曲線定點(diǎn)張定角 指點(diǎn)迷津富瑞吉
——以2020年新高考山東卷為例

安徽省合肥市第一中學(xué)(230601) 丁毓琪

2020年, 山東及海南率先使用新高考Ⅰ卷.其中,第22題因其考察的綜合性和不俗的運(yùn)算量,對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和運(yùn)算能力都提出了很高的要求.題目如下:

題目(2020年高考山東卷)已知橢圓C:=1(a ＞b ＞0)的離心率為且過(guò)點(diǎn)A(2,1).

(1)求C的方程;

(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

解(1)易得橢圓C的方程為

(2)①當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí), 設(shè)其方程為y=kx+m,聯(lián)立得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6 = 0,由Δ = (4km)2-4(2k2+1)(2m2-6)＞0,知m2＜8k2+3,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

因?yàn)锳M⊥AN,所以

即(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+m2-2m+5=0,

所以(k2+1)·+(km-k-2)(-)+m2-2m+5 = 0, 化簡(jiǎn)整理得, 4k2+8km+3m2-2m-1 =(2k+m -1)(2k+ 3m+ 1)= 0, 所以m= 1-2k或

當(dāng)m= 1-2k時(shí),y=kx-2k+1,過(guò)定點(diǎn)A(2,1),不符合題意,舍去;當(dāng)m=時(shí),y=kx-,過(guò)定點(diǎn)設(shè)D(x0,y0),則y0=kx0+m.

(i)若k ?= 0, 因?yàn)锳D⊥MN, 所以k·=-1,解得所以

所以點(diǎn)D在以為圓心,為半徑的圓上,故存在使得|DQ|=為定值.

(ii)若k=0,則直線MN:y=因?yàn)锳D⊥MN,所以所以|DQ|=為定值.

②當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí), 設(shè)其方程為x=t,M(t,s),N(t,-s),且=1,因?yàn)锳M⊥AN,所以

運(yùn)算何其浩繁,讓多少考生鎩羽而歸.事實(shí)上,本題的核心在于說(shuō)明直線MN過(guò)定點(diǎn)P,因此點(diǎn)D在以AP為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).而對(duì)于過(guò)定點(diǎn)張直角的二次曲線弦問(wèn)題是解析幾何上一類(lèi)非常常見(jiàn)的考題,廣泛出現(xiàn)在高考及各類(lèi)考試上.本文擬就此類(lèi)問(wèn)題提出一般性的解法,并做推廣.

而對(duì)于常見(jiàn)的二次曲線,其實(shí)本類(lèi)問(wèn)題都有定論.但常規(guī)方法是假設(shè)直線的斜截式方程,聯(lián)立橢圓方程與直線方程,消元y后,由韋達(dá)定理并利用向量數(shù)量積形式表示垂直關(guān)系,計(jì)算量蔚為大觀.這是本類(lèi)問(wèn)題頻繁出現(xiàn)的原因,但由于龐大的計(jì)算量也讓學(xué)生苦不堪言.

事實(shí)上,該題的題設(shè)條件可視為富瑞吉定理的特殊情形,表述如下:

性質(zhì)1(福瑞吉定理的特殊情形)設(shè)橢圓方程C:= 1(a ＞b ＞0)上有定點(diǎn)A(x0,y0), 不過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn),則AM⊥AN的充要條件為直線l恒過(guò)定點(diǎn)

證明1設(shè)l:y=kx+m與橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2分別交于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn).聯(lián)立可得:(b2+a2k2)x2+ 2a2kmx+a2(m2- b2)= 0, 由Δ = (2a2km)2-4(b2+a2k2)a2(m2-b2)＞0, 知m2＜a2k2+b2.則x1+x2=,x1·x2=由得,

化簡(jiǎn)可得:

即

因?yàn)閥0-m-kx0?= 0,所以b2(y0-m+kx0)-a2(m+kx0+y0)= 0,可得所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)

這種常規(guī)方法是眾多考試中,通常會(huì)考察的類(lèi)型.然而,我們不禁要追問(wèn),能否有更加簡(jiǎn)便普適的方法來(lái)解決該類(lèi)問(wèn)題? 事實(shí)上,對(duì)于二次曲線上一點(diǎn)A,對(duì)此點(diǎn)張直角的直線恒過(guò)定點(diǎn)的結(jié)論,稱(chēng)為富瑞吉定理[1].

證明2選二次曲線上定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的二次曲線的一般方程是Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=0,不過(guò)原點(diǎn)的直線l:mx+ny=1 與二次曲線相交于M,N兩點(diǎn).

可得

即

我們不妨以富瑞吉定理來(lái)解決這道高考題:

以定點(diǎn)A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系, 則該橢圓方程是= 1, 即x2+2y2-4x-4y= 0, 由富瑞吉定理知直線過(guò)定點(diǎn)從而,在原直角坐標(biāo)系下直線lMN過(guò)定點(diǎn)即可知?jiǎng)狱c(diǎn)D在以AP為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)D與AP中點(diǎn)Q點(diǎn)距離為定值

與常規(guī)方法相比,富瑞吉定理無(wú)疑是大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程,并且可以對(duì)該類(lèi)問(wèn)題提出通用的解決辦法,統(tǒng)一處理各種曲線.

我們甚至驚喜地發(fā)現(xiàn),該方法甚至可以推廣到定角不為直角的情況,對(duì)于二次曲線上過(guò)定點(diǎn)的兩條弦張定角(設(shè)定角正切值是t),由=t,只需借助韋達(dá)定理即可求解.

但是對(duì)于二次曲線上過(guò)定點(diǎn)的兩條弦張直角問(wèn)題,值得注意的一點(diǎn)是,對(duì)于平面上任意一點(diǎn),是否總能過(guò)該點(diǎn)做兩條互相垂直的弦且與二次曲線相交? 顯然,其臨界條件是過(guò)該點(diǎn)的兩條切線互相垂直.而對(duì)于二次曲線,任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)軌跡是圓,即蒙日?qǐng)A[2].

證明設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)A(x0,y0), 切線斜率是k,y-y0=k(x-x0).聯(lián)立直線與橢圓方程可得:

由直線與橢圓相切,得

化簡(jiǎn)得:(a2- x20)k2+ 2x0y0k+b2-= 0, 顯然該方程有兩根k1,k2,k1·k2=-1, 即=-1, 化簡(jiǎn)得x2+y2=a2+b2.

拋物線y2= 2px(p ＞0)上任意兩點(diǎn)做拋物線的切線,兩切線交點(diǎn)的軌跡是準(zhǔn)線x=

我們以如下高考題為例來(lái)說(shuō)明蒙日?qǐng)A的應(yīng)用:

例1(2014年高考廣東卷理科第20 題)已知橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)的右焦點(diǎn)為離心率為

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.

解(1)易得橢圓方程為

(2)顯然點(diǎn)P在橢圓C的蒙日?qǐng)A上, 所以點(diǎn)P軌跡是x2+y2=9+4,即x2+y2=13.

由上述例題可知,若是師生在高三總復(fù)習(xí)中,提綱挈領(lǐng),集中解決與富瑞吉定理、蒙日?qǐng)A相關(guān)的問(wèn)題,必然會(huì)有良好的收效.在復(fù)習(xí)時(shí)間緊張的高三,綜合統(tǒng)一解決一類(lèi)問(wèn)題的教學(xué)策略,更易獲得學(xué)子們的青睞.