

figure(i)

fmesh(@(x,y)1/2,[-1,1,-1,1])

hold on

fmesh(@(x,y)-1/2,[-1,1,-1,1])

hold on

forn=1+6*(i-1)∶6*i

z=sin((x.^2+y.^2)./n);

t=mesh(x,y,z)

set(t,′FaceColor′,...

co(n-6*(i-1),:))

hold on

end

xlabel(′x軸′) ylabel(′y軸′)

switchi

case 1

title(′n=1∶6′);

case 2

title(′n=7∶12′);

case 3

title(′n=13∶18′);

case 4

title(′n=19∶24′);

end

hold on

end

然后，運用2.2.1中的方法2(引理2)進(jìn)行編程，實驗結(jié)果如下所示.

MATLAB程序：

[thetar]=meshgrid(linspace(0,2*pi,100),linspace(0,1,20));

[x,y]=pol2cart(theta,r);

forn=1∶30

z=sin((x.^2+y.^2)./n);

M(n)=max(max(z));

end

plot(M,′*r′)xlabel(′n的取值′)

title(′n與|fn(x,y)-f(x,y)|最大值的關(guān)系′)

ylabel(′|fn(x,y)-f(x,y)|在D上最大值′)

解1)(直觀說明)首先，用2.2.1中的方法1(引理3)進(jìn)行編程，實驗結(jié)果如下所示(圖7).

圖7 n=1∶24所對應(yīng)的gn(x,y)函數(shù)整體圖像

然后，運用2.2.1中的方法2(引理2)進(jìn)行編程，實驗結(jié)果如下所示(圖8).

圖8 n與的函數(shù)關(guān)系圖像

3 二元函數(shù)項級數(shù)一致收斂和MATLAB編程應(yīng)用

3.1 預(yù)備知識

引理4[1]設(shè){Sn(x,y)}是函數(shù)項級數(shù)∑un(x,y)的部分和函數(shù)列，若{Sn(x,y)}在區(qū)域D中一致收斂于二元函數(shù)S(x,y),則稱∑un(x,y)在D中一致收斂于S(x,y).

引理5[1]函數(shù)項級數(shù)∑un(x,y)在區(qū)域D中一致收斂于二元函數(shù)S(x,y)的充要條件為

引理6[2]函數(shù)項級數(shù)∑un(x,y)在區(qū)域D中一致收斂的必要條件是函數(shù)列{un(x,y)}在D中一致收斂于0.

引理7[1]設(shè)二元函數(shù)項級數(shù)∑un(x,y)定義在點集D∈R2上，∑Mn為收斂的正項級數(shù)，若對任意(x,y)∈D有|un(x,y)|≤Mn(n=1,2,3……)，則二元函數(shù)項級數(shù)∑un(x,y)在點集D∈R2上一致收斂.

3.2 MATLAB編程及應(yīng)用

3.2.1 用MATLAB判斷函數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法 運用MATLAB判斷函數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法步驟如下.

步驟1：由引理6可知，先驗證函數(shù)列{un(x,y)}是否一致收斂于0，如果不一致收斂于0，則函數(shù)項級數(shù)∑un(x,y)在區(qū)域D中不一致收斂，如果一致收斂于0，則進(jìn)行下一步；

步驟2：用MATLAB求出函數(shù)項級數(shù)∑un(x,y)的部分和函數(shù)列{Sn(x,y)} 及其和函數(shù)S(x,y)；

步驟3：用2.2.1中的兩種方法之一驗證{Sn(x,y)}在區(qū)域D中是否一致收斂.

3.2.2 用MATLAB判斷函數(shù)項級數(shù)一致收斂的具體實例

例3已知函數(shù)項級數(shù)為∑un(x,y)=∑(xn+yn),判斷該函數(shù)項級數(shù)在區(qū)域D={(x,y)|-1

證1)運用MATLAB編程進(jìn)行實驗驗證.當(dāng)取定(x,y)∈D時，un(x,y)=xn+yn→0 (n→),因此{(lán)un(x,y)}的極限函數(shù)是u(x,y)=0.借助MATLAB軟件,利用2.2.1中的方法1，畫出函數(shù)gn(x,y)=un(x,y)-u(x,y)=x2+yn在區(qū)域D中當(dāng)n=1∶24時所對應(yīng)的函數(shù)圖像(圖9).

圖9 n=1∶24所對應(yīng)的un(x,y)-u(x,y)函數(shù)圖像

2) (嚴(yán)格證明)由于函數(shù)列{un(x,y)}在區(qū)域D中的極限函數(shù)是u(x,y)=0，并且

由引理2知{un(x,y)}在區(qū)域D中不一致收斂，與MATLAB實驗運行結(jié)果一致.

證1)運用MATLAB編程進(jìn)行實驗驗證.

圖10 n=1∶6所對應(yīng)的un(x,y)-u(x,y)函數(shù)整體圖像

圖11 n=7∶12所對應(yīng)的un(x,y)-u(x,y)函數(shù)圖像

步驟2：用MATLAB求出函數(shù)項級數(shù)∑un(x,y)的部分和函數(shù)列{Sn(x,y)} 及和函數(shù)S(x,y).

首先，用MATLAB求出函數(shù)項級數(shù)∑un(x,y)的部分和函數(shù)列{Sn(x,y)}，程序代碼如下所示.

symsxykn

un=(x^k+y^k)/sym(′factorial(k)′);

sn=symsum(un,k,0,n);

然后，用MATLAB求出函數(shù)列{Sn(x,y)}的極限函數(shù)S(x,y),程序代碼如下所示.

symsxyn;

symsum((x^n+y^n)/sym(′factorial(n)′),n,0,inf)

ans =exp(x) + exp(y)

由此可見函數(shù)列{Sn(x,y)}的極限函數(shù)是S(x,y)=ex+ey.

步驟3：判斷函數(shù)列{Sn(x,y)}是否一致收斂.下面分別運用2.2.1中的方法1和方法2進(jìn)行實驗驗證.

co=[0.5,0,0.5;0,1,0;0,0,1;1,1,0;1,0,0;0.5,1,1];%構(gòu)造顏色矩陣

symsxykn;

s=symsum((x^n+y^n)/sym(′factorial(n)′),n,0,inf);

fori=1∶2

figure(i)

fmesh(@(x,y)1/10,[-1,1,-1,1])

hold on

fmesh(@(x,y)-1/10,[-1,1,-1,1])

hold on

for m=1+3*(i-1)∶3*i

un=(x^k+y^k)/sym(′factorial(k)′);

sn=symsum(un,k,0,m);

t=ezsurf(abs(sn-s),...

[-1,1,-1,1]);

set(t,′FaceColor′, ...co(m-3*(i-1)+2,∶))

hold on

end

xlabel(′x軸′)

ylabel(′y軸′)

switch i

case 1

title(′n=1∶3′);

case 2

title(′n=4∶6′);

end

圖12 n=1∶3所對應(yīng)的Sn(x,y)-S(x,y)函數(shù)圖像

圖13 n=4∶6所對應(yīng)的Sn(x,y)-S(x,y)函數(shù)圖像

[X,Y]=meshgrid(-1∶0.1∶1,-1∶0.1∶1);

symsxynk;

s=symsum((x^n+y^n)/sym(...

′factorial(n)′),n,0,inf);

form=1∶100

un=(x^k+y^k)/sym(′factorial(k)′);

sn=symsum(un,k,0,m);

z=abs(sn-s);

g=matlabFunction(z);

fori=1∶length(X)

forj=1∶length(Y)

zz=g(i,j);

end

sm(m)=max(max(zz));

end

plot(sm,′*r′);xlabel(′n的取值′)

ylabel(′n與max|Sn(x,y)-S(x,y)|的關(guān)系′)

圖14 n與的函數(shù)關(guān)系圖像

由圖14分析可得隨n趨向過程中趨于0，因此根據(jù)引理5可得函數(shù)項級數(shù)在區(qū)域D中是一致收斂的.