基于認(rèn)知邏輯鏈的三角函數(shù)單元教學(xué)策略分析

王世朋　汪煦　許曉天

摘? 要：從結(jié)構(gòu)編排、正文內(nèi)容、例題與習(xí)題的角度對(duì)新、舊教材中三角函數(shù)單元的內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比，分析不同點(diǎn)，并結(jié)合教學(xué)中的實(shí)際困惑，通過(guò)抓邏輯線索統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)、用單位圓研究學(xué)習(xí)內(nèi)容、用換元法分析典型例題和通過(guò)函數(shù)建模提升素養(yǎng)的單元教學(xué)策略，增強(qiáng)教學(xué)整體性和有效性.

關(guān)鍵詞：認(rèn)知邏輯鏈;單元教學(xué);策略分析

三角函數(shù)單元是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“新教材”）必修第一冊(cè)第五章的內(nèi)容，在新教材中占有較大篇幅，在教學(xué)中用時(shí)也較多. 從教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，學(xué)生普遍感到內(nèi)容多，難理清楚;公式多，難分準(zhǔn)確;變形活，難選最優(yōu). 幫助學(xué)生和教師理清本單元的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及邏輯關(guān)系，助力教師系統(tǒng)地教和學(xué)生清楚地學(xué)是一件有意義的事.

一、問(wèn)題提出的背景

1. 新、舊教材的對(duì)比分析

以新教材與人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“舊教材”）為研究對(duì)象，從結(jié)構(gòu)編排、正文內(nèi)容、例題與習(xí)題三個(gè)方面對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行比較分析.

分析表1和表2的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以得出不同點(diǎn)，如表3所示.

2. 教與學(xué)的困惑

（1）教師層面.

一方面，教師的觀念尚未及時(shí)更新，不能準(zhǔn)確理解新課程理念的變化，不能整體把握單元教學(xué)的系統(tǒng)性. 例如，概念、公式、圖象和性質(zhì)都可以由一個(gè)單位圓引出，與原來(lái)的知識(shí)體系相比，其整體性、邏輯性更強(qiáng). 不再像舊教材中那樣，要研究三角函數(shù)的圖象先研究三角函數(shù)線，要獲得兩角差的余弦公式先學(xué)習(xí)向量知識(shí). 理解好新教材，有助于理清知識(shí)脈絡(luò). 在教學(xué)實(shí)踐中，很多教師依舊抱殘守缺，不愿改變舊策略，照搬舊教法，因循守舊.

另一方面，部分教師試圖接受新教材，卻因?yàn)槿狈ι疃壤斫?，最終只能流于形式，對(duì)于新教材中的很多探究活動(dòng)選擇直接略過(guò). 例如，在弧度制的教學(xué)中，新教材意欲通過(guò)探究活動(dòng)得出：圓心角[α]所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比值只與[α]的大小有關(guān). 但是，在教學(xué)實(shí)踐中，很多教師選擇直接給出公式，并不注重說(shuō)理過(guò)程. 在三角函數(shù)的概念教學(xué)中，新教材的探究目的是建立角[α]與終邊的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步產(chǎn)生終邊與單位圓的交點(diǎn)[P]的坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓函數(shù)的引出顯得自然. 聽(tīng)課中也明顯感覺(jué)到，很多教師嫌煩瑣，選擇像舊教材那樣直接根據(jù)銳角三角函數(shù)來(lái)進(jìn)行定義.

（2）學(xué)生層面.

一方面，在初中，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)利用銳角三角函數(shù)的定義解決直角三角形中有關(guān)的邊角計(jì)算問(wèn)題，缺少對(duì)三角函數(shù)的整體感知.

另一方面，學(xué)生不理解為什么三角函數(shù)是刻畫周期函數(shù)的重要模型，對(duì)單位圓的引出感到困惑. 同時(shí)，對(duì)三角函數(shù)運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系認(rèn)識(shí)不足，學(xué)習(xí)起來(lái)有一定困難. 另外，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中蘊(yùn)涵許多思想方法，學(xué)生普遍感覺(jué)想不到、記不住、用不好.

二、學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)分析

1. 知識(shí)與技能

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)有了一定的認(rèn)識(shí). 三角函數(shù)是學(xué)生接觸的第一個(gè)周期性函數(shù)，是高中階段學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本初等函數(shù).

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，已有銳角三角函數(shù)的概念，但沒(méi)有將其作為一種函數(shù)來(lái)學(xué)習(xí)，學(xué)生關(guān)注的只是三角函數(shù)值，主要利用銳角三角函數(shù)的定義解決直角三角形中有關(guān)邊角的問(wèn)題. 到了高中階段，需要從函數(shù)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)三角函數(shù).

2. 基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

學(xué)習(xí)三角函數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)是函數(shù)的一般概念，以及對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，另外還有圓的相關(guān)知識(shí). 然而，前面學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)涉及的量較少. 在三角函數(shù)內(nèi)容中，對(duì)應(yīng)關(guān)系不以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介，是“[α]與[x，y]直接對(duì)應(yīng)”，實(shí)際上是幾何元素間的對(duì)應(yīng)，學(xué)生在已有的基本初等函數(shù)學(xué)習(xí)中沒(méi)有這種認(rèn)知，而且缺乏用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，致使對(duì)“如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)”認(rèn)識(shí)不充分，最終難以自己總結(jié)出性質(zhì)和概念，容易出現(xiàn)理解性偏差.

三、基于認(rèn)知邏輯鏈的單元教學(xué)策略分析

教材是教與學(xué)的依據(jù). 學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知邏輯鏈?zhǔn)且詳?shù)學(xué)教材知識(shí)之間的邏輯結(jié)構(gòu)為主線、以學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)為起點(diǎn)、以學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為銜接形成的符合學(xué)生認(rèn)知水平的邏輯關(guān)系. 一個(gè)單元就是一個(gè)思想體系、方法體系、知識(shí)體系. 要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，就應(yīng)當(dāng)著眼于知識(shí)結(jié)構(gòu)的教學(xué)，這樣才有利于素養(yǎng)的生成、發(fā)育和成長(zhǎng). 對(duì)于本單元，基于教材的變化、教與學(xué)的現(xiàn)狀和學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，有必要對(duì)教學(xué)策略進(jìn)行總結(jié)與分析.

1. 以一條邏輯線索統(tǒng)領(lǐng)三角函數(shù)教學(xué)

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般概念，并研究了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，知道了函數(shù)的研究?jī)?nèi)容、過(guò)程與方法，以及如何用某類函數(shù)刻畫相應(yīng)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律. 實(shí)際上，這些都告訴我們本章的學(xué)習(xí)思路為：概念→運(yùn)算→函數(shù)的圖象和性質(zhì)→函數(shù)的應(yīng)用. 知識(shí)結(jié)構(gòu)如下圖所示.

第5.1節(jié)可以理解為預(yù)備知識(shí). 第5.2節(jié)完整學(xué)習(xí)三角函數(shù)的概念，進(jìn)一步由定義產(chǎn)生三角函數(shù)之間的基本關(guān)系（第5.3節(jié)的誘導(dǎo)公式），再?gòu)亩x和運(yùn)算出發(fā)研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì). 參照前面函數(shù)研究的基本套路，應(yīng)該可以結(jié)束新知內(nèi)容. 但是在實(shí)際生活中，由于三角函數(shù)模型常常具有一般性，需要采用從特殊到一般的研究策略，對(duì)誘導(dǎo)公式中涉及的特殊角與任意角[α]的和（或差）的三角函數(shù)進(jìn)行一般化處理，變?yōu)槿我饨荹α]與[β]的和（或差）的三角函數(shù)計(jì)算問(wèn)題，由和角公式自然就會(huì)生成二倍角公式. 一方面，通過(guò)擴(kuò)充把運(yùn)算算理一般化，打通公式之間的邏輯關(guān)系;另一方面，為一般類型的三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究提供算法保障. 然后，再進(jìn)一步提出函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象和性質(zhì)的研究. 基于換元法，函數(shù)[y=Asinωx+φ]的性質(zhì)已經(jīng)可以解決，自然引出：函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象能否通過(guò)變換由三角函數(shù)[y=sinx]（或[y=cosx]）得出？最后，再舉例說(shuō)明三角函數(shù)在科學(xué)與生活中的基本應(yīng)用. 在知識(shí)學(xué)習(xí)中遵循循序漸進(jìn)的原則，滲透了由特殊到一般的思想，體現(xiàn)了知識(shí)生成、發(fā)展與應(yīng)用的完整過(guò)程.

2. 以一個(gè)單位圓引出三角函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容

三角函數(shù)是刻畫周期性函數(shù)的重要模型，而圓周運(yùn)動(dòng)是一種常見(jiàn)的周期性變化現(xiàn)象. 要想用角的大小來(lái)刻畫圓周運(yùn)動(dòng)，自然就需要擴(kuò)大角的范圍. 為了引出三角函數(shù)的概念，要用實(shí)數(shù)與角度一一對(duì)應(yīng)，回到角度制定義的圓中研究. 不失一般性，選擇單位圓進(jìn)行弧度制的定義，為概念的學(xué)習(xí)做好鋪墊. 再回到圓周運(yùn)動(dòng)中，可以比較清楚地把角與角的終邊和單位圓交點(diǎn)的位置建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，提出三角函數(shù)的定義. 由三角函數(shù)的定義出發(fā)，直接可以獲得誘導(dǎo)公式（一）. 結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，得到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式. 進(jìn)一步提出：如果從圓的對(duì)稱性出發(fā)，能否研究三角函數(shù)的對(duì)稱性？通過(guò)終邊與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，獲得誘導(dǎo)公式（二）;通過(guò)終邊與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于[x]軸對(duì)稱，得到誘導(dǎo)公式（三）;通過(guò)終邊與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于[y]軸對(duì)稱，得到誘導(dǎo)公式（四）. 由此，實(shí)現(xiàn)了將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).

前面，學(xué)習(xí)了同底指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線[y=x]對(duì)稱. 如果點(diǎn)關(guān)于直線[y=x]對(duì)稱，可以得到誘導(dǎo)公式（五）;如果點(diǎn)先關(guān)于直線[y=x]對(duì)稱，再關(guān)于[y]軸對(duì)稱，可得誘導(dǎo)公式（六）. 沿著該線索，通過(guò)對(duì)描點(diǎn)法的改進(jìn)，可以畫出[y=sinx，x∈0，2π]的圖象. 再結(jié)合單位圓上點(diǎn)的位置變化，可以研究周期性、奇偶性、單調(diào)性與最值. 正切函數(shù)的圖象也可以結(jié)合幾何性質(zhì)，研究一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象.

回到誘導(dǎo)公式中，能否把出現(xiàn)的特殊角擴(kuò)充到一般角？能否建立兩角和（或差）與兩個(gè)角的直接聯(lián)系？繼續(xù)回到單位圓中，利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性進(jìn)行推理. 在單位圓中，也可以結(jié)合旋轉(zhuǎn)對(duì)稱和關(guān)于直線[y=x]對(duì)稱獲得和差化積公式. 如果再追尋勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型在生活中的應(yīng)用，還可以提出用單位圓研究函數(shù)[y=][Asinωx+φ]中參數(shù)[φ，ω，A]對(duì)函數(shù)圖象的影響.

用一個(gè)熟悉的單位圓，激起學(xué)生的認(rèn)知沖突，引出角擴(kuò)充的必要性;結(jié)合函數(shù)的概念提出弧度制的自然性;通過(guò)圓自身存在的對(duì)稱性探究得到多維的運(yùn)算公式;利用圓上點(diǎn)的稠密性和運(yùn)動(dòng)周期性研究函數(shù)的圖象和性質(zhì);最后回歸到生活情境中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值.

3. 以一種整體換元方法貫穿典型例題教學(xué)

在誘導(dǎo)公式的內(nèi)容中，新教材第193頁(yè)設(shè)置了例[5]. 注意到[53°°-α+37°°+α=90°°]，在計(jì)算中把[37°°+α]視為一個(gè)整體進(jìn)行處理，強(qiáng)化化未知為已知的基本策略.

在學(xué)習(xí)第5.4.2節(jié)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，對(duì)于新教材第201頁(yè)的例2，在求函數(shù)的周期時(shí)，就采用了令[z=2x，z=12x-π6]，目的是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的研究函數(shù)[y=sinz]的周期的問(wèn)題，起到化繁為簡(jiǎn)的作用，從而進(jìn)一步提出一般性的探究問(wèn)題和結(jié)論.

針對(duì)后續(xù)的單調(diào)性與最值的教學(xué)，新教材在第205頁(yè)例3的第（2）小題和第206頁(yè)的例5中都采用了整體換元法. 通過(guò)對(duì)不同類型問(wèn)題的歸一處理，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生抓住求解問(wèn)題的基本路徑，將其內(nèi)化為自己的學(xué)習(xí)能力. 在正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，新教材第212頁(yè)的例6同樣利用整體換元法研究了定義域、周期和單調(diào)區(qū)間. 在三角恒等變換的教學(xué)中，也非常注重強(qiáng)化整體換元法. 例如，利用[Cα-β]推導(dǎo)[Cα+β];新教材第221頁(yè)的例5利用[4α=2 · 2α];新教材第222頁(yè)的例6利用[2A+2B=2A+B];新教材第225頁(yè)的例8第（2）小題令[α=θ+φ2，β=θ-φ2];等等. 這些都采用了整體換元法，突出已知和未知之間的關(guān)系，有利于直接建立聯(lián)系，找到解題的突破口. 在新教材第237頁(yè)的例1中，用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，先令[X=3x-π6]，目的是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)[y=sinX]的圖象，從而使圖象在一個(gè)周期內(nèi)能完美呈現(xiàn)五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，方便觀察、研究函數(shù)的基本性質(zhì).

不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于三角函數(shù)問(wèn)題，從運(yùn)算到性質(zhì)，新教材幾乎都采用整體換元策略分析并解題，不斷強(qiáng)化通法意識(shí)，讓學(xué)生形成連續(xù)的思維方法，有利于實(shí)現(xiàn)教、學(xué)、評(píng)的一致性.

4. 以一類函數(shù)建模驅(qū)動(dòng)素養(yǎng)教學(xué)

三角函數(shù)可以用來(lái)刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的許多變化與現(xiàn)象，如潮汐變化、物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的位置變化、物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移變化、交變電流變化乃至月亮圓缺現(xiàn)象等. 新教材形象地呈現(xiàn)兩個(gè)齒輪的旋轉(zhuǎn)示意圖，提出旋轉(zhuǎn)方向不同，需要擴(kuò)充角，也建構(gòu)了擴(kuò)充的基本線索：角度[+]旋轉(zhuǎn)的方向.

在利用單位圓探究三角函數(shù)的基本運(yùn)算和性質(zhì)后，新教材回應(yīng)了前面的章引言，用古代筒車作為數(shù)學(xué)模型來(lái)研究勻速圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)提出問(wèn)題、優(yōu)化變量、分析模型，建立模型中盛水筒[M]距離水面的高度[H]與時(shí)間[t]的函數(shù)關(guān)系式[H=rsinωt+φ+h]. 利用函數(shù)[y=sinx]的性質(zhì)研究方法，可以研究該模型的基本性質(zhì)，提出“如何用變換的方法研究函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象”的問(wèn)題. 通過(guò)展示現(xiàn)實(shí)生活中摩天輪的模型，引導(dǎo)學(xué)生明白如果做相似研究（游客距離地面的高度[H]關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間[t]的關(guān)系），可以利用本章學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行探究. 在本章的最后一節(jié)中，研究了彈簧振子的震動(dòng)問(wèn)題、交變電流問(wèn)題、沙漏擺動(dòng)問(wèn)題、日常溫度變化問(wèn)題、海水潮汐問(wèn)題、人體節(jié)律變化問(wèn)題、恒星亮度變化問(wèn)題，以及地球公轉(zhuǎn)中太陽(yáng)直射點(diǎn)的維度變化問(wèn)題.

整個(gè)章節(jié)的設(shè)計(jì)，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)要強(qiáng)化“三會(huì)”的教學(xué)方法. 從數(shù)學(xué)眼光開(kāi)始，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度不同，方向也不同. 緊接著，在單位圓中，提出如何刻畫[α]與終邊和單位圓交點(diǎn)[Px，y]中的坐標(biāo)[x，y]之間的函數(shù)關(guān)系，引出三角函數(shù)問(wèn)題. 運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題，形成研究路線，產(chǎn)生三角函數(shù)的概念、運(yùn)算和性質(zhì). 再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，如三角函數(shù)涉及具體概念、運(yùn)算公式和基本性質(zhì). 最終幫助學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、探究和初步解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

四、關(guān)于三角函數(shù)單元教學(xué)的一點(diǎn)思考

單元教學(xué)的“單元”可大可小. 對(duì)于本章內(nèi)容而言，可以以“三角函數(shù)”整章為單位進(jìn)行大單元教學(xué)，也可以采用大背景、大觀念、大任務(wù)引領(lǐng)下的小單元教學(xué).

客觀來(lái)說(shuō)，為了增強(qiáng)可操作性，提高教學(xué)效果，可以分解為許多小單元進(jìn)行教學(xué)，如以“三角函數(shù)的概念”“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”“三角恒等變換”“三角函數(shù)的圖象”“三角函數(shù)的性質(zhì)”“三角函數(shù)的應(yīng)用”等知識(shí)內(nèi)容為主線開(kāi)展單元教學(xué);可以開(kāi)展以方法為主題的單元教學(xué)，如“三角函數(shù)中的整體換元方法”“基于單位圓的三角運(yùn)算”“利用單位圓研究三角函數(shù)性質(zhì)”等;可以開(kāi)展以數(shù)學(xué)思想或核心素養(yǎng)為主線的單元教學(xué)，如“轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用”“數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在三角函數(shù)中的應(yīng)用”“邏輯推理素養(yǎng)在三角公式證明中的運(yùn)用”等;可以圍繞典型問(wèn)題開(kāi)展以探究活動(dòng)為教學(xué)形式的單元教學(xué)，如“三角函數(shù)的單調(diào)性研究”“基于變換的函數(shù)[y=Asinωx+φ+B]的圖象探究”等. 選擇什么樣的主題開(kāi)展單元教學(xué)，需要依據(jù)學(xué)情和實(shí)際教學(xué)進(jìn)展有計(jì)劃地組織，真正服務(wù)于學(xué)生的學(xué)習(xí)和成長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)高效地教與學(xué).

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