“瑞利球”趣味實(shí)驗(yàn)的動(dòng)力學(xué)分析

周麗婷 熊舉峰

(湖南師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙410000)

在“怪坡”上，越是質(zhì)量大的物體越是容易發(fā)生“反重力式”的自行上坡的現(xiàn)象，如車低爬、水倒流。如此“怪坡”效應(yīng)，使游客、探驗(yàn)家和科學(xué)工作者產(chǎn)生了濃厚興趣，先后提出了多種解釋，其實(shí)它是利用觀察者的“視覺(jué)錯(cuò)覺(jué)”，即人們對(duì)高低的認(rèn)識(shí)是根據(jù)參考系來(lái)判斷的，于是對(duì)參考系做一些改變就可以影響人們對(duì) “高低”的判斷。一種稱為 “雙軌怪坡”的玩具備受關(guān)注，它源于學(xué)者們?cè)O(shè)計(jì)的一個(gè) “瑞利球”趣味物理實(shí)驗(yàn)，其中也構(gòu)建了一個(gè) “怪坡”，使均質(zhì)圓球看起來(lái)像在“爬坡”，但是對(duì)其實(shí)驗(yàn)原理只進(jìn)行了定性分析。本文則定量分析了實(shí)驗(yàn)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，計(jì)算了系統(tǒng)的受力和運(yùn)動(dòng)，并對(duì)均質(zhì)圓球“爬坡”的最大高度作理論分析。

1 實(shí)驗(yàn)介紹

1.1 實(shí)驗(yàn)儀器與裝置

可控制寬度的傾斜導(dǎo)軌一套、均質(zhì)圓球一個(gè)。實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。

圖1 “瑞利球”實(shí)驗(yàn)裝置

1.2 實(shí)驗(yàn)步驟與現(xiàn)象[1]

(1)令兩導(dǎo)軌桿平行，則均質(zhì)圓球會(huì)自動(dòng)滾到最低處。

(2)將手柄打開，使兩根導(dǎo)軌桿成一定角度，則圓球會(huì)沿導(dǎo)軌向上滾。

(3)滾球達(dá)到一定速度時(shí)，實(shí)驗(yàn)者突然合攏手柄，圓球的質(zhì)心突然升高，圓球繼續(xù)向上滾。

(4)均質(zhì)圓球靜止，即能夠滾動(dòng)到最高處時(shí)，打開兩導(dǎo)軌桿，圓球下落。

2 實(shí)驗(yàn)動(dòng)力學(xué)分析

在“瑞利球”實(shí)驗(yàn)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程分析中，我們忽略空氣阻力和摩擦力來(lái)構(gòu)建理想模型，即均質(zhì)球體在導(dǎo)軌上滾動(dòng)是圓球自身重力和導(dǎo)軌對(duì)圓球支持力共同作用的結(jié)果。球在水平平行導(dǎo)軌上時(shí)，小球處于平衡狀態(tài)(重力與支持力平衡)；球在傾斜平行導(dǎo)軌上時(shí)，圓球向較低一邊滾動(dòng)(重力與支持力不平衡)；球在水平而不平行導(dǎo)軌上時(shí)，圓球向較寬一邊滾動(dòng)(重力與支持力不平衡)[1]。可見(jiàn)，導(dǎo)軌的傾斜與寬窄變化都會(huì)影響圓球滾動(dòng)，若控制好，圓球可以向較寬但較高的一端滾動(dòng)。

設(shè)圓球半徑為R、重力為G=mg，圓球與導(dǎo)軌兩個(gè)接觸點(diǎn)處圓球所受支持力分別為FN和，導(dǎo)軌平行距離為d，導(dǎo)軌與水平面的傾角為β，同時(shí)構(gòu)建如圖2和圖3所示的坐標(biāo)系(以接觸點(diǎn)為原點(diǎn))。

圖2 “瑞利球”實(shí)驗(yàn)水平面OXY坐標(biāo)圖

圖3 “瑞利球”實(shí)驗(yàn)三維OXY Z坐標(biāo)圖

如圖3所示，接觸點(diǎn)與球心的連線與Z軸的夾角為θ，設(shè)初始時(shí)夾角θ=θ0，可知d=2Rsinθ0。

設(shè)FN1，F(xiàn)N2，F(xiàn)N3分別為支持力FN在X，Y，Z軸上的分力，由圖3中受力分析可知

由圖4中受力分析可知

同時(shí)由圖2和圖4可知幾何關(guān)系

第一階段，從張開導(dǎo)軌兩桿成角度α(恒定)到圓球剛好不能掉下去為止(θ0＜θ＜π/2)。

圖4 “瑞利球”所受支持力分解示意圖

從“瑞利球”受力分析圖3和圖4可知，支持力和重力對(duì)過(guò)球心X軸方向直徑的合力矩在X軸方向上M=MFN2+MF′N2=2RcosθFN2，第一階段FN3=G/2。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理(X軸方向)：如果

則

剛體平動(dòng)動(dòng)能定理(Y軸方向)：如果

則

在第一階段中，θ角度不能大于等于π/2，因此當(dāng)θ≈π/2時(shí)合攏手柄可以使均質(zhì)圓球在第一階段后具有最大動(dòng)能，即可以使均質(zhì)圓球達(dá)到最大高度。且由圖5可知

圖5 “瑞利球”實(shí)驗(yàn)側(cè)視圖

第二階段，突然合攏手柄使導(dǎo)軌兩桿成角度α′(0≤α′＜α)。分析瞬時(shí)支持力的作用，由沖量定理可知：

在Z軸方向上

在Y軸方向上

為了便于分析，可認(rèn)為圓球在豎直方向(Z軸方向)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為勢(shì)能，即又由圖6可知

當(dāng)α′=0時(shí)

沖量用平均力計(jì)算，由式(5)～式(7)，可得出第二階段后圓球的平動(dòng)動(dòng)能

圖6 第二階段導(dǎo)軌兩桿夾角變化示意圖

由于支持力作用時(shí)間很短，則轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增加很小可忽略，則第二階段后轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能不變，其中α′=0時(shí)，沖量增加最大，即可使均質(zhì)圓球達(dá)到最大高度。

第三階段，圓球沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)到平動(dòng)動(dòng)能為0(達(dá)到最大高度h和最遠(yuǎn)距離l)。由機(jī)械能守恒，有且轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能不變，即

3 圓球“爬坡”最大高度理論分析

3.1 角度θ

在動(dòng)力學(xué)分析的第一階段中，由式 (3)可知?jiǎng)傮w初始平動(dòng)動(dòng)能只與θ角度有關(guān)，同時(shí)我們已知0＜θ＜π/2，則當(dāng)θ0≈0，θ1≈π/2時(shí)，圓球在第一階段后具有最大動(dòng)能，即第一階段后的最大動(dòng)能是均質(zhì)圓球達(dá)到最大高度的條件。

3.2 角度α

在動(dòng)力學(xué)分析的第一階段中，當(dāng)θ0≈0，θ1≈π/2時(shí)，由圖 2和式 (1)可知：l1tan(α/2)=R，由式(4)可知：l1tanβ=R。因此可知第一階段中兩導(dǎo)軌桿的夾角α與導(dǎo)軌傾斜角β的關(guān)系滿足：α=2β，即α=2β是均質(zhì)圓球達(dá)到最大高度的條件。

3.3 角度α′

在動(dòng)力學(xué)分析的第二階段中，已知導(dǎo)軌兩桿的角度α′的范圍為0≤α′＜α，只有當(dāng)α′=0時(shí)，沖力提供給均質(zhì)圓球的能量最大，即v2，h1和h2最大。若α′＞0，則相應(yīng)的而這情況下的第三階段類似第一階段，即所以α′=0(兩導(dǎo)軌桿平行)是均質(zhì)圓球達(dá)到最大高度的條件。

3.4 最大高度h

4 結(jié)論

本文定量分析了“瑞利球”實(shí)驗(yàn)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程?！叭鹄颉睂?shí)驗(yàn)中構(gòu)建了一個(gè) “怪坡”，通過(guò)對(duì)兩導(dǎo)軌的控制，使均質(zhì)圓球看起來(lái)像在 “爬坡”。據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)原理構(gòu)建了物理模型，并分析系統(tǒng)的受力情況和運(yùn)動(dòng)過(guò)程，導(dǎo)出了均質(zhì)圓球 “爬坡”的最大高度的公式。在忽略空氣阻力與摩擦力情況下，當(dāng)兩導(dǎo)軌桿初始距離遠(yuǎn)小于圓球半徑 (θ0≈0)、小球剛好不能掉落 (θ1≈π/2)時(shí)突然合攏兩導(dǎo)軌使其平行 (α′=0)、兩導(dǎo)軌初始夾角α等于兩倍導(dǎo)軌傾斜角β時(shí)，均質(zhì)圓球可以達(dá)到最大高度 (h=和最遠(yuǎn)距離l。