“質(zhì)疑”誠可貴 “證明”價更高

摘? 要：一次數(shù)學(xué)小測驗(yàn)，說明一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象需要“正名”. 數(shù)學(xué)教學(xué)中，要堅(jiān)持勇于質(zhì)疑、善于思考、尊重證據(jù)、依照邏輯、實(shí)事求是、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的價值取向，要維護(hù)與強(qiáng)化學(xué)生敢質(zhì)疑、敢證明、敢證偽的思維銳氣，這無疑是時代的要求.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)測驗(yàn);函數(shù)圖象;圓錐曲線;邏輯證明

一、問題提出

回顧學(xué)生初中學(xué)習(xí)函數(shù)的過程，當(dāng)學(xué)生以一次函數(shù)三五對（或有限對）對應(yīng)值為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)描點(diǎn)作圖時，發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)共線，就稱一次函數(shù)的圖象是一條直線. 此時，大多數(shù)學(xué)生不會懷疑，但不排除少數(shù)學(xué)生可能擔(dān)心是否存在某一對函數(shù)對應(yīng)值，以其為坐標(biāo)描點(diǎn)后破壞了各點(diǎn)共線的規(guī)律. 而二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象是學(xué)生幾乎完全未知的圖形，教師（教材）說什么就是什么，更談不上懷疑. 進(jìn)入高中學(xué)習(xí)了“曲線與方程”之后，學(xué)生類比“直線與方程”與一次函數(shù)及其圖象，澄清上述懷疑，應(yīng)該問題不大. 但是在沒有坐標(biāo)軸平移與旋轉(zhuǎn)知識儲備的前提下，學(xué)生對于“初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，與高中所學(xué)的拋物線與雙曲線是不是一回事”就可能、也應(yīng)該心生疑惑.

二、調(diào)查問卷

為評估學(xué)生的理性精神和科學(xué)態(tài)度，我們從北京某示范校高二學(xué)生中，選擇了數(shù)學(xué)成績較好的65名學(xué)生作為調(diào)查對象，針對上述問題，進(jìn)行了一份小測驗(yàn)，題目如下.

1. 在初中，我們學(xué)習(xí)一次函數(shù)的圖象時，找?guī)讓瘮?shù)的對應(yīng)值作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，描點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)幾個點(diǎn)共線，我們就稱一次函數(shù)的圖象是一條直線.

（1）當(dāng)時對這個結(jié)論，你有過懷疑嗎？（? ? ）

（A）懷疑 （B）不懷疑

（2）有沒有擔(dān)心多描一些點(diǎn)，就可能發(fā)生不共線的情況？（? ? ）

（A）有 （B）沒有

（3）試用高中知識解釋：一次函數(shù)[y=kx+b]的圖象為什么是直線？

2. 初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)圖象稱為拋物線.

（1）與高中學(xué)習(xí)的拋物線是同一種曲線嗎？（? ? ）

（A）是 （B）不是

（2）試用拋物線的定義說明二次函數(shù)[y=（1/4）]的圖象是否為拋物線.

3. 初中學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)圖象稱為雙曲線.

（1）與高中所學(xué)的雙曲線是同一種曲線嗎？（? ? ）

（A）是 （B）不是

（2）根據(jù)雙曲線的定義，說明反比例函數(shù)[y=1/x]的圖象是否為雙曲線.

三、統(tǒng)計(jì)結(jié)果

65名學(xué)生在同一時間內(nèi)做題，收回65份答卷，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下.

第1題，（1）選擇選項(xiàng)A和選項(xiàng)B的人數(shù)分別為29，36，分別占44.6%，55.4%;（2）選擇選項(xiàng)A和選項(xiàng)B的人數(shù)分別為21，44，分別占32.3%，67.7%;（3）解釋其圖象為什么是直線，沒有1人完成，僅有5人想利用直線方程解釋，但沒有說清楚.

第2題，（1）選擇選項(xiàng)A和選項(xiàng)B的人數(shù)分別為54，11，分別占83.1%，16.9%;（2）有17人放棄了簡答題部分，有39人把二次函數(shù)[y=（1/4）]轉(zhuǎn)化為[x=4y]，從形式上說明了二次函數(shù)的圖象是拋物線. 這雖然正確，但不符合題目用拋物線定義說明的要求. 其余9人試圖用定義說明，提到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，但不完整，即沒有通過計(jì)算說明二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等.

第3題，（1）選擇選項(xiàng)A和選項(xiàng)B的人數(shù)分別為54，11，分別占83.1%，16.9%;（2）有42人放棄了簡答題部分，其余23人試圖用定義證明，但除3名學(xué)生基本完成外，大多數(shù)學(xué)生只寫出了兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，至多確定了焦點(diǎn)的坐標(biāo)，缺乏完整的證明.

四、幾點(diǎn)啟示

1. 教師要倡導(dǎo)并培育學(xué)生敢質(zhì)疑、敢證明、敢證偽的思維品質(zhì)

令我們驚訝的是，在3道測試題中，選擇“懷疑、擔(dān)心與否定”的人數(shù)相對偏多. 這從客觀上說明：在解析幾何教學(xué)中，教師沒有在講直線、拋物線、雙曲線時，分別聯(lián)系一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù). 這恰好歪打正著，減少了做測試的干擾因素.

第1題的解答耐人尋味，懷疑一次函數(shù)圖象是直線的竟有29人之多，不懷疑的有36人，擔(dān)心不共線的有21人，不擔(dān)心不共線的有44人. 這種數(shù)據(jù)“正相關(guān)”的特征說明學(xué)生的答卷是認(rèn)真的. 同時，“懷疑”和“擔(dān)心”的人數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了我們的預(yù)想. 這雖然在沒有“對比組”的情況下，說服力不強(qiáng)，但是也從一個角度說明這些學(xué)生具有一定的理性精神和科學(xué)態(tài)度. 再聯(lián)系到第2題和第3題，有11人認(rèn)為二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與高中所學(xué)的拋物線、雙曲線不是同一種曲線，這雖然是錯誤的選項(xiàng)，但卻反映出他們不輕信、重證據(jù)、謹(jǐn)慎求真的態(tài)度，至少可以說是學(xué)好數(shù)學(xué)的一種潛質(zhì).

在實(shí)際課堂教學(xué)中，在一定程度上存在著這種現(xiàn)象：教師照本宣科，多說一句怕錯了;學(xué)生被動聽講，唯命是從，少有獨(dú)立思考、提出不同見解，少有從心存疑慮的困惑到質(zhì)疑辨析的爭論. 如此這般，何談創(chuàng)新人才的培養(yǎng)？看了這份答卷，筆者略感欣慰，同時感到有責(zé)任在教學(xué)中維護(hù)好這份可貴的“懷疑”，實(shí)時創(chuàng)造一些值得懷疑的問題，強(qiáng)化學(xué)生敢質(zhì)疑、敢證明、敢證偽的思維銳氣，這無疑是時代的要求.

2. 要深化理解方程刻畫動點(diǎn)坐標(biāo)的功能

第1題的解答部分無1人完成，這是非常意外的事情，聯(lián)想到第2題和第3題，解答部分的答題情況都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于第1題. 如此反常，個中緣由值得我們深刻反思.

首先，可能因?yàn)閽佄锞€、雙曲線都有明確的定義，要說明函數(shù)圖象是拋物線、雙曲線，可以從定義入手，而直線是個只能描述的不定義概念，所以雖然圖象簡單，但卻無從下手.

其次，可能囿于學(xué)生的推理能力. 有的學(xué)生復(fù)雜問題也許能推導(dǎo)幾步，面對簡單的推理過程，反倒無話可說了. 試想，既然二元一次方程[Ax+By+C=0]表示直線，那么一次函數(shù)解析式[y=kx+b]是二元一次方程，所以一次函數(shù)的圖象是直線. 這在邏輯中是典型的“三段論”模式. 甚至從一次函數(shù)解析式與直線的斜截式形式完全相同，直接下結(jié)論即可.

最后，與學(xué)生對“曲線與方程”的關(guān)系理解不到位有關(guān). 有的學(xué)生可能會背誦“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上”，但不解其意，認(rèn)識不到方程是對曲線上的動點(diǎn)運(yùn)動不變量的刻畫，方程反映出曲線上動點(diǎn)坐標(biāo)在運(yùn)動變化中的相互依存、相互制約的關(guān)系. 從這個角度來看，方程與函數(shù)解析式在揭示動點(diǎn)坐標(biāo)變化的規(guī)律方面并無二致. 另外，系統(tǒng)觀察動點(diǎn)運(yùn)動，可以發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律，如果動點(diǎn)沿直線運(yùn)動，其坐標(biāo)[x，y]之間的關(guān)系可由線性方程表達(dá)，如果動點(diǎn)運(yùn)動成曲線，其坐標(biāo)[x，y]之間的關(guān)系便不能用線性方程表達(dá).

話已至此，請寬恕筆者的節(jié)外生枝，額外回答一個廣泛存在的疑問：圓與其他圓錐曲線都有明顯的動點(diǎn)運(yùn)動不變量（如半徑、定長等），便于利用方程來刻畫，而直線的動點(diǎn)運(yùn)動不變量是什么？這個問題教材沒有明示，筆者愚見，直線的動點(diǎn)運(yùn)動不變量是其斜率[k]（不含垂直于[x]軸的直線），運(yùn)用直線上的兩點(diǎn)[P0x0，y0，Px，y]確定斜率的公式，即得[k=y-y0x-x0]. 若視[P0x0，y0]為定點(diǎn)，[Px，y]為動點(diǎn)，則[k=y-y0x-x0]就反映出直線上動點(diǎn)坐標(biāo)[x，y]在運(yùn)動變化中的依存、制約關(guān)系，所以稱[k=y-y0x-x0]為缺少點(diǎn)[P0x0，y0]的直線方程也不為過. 那么，如何把點(diǎn)[P0x0，y0]補(bǔ)回來呢？只需去分母，[k=y-y0x-x0]即可整理成直線方程的點(diǎn)斜式，從而確定了點(diǎn)斜式在直線方程中的奠基地位.

3. 如何說明二次函數(shù)的圖象是拋物線

在筆者的教學(xué)實(shí)踐中，在講“拋物線”一節(jié)時，往往設(shè)計(jì)一個探究題：根據(jù)拋物線的定義，證明二次函數(shù)[y=14x2-x]的圖象是拋物線. 之所以明確要求用定義證明，是因?yàn)槿绻裑y=14x2-x]化為[x-22=4y+1]，從形式上說明該曲線是由拋物線[x2=4y]經(jīng)過平移得到的，在學(xué)生沒有學(xué)習(xí)坐標(biāo)軸平移知識的前提下，這理解起來有些困難. 相反，根據(jù)定義證明，不僅自然，還有利于培養(yǎng)學(xué)生從定義出發(fā)思考問題的習(xí)慣.

問題的解決并不難，學(xué)生可以根據(jù)函數(shù)圖象開口向上、對稱軸是[x=2]、頂點(diǎn)為[2，-1]，再借鑒拋物線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)和準(zhǔn)線的相對位置關(guān)系，設(shè)點(diǎn)[F2，-1+t]，直線[y=-1-t t>0]，二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)[P0x0，y0]，記點(diǎn)[P]到直線[y=-1-t]的距離為[d]，根據(jù)[PF=d]來計(jì)算[t]的值. 如果存在[t]的某個合理的定值，就肯定函數(shù)的圖象是拋物線，否則就不是. 事實(shí)上，由[x0-22+y0-t+12=y0+t+1]，得[x0-22=][y0+t+12-y0-t+12]. 進(jìn)一步，化簡，可得[x0-22=][2t2y0+2]. 再把[y0=14x20-x0]代入，得[t=1]. 由此說明函數(shù)[y=14x2-x]的圖象是以[F2，0]為焦點(diǎn)、[y=-2]為準(zhǔn)線的拋物線.

至于一般的二次函數(shù)[fx=ax2+bx+c]（不妨設(shè)[a>0]），我們可以參閱人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊第133頁的“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目. 教材為我們提供了沿向量平移的方法，證明了其圖象是拋物線. 也可以根據(jù)初中已經(jīng)掌握的結(jié)論，二次函數(shù)[fx=ax2+bx+c]的圖象與函數(shù)[fx=ax2]的圖象，除位置可能不同外，形狀完全相同. 因此，只需證明函數(shù)[fx=ax2]的圖象是拋物線即可. 于是，運(yùn)用上例的方法，易知函數(shù)[fx=ax2]的圖象是以[0， 14a]為焦點(diǎn)的拋物線.

4. 如何論證函數(shù)[gx=kx k≠0]的圖象是雙曲線

不像二次函數(shù)，教材對這個問題無任何提示. 為方便讀者，在不旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的前提下，給出如下討論.

類比解析幾何中的雙曲線，先為反比例函數(shù)[gx=kx]（不妨設(shè)[k>0]）尋找兩個定點(diǎn)[F1，F(xiàn)2]，核實(shí)圖象上的任意一點(diǎn)[P]，是否滿足[PF1-PF2]是一個常數(shù). 考慮到雙曲線的焦點(diǎn)在對稱軸上，那么，此處的點(diǎn)[F1，F(xiàn)2]，我們也在函數(shù)圖象的對稱軸[y=x]上尋找. 如圖1，假設(shè)反比例函數(shù)[gx=kx]的圖象就是雙曲線，那么，顯然它有兩條相互垂直的漸近線（坐標(biāo)軸），于是可知它的離心率為[2].

根據(jù)題意，易知函數(shù)的圖象與對稱軸[y=x]的交點(diǎn)（可能的頂點(diǎn)）可能為[A1-k，-k]，[A2k， k].再根據(jù)離心率，則得可能的焦點(diǎn)為[F1-2k，-2k]，[F22k， 2k].

設(shè)[Px0， kx0]是函數(shù)[gx=kx k≠0]的圖象上的任意一點(diǎn)，則可以得到[PF1]和[PF2].

綜上所述，函數(shù)[gx=kx k>0]的圖象上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)[F1-2k，-2k，F(xiàn)22k， 2k]的距離之差的絕對值是常數(shù)[22k].

因?yàn)閇F1F2=4k]，并且[22k<F1F2]，所以函數(shù)[gx=kx k>0]的圖象是雙曲線. 對于函數(shù)[gx=kx][k<0]，類似可證.

5. 意外收獲

在討論反比例函數(shù)圖象是否為雙曲線的過程的啟發(fā)下，部分學(xué)生把研究的觸角指向一對司空見慣的函數(shù)[y=x±1x]（俗稱對勾函數(shù)），因?yàn)樗麄儜{直觀感覺，這兩個函數(shù)的圖象似乎也是雙曲線. 經(jīng)過一番深入的討論，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)[y=x±1x]的圖象是一對共軛雙曲線. 下面以函數(shù)[y=x+1x]的圖象為例，介紹一下我們的討論過程.

（1）假設(shè)函數(shù)[y=x+1x]的圖象是雙曲線，推斷可能的焦點(diǎn)坐標(biāo).

根據(jù)函數(shù)圖象的走向，不難猜想[y]軸和直線[y=x]是雙曲線的兩條漸近線，且斜率為正的對稱軸是傾斜角為[3π8]的直線，它的方程為[y=xtan3π8=2+1x]，對稱軸與函數(shù)圖象的交點(diǎn)即為頂點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)[y=x+1x]的圖象上任意一點(diǎn)[P]滿足[PF2-PF1=222+1]，且[222+1<F1F2].

所以函數(shù)[y=x+1x]的圖象是雙曲線.

關(guān)于“函數(shù)[y=x-1x]的圖象也是雙曲線，且與[y=x+1x]的圖象共軛”的討論，限于篇幅，不再贅述，其圖象如圖2所示.

五、結(jié)束語

章建躍先生指出，科學(xué)精神與理性思維是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的靈魂. 那么，廣大一線教師怎樣的教學(xué)行為，才能把科學(xué)精神與理性思維習(xí)慣的培育自然融入日常的教學(xué)中呢？反觀本文所述為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象“正名”的系列工作，這與日常單純以應(yīng)試備考為目的的教學(xué)工作相比，反差很大，堪稱“另類”. 但是這種“另類”是教師引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)眼光觀察，用數(shù)學(xué)思維思考，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)”的一次小小的實(shí)踐. 在這個過程中，體現(xiàn)出倡導(dǎo)勇于質(zhì)疑、善于思考、尊重證據(jù)、依照邏輯、實(shí)事求是、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的價值取向，這對全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)來說，無疑是十分有益的.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

收稿日期：2021-07-16

作者簡介：崔浩（1968— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.