三角函數(shù)與解三角形在高考中的地位及備考策略

葉明東

摘 要：《考試說明》中提到三角函數(shù)與解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。高考主要考查任意角三角函數(shù)的概念和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，突出考查形如的函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查兩角和與差的三角函數(shù)公式及簡單的三角恒等變換，重點(diǎn)考查正弦定理和余弦定理及其在解三角形中的綜合應(yīng)用。對三角函數(shù)與解三角形的考查重點(diǎn)是基本概念、基本公式的理解和應(yīng)用以及運(yùn)算求解能力。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);解三角形;考情分析;高考地位;備考策略

一、三角函數(shù)與解三角形在高考中的地位

三角函數(shù)與解三角形作為高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，一直是教學(xué)的重點(diǎn)。通過對近幾年高考試卷的分析，我們能夠看到，三角函數(shù)與解三角形的相關(guān)知識分布在選擇、填空和解答題中的方方面面，并從多個(gè)角度考查學(xué)生對三角函數(shù)與解三角形知識的綜合應(yīng)用能力和問題分析能力。

二、三角函數(shù)與解三角形的高考命題形式分析

（一）高考對此部分的考查一般以“二小”“三小”或“一小一大”的命題形式出現(xiàn)。

（二）若無解答題，一般在選擇題或填空題各有一題，主要考查三角恒等變換、解三角形，難度一般，一般出現(xiàn)在第4～11或第14～16題位置上。

（三）若以解答題命題形式出現(xiàn)，主要考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問題，一般出現(xiàn)在解答題第17（或18）題位置上，難度中等。在17（或18）題位置上進(jìn)行考查時(shí)，與“數(shù)列”交替進(jìn)行考查（近三年多考“數(shù)列”）。

三、三角函數(shù)與解三角形的高考命題規(guī)律

本專題常以三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式、和差角二倍角公式為基礎(chǔ)考查三角函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性、周期性等問題;而解三角形則以正弦定理、余弦定理為依托考查三角形度量問題。縱觀近幾年的高考題，呈現(xiàn)出如下變化和特點(diǎn)：1.降低了三角變換的考查要求，加強(qiáng)了對基本知識、基本技能、基本思想的考查;2.加強(qiáng)了對三角函數(shù)圖像及性質(zhì)的考查;3.在解三角形時(shí)，常輔以向量、求導(dǎo)等知識，并結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)行求解。

四、三角函數(shù)與解三角形在高考中?？嫉念}型

題型1：考查三角函數(shù)式的恒等變形、化簡和求值

小結(jié)：1.要熟練掌握誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、二倍角、兩角和差的三角函數(shù)等公式。

2.選擇從“角”入手還是從“統(tǒng)一名稱”入手。

3.通過湊“角”、變“角”建立已知與未知的橋梁。

4.化簡時(shí)的基本方法主要有： ①異角化同角;②異名化同名;③消除運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異。

題型2：考查三角函數(shù)和正、余弦定理與其他知識交匯的解三角形問題

例4：在三角形ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且。

（1）求角B的大小;

（2）點(diǎn)滿足，且AD=3，求2a+c的最大值。

小結(jié)：與其他知識交匯的解三角形問題的解題策略。

1.與等差、等比數(shù)列交匯的問題，多是以等差、等比數(shù)列為媒介給出三角形的“邊”與“角”的關(guān)系，只要按題目要求正確“翻譯”過來即可。

2.與向量知識的交匯問題，多是以向量的數(shù)量背景和幾何背景為解題的突破點(diǎn)，常常以向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積出現(xiàn)。

3.特別注意的是三角形中的數(shù)量積公式與面積公式的“關(guān)聯(lián)性”。

五、三角函數(shù)與解三角形的高考備考策略

（一）讓學(xué)生牢記公式概念，夯實(shí)基礎(chǔ)

三角函數(shù)和解三角形專題，應(yīng)用公式化簡、證明、計(jì)算，是這一板塊避不開的問題，幾乎所有問題，都要用到各類公式，牢記公式，是進(jìn)行運(yùn)算的基礎(chǔ)?？此坪唵?，但是總有學(xué)生因公式應(yīng)用錯(cuò)誤而丟分，怎樣才能讓學(xué)生牢記公式，這沒有捷徑，只能是勤督促、多提問、常反復(fù)、多檢查，對于用錯(cuò)公式概念的學(xué)生，多檢查、多提問直到不會用錯(cuò)。

（二）對于各類問題多整理，特點(diǎn)要記清，方法要用對

三角函數(shù)與解三角形這一板塊，經(jīng)?？疾榈念}型，特點(diǎn)比較明顯，方法比較有針對性，這就要求學(xué)生對于問題的特點(diǎn)要理解準(zhǔn)確，例如：三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題中，有些函數(shù)可以化為f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），然后應(yīng)用研究復(fù)合函數(shù)的方法，解決問題。導(dǎo)致有些同學(xué)一遇到三角函數(shù)問題，都會朝著這個(gè)方向去化簡，導(dǎo)致方向性錯(cuò)誤，所以在化簡之前就要分析函數(shù)的特點(diǎn)，是否可化為ω一致、冪相同，即當(dāng)自變量x系數(shù)相同時(shí)，且是齊次式，才可能化簡為f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的形式;若不一致，就不要朝這個(gè)方向努力了;比如：f（x）=cosx+sinx=sin2x和f（x）=2sinx+sin2x要求值域，由于不能化為自變量系數(shù)一致，次數(shù)一致的齊次式，所以就不能化為f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），要用研究其他函數(shù)（例如：二次函數(shù)）的方法去研究問題，必要時(shí)要用導(dǎo)數(shù)解決問題。還有像在解三角形中，邊化角、角化邊，正余弦定理的應(yīng)用上，如何選擇等。都很有必要和學(xué)生一起分析問題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方向。

三角函數(shù)與解三角形這一板塊，各類問題都很有特點(diǎn)，一定要和學(xué)生一起分析整理清楚，不讓學(xué)生犯方向性錯(cuò)誤。所以一定要分清特點(diǎn)，這樣才能選對方法。

（三）注意細(xì)節(jié)，杜絕失誤

三角函數(shù)與解三角形這一板塊，問題雖然整體難度不大，但是細(xì)小問題較多，容易失誤。例如：圖像變換中的平移變換，要注意，先看函數(shù)名稱是否相同，再看自變量系數(shù)，再確定平移方向及單位。不要犯經(jīng)驗(yàn)主義錯(cuò)誤，三角函數(shù)中像這樣的小問題很多。再如有圖像確定解析式問題中“φ”值的確定;三角求值問題中角的范圍的考查等。所以當(dāng)遇到問題時(shí)，提醒學(xué)生，不要怕麻煩，用對方法，按部就班地去解決問題，熟練地按步驟應(yīng)用方法才是解決問題的關(guān)鍵。

（四）重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

三角函數(shù)與解三角形中常用的數(shù)學(xué)思想：1.轉(zhuǎn)化與化歸思想：在三角函數(shù)式的化簡求值的三角恒等變換，及利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化的過程中，轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用比較廣泛，因此在復(fù)習(xí)過程中要強(qiáng)化該思想方法的應(yīng)用意識。2.數(shù)形結(jié)合思想：在研究三角函數(shù)的最值（值域）及簡單的三角函數(shù)零點(diǎn)問題，方程或不等式問題時(shí)，要強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

結(jié)束語

通過對近三年高考中出現(xiàn)的三角函數(shù)與解三角形試題的命題規(guī)律與試題特點(diǎn)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，高考主要考查考生對相關(guān)知識點(diǎn)和公式的理解與掌握情況，并能靈活運(yùn)用公式解題。因此，考生們在備考中要夯實(shí)基礎(chǔ)，熟練掌握?？碱}型，不斷提升自己的解題技巧和能力。

參考文獻(xiàn)

胡能其.例談高考三角函數(shù)及解三角形問題的備考建議[J].高中數(shù)理化，2020（2）：1-2.