對稱美在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的巧用

黃振貴

[摘? ? ? ? ? ?要]? 中等職業(yè)學(xué)校的學(xué)生在初中階段由于多種原因?qū)е吕碚摶A(chǔ)知識相當(dāng)薄弱，甚至不少學(xué)生出現(xiàn)知識斷層，一些重要的數(shù)學(xué)定義、公式、定理都遺忘得差不多了。在一線中職數(shù)學(xué)教學(xué)多年，聽到學(xué)生說過最多的一句話是：“如果數(shù)學(xué)能學(xué)得好的話早就選擇讀高中了，不至于選擇讀中職了?！庇∠笊羁痰氖窃?jīng)有一個學(xué)生在他的數(shù)學(xué)書本封面上寫著這么一句話：“忘記一個人怎么那么難，而忘記數(shù)學(xué)卻那么容易??！”這也道出了無數(shù)中職學(xué)生的困境和無奈，由于他們沒有扎實的知識基礎(chǔ)，要學(xué)習(xí)新一級的理論知識難免會遇到各種困難，特別是數(shù)學(xué)這種需要基礎(chǔ)理論做銜接的學(xué)科，沒有基礎(chǔ)知識做鋪墊的話要學(xué)習(xí)起來難上加難。這也給中等職業(yè)學(xué)校的一線教師具體教學(xué)上帶來很大困惑，針對此困惑，提出對稱美在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的巧用，為了盡量避開數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)或解題需要強(qiáng)大的理論支撐才能完成。數(shù)學(xué)對稱美的思想理念和思維可以化抽象為形象，能快而準(zhǔn)地解決實際的數(shù)學(xué)問題。由于數(shù)學(xué)對稱美的直觀性可以讓更多不同基礎(chǔ)層次的學(xué)生，甚至零基礎(chǔ)的學(xué)生參與到具體的教學(xué)中，引導(dǎo)利用對稱思維幫助他們獨立觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題。通過對稱美在代數(shù)式求最值、解不等式、利用幾何對稱求最值、函數(shù)奇偶性的判斷、數(shù)列運算等問題的解析，并通過教材中對稱美的案例來驗證在數(shù)學(xué)教學(xué)及解題中的巧用。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 數(shù)學(xué)對稱美;中職數(shù)學(xué);構(gòu)造對稱;數(shù)學(xué)解題

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ?   ? ? ? ?[文章編號]? 2096-0603（2021）51-0149-03

一、對稱美的背景及意義

2015年9月15日，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)學(xué)校美育工作的意見》中要求：“加強(qiáng)美育的滲透與德育、智育、體育相融合，與各學(xué)科教學(xué)和社會實踐活動相結(jié)合。挖掘不同數(shù)學(xué)、物理等自然學(xué)科中的美育價值?！?/p>

筆者覺得中等職業(yè)學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)，如果還是停留在傳統(tǒng)的課堂理論教學(xué)是完全不能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，因為普遍中職學(xué)生早已厭倦學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不愛主動去獨立思考那些理論數(shù)學(xué)知識，平時很多作業(yè)或課后習(xí)題都是應(yīng)付了事的。但是在中職新課標(biāo)改革和學(xué)業(yè)水平測試的驅(qū)動下，數(shù)學(xué)是必考科目之一，因此，要讓學(xué)生從思想上改變對數(shù)學(xué)的看法，認(rèn)識學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性和必要性，同時老師也在教學(xué)中探索新的教學(xué)方法，讓多數(shù)中職學(xué)生能不再談“數(shù)”色變。筆者覺得將數(shù)學(xué)對稱美運用到具體的教學(xué)中，可以激起更多中職學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，常規(guī)的解題需要掌握定義、定理、公式的理論基礎(chǔ)做支撐才能解答的，數(shù)學(xué)對稱美能改變此傳統(tǒng)解題思維，化抽象為具體，同時也能讓所有中職學(xué)生把數(shù)學(xué)對稱美這一思想理念帶入課堂中，提高教學(xué)效率。作為一線中職數(shù)學(xué)老師，有必要也有責(zé)任思考數(shù)學(xué)對稱美給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供的幫助，同時也能讓他們感受數(shù)學(xué)不一樣的美感，不再懼怕無聊的數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)。本文主要從平時教學(xué)中的案例來分析，提高學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、創(chuàng)新能力，最終培養(yǎng)出社會所需求的各種人才。

二、數(shù)學(xué)對稱美的表現(xiàn)形式

（一）圖形的對稱美

圖形的對稱是最直觀、最形象的，也會讓人有不一樣的感受，學(xué)生接受起來也是最容易。數(shù)學(xué)的幾何圖形的對稱性就是最直接的視覺表現(xiàn)，具體表現(xiàn)有平面幾何或空間幾何圖形的軸對稱和中心對稱。比如：正方形是中心對稱圖形，同時也是軸對稱圖形;圓也是中心對稱圖形，所有過圓心的直線都是它的對稱軸;圓柱、正方體等圖形也可以給人以很多完美的對稱性。

（二）代數(shù)式的對稱美

數(shù)學(xué)的對稱美不只是停留在幾何圖形上面，代數(shù)式的對稱美在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中也是無處不在，要通過利用對稱美細(xì)心的觀察和領(lǐng)悟，從中體驗數(shù)學(xué)美的真諦，從而激發(fā)中職學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，改正他們不愛獨立思考的學(xué)習(xí)態(tài)度和懼怕數(shù)學(xué)的心理。正如德國教育家第斯多惠所說：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵、喚醒、鼓舞。”比如，12=1，112=121，1112=12321，11112=1234321，111112=123454321，

1111112=12345654321，11111112=1234567654321……二項式的展開式：（a+b）n=C0nan+C1nan-1b1+C2nan-2b2+……+Cn-1na1bn-1+Cnnbn（n∈Z+），其中C0n與Cnn，C1n與Cn-1n，C2n與Cn-2n……中都展示出了對稱美。其中a，b的位置也可以互相對換，對換之后的結(jié)果依然成立，這樣同樣形成一種美麗的對稱。南宋時期的數(shù)學(xué)家楊輝所寫的《九章算術(shù)》中楊輝三角剛好可以解釋了二項式展開式的系數(shù)的規(guī)律，即二項式定理。同時二項式定理和楊輝三角的數(shù)形結(jié)合走進(jìn)了數(shù)學(xué)，可以從中發(fā)現(xiàn)和挖掘更多的奧秘，多角度運用到實際的數(shù)學(xué)解題中。數(shù)學(xué)對稱美，也需要我們?nèi)ネ诰颉⑷ビ^察、去探索，才能總結(jié)升華知識，提高自己的認(rèn)知水平，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)蘊藏的更多對稱美及規(guī)律，以下簡單介紹兩種二項式展開式的系數(shù)規(guī)律的表現(xiàn)形式：

1.第n行上數(shù)字組成的數(shù)是11n

n=1 1 1→111=11

n=2 1 2 1→112=121

n=3 1 3 3 1→113=1331

n=4 1 4 6 4 1→114=14641

n=5 1 5 10 10 5 1→115=161051

n=6 1 6 15 20 15 6 1→116=1771561

……

解析：前4行的數(shù)字只要自己數(shù)字放在自己的數(shù)位就可以了，比如當(dāng)n=4時，個位數(shù)是1，十位數(shù)是4，百位數(shù)是6，千位數(shù)是4，萬位數(shù)是1，組合起來是14641，則114=14641;而從第5行開始有的數(shù)位就出現(xiàn)兩位數(shù)，此時的兩位數(shù)要采取進(jìn)位的辦法，以n=5為例，百位數(shù)是10，保留0，1進(jìn)位到千位數(shù)去;千位數(shù)本來也是10，由于百位數(shù)進(jìn)1后此時變成11，則保留個位的1，另十位的1進(jìn)位到萬位數(shù)去;萬位數(shù)本來是5，此時變?yōu)?;十萬位數(shù)還是1;則數(shù)字變?yōu)?61051，即為115。

2.第n行數(shù)字相加的和就是2n

n=1 1+1 21=2

n=2 1+2+1 22=4

n=3 1+3+3+1 23=8

n=4 1+4+6+4+1 24=16

n=5 1+5+10+10+5+1 25=32

n=6 1+6+15+20+15+6+1 26=64

……

通過觀察學(xué)生會發(fā)現(xiàn)該數(shù)列背后存在如此美的規(guī)律，形式上是如此的對稱，從而讓中職學(xué)生不再感覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是那么的可怕。在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識對稱美時，教師要注意在生活實踐中的對稱一般是以幾何形態(tài)存在，所以，學(xué)生認(rèn)識具體圖形的對稱美是比較容易的。但是對代數(shù)式方面的數(shù)學(xué)對稱要觀察和理解起來就不是那么容易了，這就要求教師在引導(dǎo)這方面的認(rèn)識要加強(qiáng)，避免學(xué)生存在認(rèn)識的誤區(qū)，也就是說數(shù)學(xué)對稱美不局限在幾何圖形上面。

（三）定理的對稱美

數(shù)學(xué)的對稱美常體現(xiàn)在數(shù)學(xué)中各種定理之間的對稱。比如：兩直線平行的判定：“同位角相等，兩直線平行;內(nèi)錯角相等，兩直線平行;同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行?！眱芍本€平行的性質(zhì)：“兩直線平行，同位角相等;兩直線平行，內(nèi)錯角相等;兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)?！边@些就是數(shù)學(xué)定理之間存在對稱關(guān)系的完美詮釋。從數(shù)字運算的角度來看：加與減、乘與除、開方與乘方、指數(shù)與對數(shù)等，這些雖然是互逆的運算，也都可視為對稱的關(guān)系。

三、對稱美在日常中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的巧用及案例分析

（一）代數(shù)式求最值問題

解決這類問題，用常規(guī)的方法難度和計算量都較大，一般通過觀察構(gòu)造，利用對稱思想，也許可以取得事半功倍的效果。

例如：已知a，b∈R+，a+b=10，求ab的最大值。

分析：此題的常規(guī)解法要涉及二次代數(shù)式的配方問題，而配方幾乎是所有中職學(xué)生的薄弱點，所以如果運用對稱思維，構(gòu)造對稱，如由a+b=10，令a=5+x，b=5-x，則ab=（5+x）（5-x）=25-x2，故顯然可以得出當(dāng)x=0時，即a=b=5時ab取最大值，且最大值為25。

（二）解不等式問題

解含絕對值符號的一元一次不等式是中職學(xué)業(yè)水平測試的必考內(nèi)容之一，也是教學(xué)的難點，很多中職學(xué)生在解題過程中經(jīng)常跟一元二次不等式的解法混淆在一起。

例如：解不等式|2x-3|<5。

分析：利用初中絕對值對稱美的性質(zhì)，先由|x|=5的根為x=-5或5，引出|x|<5的解為-55，先由|x|=5的根為x=-5或x=5，引出|x|>5的解為x<-5或x>5，因此，要解|2x-3|>5首先借用|2x-3|=5的兩根x=-1或x=4，引出|2x-3|>5的解為x<-1或x>4。利用對稱美把中學(xué)知識跟中職知識有效銜接起來，對比發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律。

（三）利用幾何對稱求最值問題

（四）函數(shù)奇偶性的判斷問題

函數(shù)奇偶性的判斷在中職學(xué)業(yè)水平測試中通常出現(xiàn)的考題是在選擇題或填空題上。如果用解答題的思路，用定義理論去推導(dǎo)證明函數(shù)的奇偶性，計算量大且容易出錯，我們怕學(xué)生難以做到。故此問題如果用對稱美的思維，也許就簡單多了。本身函數(shù)要有奇偶性的前提條件定義域就必須關(guān)于原點對稱，則可以利用這一對稱特性，在定義域中取任意一對相反數(shù)代入函數(shù)解析式求出函數(shù)值，然后通過函數(shù)值的結(jié)果就可以直接判斷函數(shù)的奇偶性，具體結(jié)論如下：（1）當(dāng)函數(shù)值相等時，原函數(shù)為偶函數(shù);（2）當(dāng)函數(shù)值為相反數(shù)時，原函數(shù)為奇函數(shù);（3）當(dāng)函數(shù)值不相等也不是相反數(shù)時，原函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。

例如：判斷函數(shù)f（x）=3x2+|x|+1的奇偶性。

分析：該題的定義域為x∈（-∞，+∞），根據(jù)對稱美可以在定義域內(nèi)任意取一對簡單的相反數(shù)，如取x=-1和1，把它們分別代入原函數(shù)中去求函數(shù)值，則f（-1）=3×（-1）2+|-1|+1=5，f（1）=3×（1）2+|1|+1=5，所以所得的函數(shù)值結(jié)果都是5，根據(jù)以上的結(jié)論，直接可得原函數(shù)為偶函數(shù)。用這樣的辦法簡單明了且效果好。

（五）數(shù)列運算問題

對稱美在數(shù)列中經(jīng)常使用到，比如等差數(shù)列的性質(zhì)am+an=ap+aq（m+n=p+q）和等比數(shù)列的性質(zhì)aman=apaq（m+n=p+q）就是對稱美的體現(xiàn)。等差數(shù)列的前n項和的運用也可以利用對稱美來解決。

例如：求1+3+5+……+（2n-1）的值。

分析：此題是等差數(shù)列的前n項和的運算，在還沒有學(xué)習(xí)前n項和公式的情況下，一般利用對稱美的思想解題會比較簡單且容易讓學(xué)生接受。假設(shè)x=1+3+5+…+（2n-3）+（2n-1） …①，利用對稱性，同樣也可寫成x=（2n-1）+（2n-3）+（2n-5）+…+5+3+1…②，由①+②得2x=[1+（2n-1）]+[3+（2n-3）]+[5+（2n-5）]+…+[（2n-3）+3]+[（2n-1）+1]=2n·n=2n2，∴x=n2，即1+3+5+…+（2n-1）的值為n2。

利用等差數(shù)列的性質(zhì)am+an=ap+aq （m+n=p+q）來解題是常用的，而且方便、快捷。

又如：已知等差數(shù)列a4=10，a17=20，則求S20的值。

四、總結(jié)與思考

數(shù)學(xué)對稱美是很多數(shù)學(xué)家一直以來追求的方向，本文結(jié)合自身的一線教學(xué)經(jīng)驗及參考文獻(xiàn)，以中職數(shù)學(xué)課程為載體，分析對稱美在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的巧用，主要通過對稱美的具體案例進(jìn)行闡述。中職數(shù)學(xué)更需要對數(shù)學(xué)對稱美這方面的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生利用對稱思維來理解數(shù)學(xué)。合理運用數(shù)學(xué)對稱美來加深對數(shù)學(xué)的認(rèn)知，加深對數(shù)學(xué)思想的滲透，從而達(dá)到高效、快捷地尋求解題思路。同時，利用數(shù)學(xué)對稱美讓中職學(xué)生提高他們的審美眼光和素質(zhì)，使中職數(shù)學(xué)課堂不再枯燥無味。

總之，隨著國家對中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)科新課標(biāo)的制定和我省學(xué)業(yè)水平測試的推動下，在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中推進(jìn)美育會隨之越來越受到重視。通過數(shù)學(xué)對稱美的思想來吸引、激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，從而引導(dǎo)學(xué)生獨立觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。利用數(shù)學(xué)對稱美解二次函數(shù)的解析式、直線和圓的方程、概率、簡單幾何體、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等各個領(lǐng)域都可以應(yīng)用到，由于筆者才疏學(xué)淺，案例分析無法面面俱到，還需要加強(qiáng)深層次的研究，同時也希望更多同行在教學(xué)上應(yīng)予以高度重視，深入研究中職數(shù)學(xué)的對稱美在具體教學(xué)中的巧用，讓更多師生受益。

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◎編輯 魯翠紅