運(yùn)用歐拉動(dòng)力學(xué)方程解決力學(xué)競(jìng)賽兩道理論力學(xué)試題1)

付靖宇 趙增輝，?， 孫 偉

*(山東科技大學(xué)能源與礦業(yè)工程學(xué)院，山東青島266590)

?(礦業(yè)工程國家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(山東科技大學(xué))，山東青島266590)

全國周培源力學(xué)競(jìng)賽作為我國最高級(jí)別的大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽，已成為大學(xué)生展示自我的重要科技競(jìng)賽平臺(tái)，也是各大院校展示基礎(chǔ)力學(xué)教學(xué)成果的重要舞臺(tái)，在推動(dòng)力學(xué)科普、培養(yǎng)力學(xué)人才、提升基礎(chǔ)力學(xué)教學(xué)水平等方面發(fā)揮了重要作用[1-3]。很多高校已經(jīng)將該項(xiàng)賽事競(jìng)賽成績作為選拔力學(xué)尖子生的重要依據(jù)。

周培源力學(xué)競(jìng)賽的個(gè)人賽試題注重基礎(chǔ)性、實(shí)踐性、趣味性和開放性。在命題特點(diǎn)方面，經(jīng)歷了三個(gè)階段，第一屆到第五屆命題形式為理論力學(xué)、材料力學(xué)各出一張?jiān)嚲?，題量和難度較大。第六屆到第十屆競(jìng)賽，命題更注重綜合性、趣味性和開放性，理論力學(xué)和材料力學(xué)命制在同一張?jiān)嚲砩?，?～5個(gè)題目組成，題量大幅減少但綜合性和趣味性明顯增強(qiáng)。從第十一屆開始，命題在結(jié)構(gòu)和內(nèi)容上做了較大調(diào)整，試題分為基礎(chǔ)題與提高題兩部分，既能考察參賽學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)力學(xué)基本內(nèi)容的掌握程度，又可以考驗(yàn)參賽學(xué)生對(duì)知識(shí)的深入領(lǐng)悟和綜合應(yīng)用能力[4-6]。該項(xiàng)賽事試題均為原創(chuàng)命題，具有很好的開放性，引起了很多力學(xué)工作者的興趣[7-10]。提煉和研討這些題目的解法對(duì)于提升學(xué)生的力學(xué)素養(yǎng)和教師的教學(xué)水平是大有裨益的。筆者在本文中將就第一屆和第十二屆競(jìng)賽的兩道理論力學(xué)題目在解法上加以延伸討論。

1 歐拉動(dòng)力學(xué)方程與剛體固連系的靈活選取

基于角動(dòng)量定理推導(dǎo)出的歐拉動(dòng)力學(xué)方程組與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一起構(gòu)成求解三維剛體任意形式運(yùn)動(dòng)的二階微分方程組。通常而言，選取剛體的一個(gè)固連坐標(biāo)架可寫出如下歐拉動(dòng)力學(xué)方程組[11]

式中，Ii(i=1，2，3)是剛體的 3個(gè)主慣性矩，ωi(i=1，2，3)是剛體的角速度在3條主軸上的分量，Mi(i=1，2，3)是作用在剛體上的外力矩在3條主軸上的分量。當(dāng)研究對(duì)象是非對(duì)稱陀螺(I1/=I2/=I3)時(shí)，求解過程較為復(fù)雜，需要引入雅可比-橢圓積分函數(shù)；當(dāng)研究對(duì)象是對(duì)稱陀螺(I1=I2/=I3)時(shí)，求解過程較為簡單，尤其當(dāng)無控制力矩即剛體自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，由式(1)中第3個(gè)方程可直接得到ω3守恒的結(jié)論，且前2個(gè)方程也自動(dòng)簡化為線性易求解的；當(dāng)研究對(duì)象是球陀螺(I1=I2=I3)時(shí)，求解過程更為簡單。然而，如果剛體固連系相對(duì)慣性系的幾何位形較難描述，那么無論是非對(duì)稱陀螺還是球陀螺，都將面臨計(jì)算量方面的困難。這就需要靈活運(yùn)用歐拉動(dòng)力學(xué)方程?；氐阶畛跬茖?dǎo)過程，即利用轉(zhuǎn)動(dòng)系導(dǎo)數(shù)與慣性系導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)聯(lián)列寫的角動(dòng)量定理

2 旋轉(zhuǎn)球的穩(wěn)定性問題

2.1 問題描述

第一屆全國青年力學(xué)競(jìng)賽理論力學(xué)試題第9題，原題為：半徑為r，質(zhì)量為m的均勻圓球在半徑為R的完全粗糙的另一固定圓球的外表面上純滾動(dòng)。求當(dāng)動(dòng)球轉(zhuǎn)速超過多少時(shí)可以在定球的最高點(diǎn)處穩(wěn)定地轉(zhuǎn)動(dòng)。重力加速度為g。

2.2 簡易求解

本題給出的原解答是首先導(dǎo)出兩球心連線方向的角速度分量保持不變，然后通過聯(lián)立6個(gè)動(dòng)力學(xué)方程構(gòu)成的方程組，得到穩(wěn)定模式對(duì)應(yīng)的二元?jiǎng)恿W(xué)方程組。優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)用理論的普適性較強(qiáng)，但過程稍顯繁瑣。下面筆者給出另外一種解法，可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)二維斥力平面上原點(diǎn)附近的穩(wěn)定性問題，書寫方便且相對(duì)簡單。

以初態(tài)運(yùn)動(dòng)球球心為原點(diǎn)建立一個(gè)球面直角坐標(biāo)架Oxy(x軸和y軸的經(jīng)度相差 90°)，如圖 1所示。在原點(diǎn)附近，這個(gè)曲面坐標(biāo)架和平面直角坐標(biāo)架在一階小量上無差異。設(shè)x和y兩個(gè)方向上的摩擦力大小分別為fx和fy。對(duì)運(yùn)動(dòng)球質(zhì)心(x，y)，由動(dòng)量定理得

圖1 旋轉(zhuǎn)球穩(wěn)定性分析示意圖

式中g(shù)為重力加速度。設(shè)運(yùn)動(dòng)球的初始角速度ω方向豎直向上。Serret–Andoyer固連系的其中一條坐標(biāo)軸始終與剛體的角動(dòng)量矢量重合，而筆者命名的“Serret–Andoyer近似固連系”的其中一條坐標(biāo)軸始終與剛體的主角動(dòng)量矢量重合。所謂主角動(dòng)量是指忽略一階小角動(dòng)量的角動(dòng)量，可以理解為零階角動(dòng)量，即本題中與ω對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量(由方程組(1)的第3個(gè)方程易知此角動(dòng)量的大小是不變的，方向始終沿著兩球球心連線)。則Serret–Andoyer近似固連系相對(duì)慣性系的角速度為(˙y/(R+r)，˙x/(R+r)，0)，代入式(2)并忽略二階小量即得

式(4)已經(jīng)利用了純滾動(dòng)的約束條件，即

聯(lián)立以上各式得

假設(shè)穩(wěn)定模式為

式中λ為待定常數(shù)。將試探解(7)代入微分方程組(6)得特征根方程組

令特征根方程組對(duì)應(yīng)的系數(shù)行列式為零，使得試探解不平凡，化簡得特征根須滿足的一元二次方程

令該一元二次方程的判別式恰好等于零，即可解得臨界轉(zhuǎn)速 (也就是使得運(yùn)動(dòng)球能穩(wěn)定平衡的最低初始角速度)。所以穩(wěn)定平衡的條件即為

式(10)與原題給出的答案是一致的，但求解過程更為簡便。

2.3 拓展討論

該問題條件進(jìn)一步放松，若令固定球也繞過球心的豎直軸以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，是否仍然存在一個(gè)使得運(yùn)動(dòng)球穩(wěn)定平衡的最小ω值呢？求解過程如下。

換到固定球不轉(zhuǎn)的參考系中觀察，顯然這是個(gè)非慣性參考系，運(yùn)動(dòng)球還會(huì)受到慣性離心力和科里奧利力的作用。由質(zhì)心的加權(quán)平均值定義易知慣性離心力的等效作用點(diǎn)在球心處。科里奧利力對(duì)運(yùn)動(dòng)球的作用在數(shù)學(xué)形式上相當(dāng)于一個(gè)豎直方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B對(duì)一個(gè)均勻帶電q球的作用，如圖2所示，且滿足

計(jì)算磁矩得

式(12)已經(jīng)利用了純滾動(dòng)約束條件。

圖2 固定球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)旋轉(zhuǎn)小球的穩(wěn)定性分析圖

對(duì)運(yùn)動(dòng)球質(zhì)心(x，y)，由動(dòng)量定理得

對(duì)運(yùn)動(dòng)球由角動(dòng)量定理得

同理有特征根方程組對(duì)應(yīng)的系數(shù)行列式為零

再令式 (15)的判別式恰好等于零即可解出臨界轉(zhuǎn)速，所以穩(wěn)定平衡條件為

2.4 工程應(yīng)用

比較兩種情況下的臨界轉(zhuǎn)速可知前者是后者的(R+r)/r倍，相比較而言，后者的穩(wěn)定臨界轉(zhuǎn)速要求更低一些，亦即后者的穩(wěn)定條件更加寬松。這就啟發(fā)我們?cè)诠こ淘O(shè)計(jì)中為提高旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性采用后者方式更優(yōu)，亦即使承重臺(tái)隨著非完整約束物繞垂直于臺(tái)面的軸同步旋轉(zhuǎn)。而且，從比例(R+r)/r=1+R/r中還可以看出，若取承重臺(tái)尺寸遠(yuǎn)大于約束物尺寸，那么同步旋轉(zhuǎn)的優(yōu)越性將更加凸顯。

3 存在內(nèi)力驅(qū)動(dòng)的剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題

3.1 問題描述

第十二屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽第 3題，原題：在真空中處于失重狀態(tài)的均質(zhì)球形剛體，其半徑r=1 m，質(zhì)量M=2.5 kg，對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=1 kg·m2，球體固連坐標(biāo)系Oxyz如圖 3所示。另有質(zhì)量m=1 kg的質(zhì)點(diǎn)A在內(nèi)力驅(qū)動(dòng)下沿球體大圓上的光滑無質(zhì)量管道(位于Oxy平面內(nèi))以相對(duì)速度u=1 m/s運(yùn)動(dòng)。初始時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)心速度為零，質(zhì)點(diǎn)A在x軸上。當(dāng)球體初始角速度ω0=(1 s－1，0，0.4 s－1) 時(shí)求球體的角速度ω和角加速度ε(提示：建立另一個(gè)動(dòng)系Ox′y′z′，使質(zhì)點(diǎn)A恒在x′軸上)。

圖3 非慣性參考系下球體運(yùn)動(dòng)

3.2 拓展討論

原題中質(zhì)點(diǎn)所處緯度是零，考慮一般情況，現(xiàn)在將管道圈所處緯度抬升至θ/=0，如圖 4所示，不妨取M=m。建立一個(gè)動(dòng)坐標(biāo)架使得質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)恒為(rcosθ，0，rsinθ)。該固連系即上文命名的所謂 “虛固連系”。含義是此固連系并不是相對(duì)球體固定而是相對(duì)體系的幾何位形固定，相當(dāng)于虛構(gòu)了一個(gè)新的動(dòng)球面以使得質(zhì)點(diǎn)A和z軸與真實(shí)球面的交點(diǎn)在該虛構(gòu)球面上的位置保持恒定。以此動(dòng)坐標(biāo)架寫下太空參考系中球體的角動(dòng)量

式中e1，e2和e3分別為3條坐標(biāo)軸的單位矢量。

圖4 緯度為θ時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)分析示意圖

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

由于球心不固定，這里引入了折合質(zhì)量

由動(dòng)量守恒可以確定球心速度大小與質(zhì)點(diǎn)速度大小的比例關(guān)系，從而將球心對(duì)體系質(zhì)心角動(dòng)量的貢獻(xiàn)拼到質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量里去，比例系數(shù)便體現(xiàn)在這個(gè)折合質(zhì)量上，這是《理論力學(xué)》研究孤立二體系統(tǒng)常用的等效方法。由角動(dòng)量守恒知

將式(20)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，利用式(2)，即

式中，等號(hào)左邊為慣性系中觀測(cè)角動(dòng)量變化率，等號(hào)右邊第一項(xiàng)是虛固連系(e1，e2，e3)中觀測(cè)角動(dòng)量變化率，第二項(xiàng)是二者差值(由角動(dòng)量方向變化而為變化率帶來的貢獻(xiàn))?？傻?/p>

式(22)對(duì)任意時(shí)刻的(e1，e2，e3)恒成立，故三個(gè)方向單位矢量前的系數(shù)均為零。由此解得

3.3 求解結(jié)果討論

3.3.1運(yùn)動(dòng)特性分析

取m=1 kg，r=1 m，θ=π/4。由數(shù)值方法解析在不同初始條件下體系的運(yùn)動(dòng)。設(shè)三個(gè)角速度分量的初值，分別為ω01，ω02和ω03。

圖5為三種不同情況下，三個(gè)角速度矢之間的變化規(guī)律曲線。由圖5(a)，取ω02=ω03=0，令ω01依次取不同的值時(shí)，角速度變化范圍先縮小后擴(kuò)大。由圖 5(b)，取ω01=ω03=0，令ω02依次取不同的值，角速度變化范圍不斷擴(kuò)大，且當(dāng)取值增大到某種程度后，變化曲線出現(xiàn)“紐帶”現(xiàn)象。由圖5(c)，取ω01=ω02=0，令ω03依次取不同的值時(shí)，角速度變化范圍不斷擴(kuò)大。綜合以上結(jié)論，可以猜想，當(dāng)ω01恰好取到某關(guān)鍵值時(shí)，角速度變化范圍最小，甚至可以小到變化率為零，即恒定不變。角動(dòng)量是守恒的，也就是說，對(duì)于某個(gè)給定的初始角動(dòng)量，它在動(dòng)坐標(biāo)架(e1，e2，e3)的各根坐標(biāo)軸上的投影量是會(huì)隨著坐標(biāo)架的轉(zhuǎn)動(dòng)而改變的。但如果角動(dòng)量為零，那么在各根坐標(biāo)軸上的投影也為零，且恒為零，這便相當(dāng)于找出了上述關(guān)鍵值。

3.3.2特殊情況下的結(jié)論

當(dāng)初始角動(dòng)量L0=0時(shí)，由式(20)可解得

圖5 小球運(yùn)動(dòng)特性分析

也就是說：初值為零且初始變化率同時(shí)為零，不難判斷此值將保持恒定。所以題目中所述的動(dòng)坐標(biāo)架將繞定矢量ω1e1+[ω3+u/(rcosθ)]e3的方向做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，亦即質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖4所示。而球體的角加速度

實(shí)體球和 (e1，e2，e3)固連的虛構(gòu)球的角速度僅在e3方向上差一項(xiàng)u/(rcosθ)，所以式 (25)相當(dāng)于一只以自轉(zhuǎn)角速度ωs=u/(rcosθ)e3繞ω1e1+[ω3+u/(rcosθ)]e3軸公轉(zhuǎn)的陀螺。綜上所述，質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，球體作陀螺式進(jìn)動(dòng)。

從以上分析來看，由于陀螺進(jìn)動(dòng)具有穩(wěn)定性，那么如果將航天器簡化為球體模型，宇航員視為生物質(zhì)點(diǎn)，則這種運(yùn)動(dòng)模式可提高人造衛(wèi)星的自轉(zhuǎn)穩(wěn)定性。

4 結(jié)語

全國周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽已成為一項(xiàng)促進(jìn)高等學(xué)校力學(xué)基礎(chǔ)課程改革、加強(qiáng)理工科高校學(xué)生素質(zhì)教育和創(chuàng)新能力的重要科技活動(dòng)。比賽難度大，含金量很高，靈活性強(qiáng)，可以全面考察大學(xué)生的力學(xué)素養(yǎng)和知識(shí)掌握深度。

本文針對(duì)第一屆和第十二屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽兩道理論力學(xué)試題進(jìn)行了拓展討論。從分析過程來看，無論是力矩的參考系變換關(guān)系還是以此推出的歐拉動(dòng)力學(xué)方程，均是求解剛體三維運(yùn)動(dòng)的制勝武器，且坐標(biāo)架的選取更是直接關(guān)系到這一武器的“操縱”難度。深入挖掘問題本質(zhì)有利于發(fā)掘?qū)こ淘O(shè)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。全國周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽試題很好地體現(xiàn)了這一點(diǎn)。